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第 02 讲 三角恒等变换（和差公式、倍角公式）
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
用和、差角的正弦公式化简、求值
2023年新I卷，第8题,5分 三角函数求值
二倍角的余弦公式
2023年新Ⅱ卷，第7题,5分 半角公式、二倍角的余弦公式 无
2023年新Ⅱ卷，第16题,5分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 特殊角的三角函数值
用和、差角的余弦公式化简、求值
2022年新Ⅱ卷，第6题,5分 无
用和、差角的正弦公式化简、求值
正、余弦齐次式的计算
2021年新I卷，第6题,5分 二倍角的正弦公式
三角函数求值
逆用和、差角的余弦公式化简、求值 数量积的坐标表示
2021年新I卷，第10题,5分
二倍角的余弦公式 坐标计算向量的模
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5分
【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公
式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考知识讲解
1. 正弦的和差公式
2. 余弦的和差公式
3. 正切的和差公式
4. 正弦的倍角公式
5. 余弦的倍角公式
升幂公式：
，
降幂公式：，
6. 正切的倍角公式
7. 半角公式
(1)sin ＝± .
(2)cos＝± .
(3)tan＝± ＝＝.
以上称之为半角公式，符号由所在象限决定．
8. 和差化积与积化和差公式
9. 推导公式
10.辅助角公式
， ，其中 ，
考点一、 两角和与差的三角函数综合应用
1．（福建·高考真题） 等于（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C【分析】由题得原式= ，再利用和角的正弦公式化简计算.
【详解】由题得原式= .
故选C
【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属
于基础题.
2．（江西·高考真题）若tanα＝3，tanβ＝ ，则tan(α－β)等于（ ）
A．3 B．－3 C． D．
【答案】C
【分析】由两角差的正切公式即可求解.
【详解】解：tan(α－β)＝ ＝ ＝ ，
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换所以
即
故选：C.
4．（2020·全国·统考高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
1．（2023·全国·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】 ．故选：A.
2．（2023·云南昭通·统考模拟预测） 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】运用正切两角和公式变形求解即可.
【详解】 ，令 ，则 ，
所以 ，即 .
故选：A.
3．（2020·全国·统考高考真题）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
4．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于 的方程，解之即可求得 的值.
【详解】
，
，
又 ，
则 ，则故选：A
5．（2004·上海·高考真题）若 ，则 .
【答案】3
【分析】直接利用和角的正切公式求解.
【详解】由题得 .
故答案为：3
6．（2023·山东德州·三模）若 为锐角，且 ，则 ．
【答案】2
【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解.
【详解】因为 ，
所以
，
故答案为：2
考点 二 、 倍角公式的综合应用
1．（2021·全国·统考高考真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得 ，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.2．（2020·江苏·统考高考真题）已知 = ，则 的值是 .
【答案】
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．（2021·全国·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处
理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过
齐次化处理，可以避开了这一讨论．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关
系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
5．（2021·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函
数的基本关系即可求解.
【详解】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 .
1．（2021·北京·统考高考真题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .
故选：D.
2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可.
【详解】已知 ，所以 .
故选：A.
3．（2023·湖南·校联考二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
，
故选：B．
4．（2022·浙江·统考高考真题）若 ，则 ，．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求
出 ，接下来再求 ．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ ，即 ，
又 ，将 代入得 ，解得 ，
则 .
故答案为： ； .
5．（2020·浙江·统考高考真题）已知 ，则 ； ．
【答案】
【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得 ，根据两角差正切公式得
【详解】 ，
，故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
考点 三 、 半角公式的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．
2．（全国·高考真题）已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系求得 ，再根据半角公式即可求得结果.
【详解】因为 ，故可得 ，
又 .
1．（2023·四川泸州·统考模拟预测）已知 ，若 是第二象限角，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式求出 ，再利用平方关系可求 ，然后利用公式 即可求解.
【详解】解：因为 ，所以 ，
又 是第二象限角，所以 ，
所以 .
故选：B．
2．（2023·江西·校联考模拟预测）若 ， 是第三象限的角，则 ＝（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
【答案】C
【分析】将表达式 中的正切化成正余弦，由 ，求出 ，代入即可求解．
【详解】由 且 是第三象限的角，可得 ，
又由 ，即 .
故选：C.
3．（2023·浙江·校联考二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅
用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的
数学证明更为优雅与有条理.如下图，点 为半圆 上一点， ，垂足为 ，记 ，则由
可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】根据直角三角形中的定义写出 ，用 表示出 ，然后分析可得．
【详解】由已知 ，则 ， ，
又 ， ， ， ，
因此 ，
故选：C．
考点 四 、 辅助角公式的综合应用
1．（2022·北京·统考高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可.
【详解】∵ ，∴
∴
故答案为：1，
2．（2021·全国·统考高考真题）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简 ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题， ，所以 的最小正周期为 ，最大值为 .
故选：C．
3．（2020·北京·统考高考真题）若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为
．
【答案】 （ 均可）
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 ，可得
，即可解出.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ，故可取 .
故答案为： （ 均可）.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运
算能力，属于基础题.
1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【分析】法一：令 ，利用判别式法即可；法二：通过整理得 ，利用三角换元法
即可，法三：整理出圆的方程，设 ，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令 ，则 ，
代入原式化简得 ，
因为存在实数 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，
设 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得
故选：C.
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若函数 的最小值为 ，则常数 的一
个取值为 .（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）.
【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数 的一个取值即可.
【详解】 可化为 ，
所以 ，
设 ，
则 ，设 ，
则 ，
因为函数 的最小值为 ，
所以 ， ，
所以 或 ，其中 ，
故答案为： （答案不唯一）.
3．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知 则函数 的最大值为
.
【答案】
【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出 的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求
最大值.
【详解】 ，,
令 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,对称轴 ,
所以 在 单调递增,
所以当 时， ,
即当 , 时， 有最大值 .
故答案为: .
4．（2023·浙江宁波·统考一模）若 ，则 ．
【答案】 /0.5
【分析】利用辅助角公式得 即可求出 即可求解 .
【详解】因为 ,
所以 即 ，
所以 ，所以
故答案为: .
考点 五 、 三角恒等变换的综合应用1．（2023·吉林延边·统考二模）下列化简不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.
【详解】A选项，
，所以A选项正确.
B选项，
，B选项正确.
C选项， ，C选项正确.
D选项， ，D选项错误.
故选：D
2．（2023·江苏·校联考模拟预测）若 ，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据题意和正弦的倍角公式，化简得到 ，再由余弦的倍角公式，得到
，令 ，求得 ，结合
，即可求解.
【详解】解：由 ，
可得 ，
又由正弦的倍角公式，可得 ，即 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 为第二象限角， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.
【详解】 为第二象限角， ，
原式 .
.
故选：B.
4．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知 为锐角，且
，则 .
【答案】
【分析】利用两角和的正弦公式化简得到 ，利用辅助角公式得到 ，即
可求出 ，从而得解.
【详解】因为 ，
，又 ，
所以 ，所以 ，即 ，
因为 为锐角，所以 ，所以 ，所以 ，即 .
故答案为：
1．（2023·山西吕梁·统考三模）已知 ，则 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出 ，再根据 利用两角差的正、余弦
公式展开，最后利用诱导公式变形，代入计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
所以
.
故选：B
2．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知 ， ，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角 ，再利用已知条件即可求解.
【详解】因为 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 为奇数时， ， ，
当 为偶数时， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
故选：C.
3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件算出 即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
4．（2023·河北·校联考一模）函数 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】根据二倍角公式化简 ，即可求解最值.
【详解】因为 ，所以
当 时， ，此时 的最小值为 .
故答案为：
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设 ，则 等于（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】C
【分析】先用两角差的正切公式可求出 的值，再用两角和的正切公式即可求解
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，
故选：C．
2．（2023·山东威海·统考二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为 ，
所以
.
故选：C
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知 ， ，则
（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.
【详解】由 得
，进而可得
，所以 ，
故选：D
4．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知直线 的倾斜角为 ，则 （ ）
A．-3 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.
【详解】因为直线 的倾斜角为 ，
所以 .
所以 .
故选：B.
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若 ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．【答案】C
【分析】首先求出 ，即可得到 ，再根据 计算可得.
【详解】因为 ，所以 ， ， ，
又 ，所以 ，即 ，
所以
.
故选：C
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简求解即可.
【详解】由题意得， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
故选：B
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知锐角 ， 满足 ，则
的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 .
故选：C
8．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】先根据二倍角公式化简条件得： ，再根据角的范围及诱导公式得
，利用正弦函数的单调性可得 ，化简求值即可.
【详解】由 ，
得 ，①
化简①式，得 ，又 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，
且 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，则 ，所以 .
故选：B．
二、填空题
9．（2023·河北·统考模拟预测）已知 ，则 .【答案】 /-0.8
【分析】根据正切的差角公式得出 ，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即
可.
【详解】由 ，
又 ，
代入 得 .
故答案为：
10．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）若 ，则 的值为 ．
【答案】 或
【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出 ，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】因为 ，则
，
则 ，即 ，解得 ，
所以 的值为 或 .
故答案为： 或
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知角 ， 满足 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．2【答案】A
【分析】根据积化和差公式可得 ，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即
可求解.
【详解】由 得 ，
进而 ，
则
所以 ，
则 .
故选：A.
2．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.
【详解】 ，
，
.
故选：D
3．（2023·四川·模拟预测）设 ， ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简a，正切二倍角公式和放缩放化简b，余弦二倍角公式化简c，然后根据正弦
函数的单调性比较可得.
【详解】 ，，
，
当 ， 单调递增，
所以 ，所以 .
故选：C
4．（2023·贵州遵义·统考三模）已知锐角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先根据 求出 ，再利用二倍角得正切公式求出 ，再根据两角和得正
切公式即可得解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，解得 ，
又 为锐角，所以 ，
又 ，即 ，
解得 （ 舍去），
所以 ，所以 .
故选：D.
5．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若 ， ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角和两角差的余弦公式，再结合角的范围，即可求解.
【详解】依题意可知， ，即 ，即 ，
得 ，因为 ， ，
所以 ，即 .
故选：D
6．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数证明不等式当 时， ，进而得 ，再讨论
与 的关系即可判断.
【详解】解：令 ， ，则 在 上恒成立，
所以，函数 在 上单调递减，
所以，当 时， ，即 ， ；
令 ， ，则 ，
所以，函数 在 上单调递减，
所以，当 时， ，即 ， ，
所以，当 时，
所以， ，
因为 ，
所以
所以， ，即
，即
所以，故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用 时， ，结合二倍角公式，比较
与 的关系判断.
7．（2023·江苏无锡·校联考三模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性比较b与c，a与b，利用中间值比较即可.
【详解】记 ，则 ，
记 ，则 ，又 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
则 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，故 时， ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即 时， ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构
造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.
二、多选题
8．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知锐角 ， ， 满足 ，则（ ）
A． ， 可能是方程 的两根
B．若 ，则
C．
D．
【答案】BD
【分析】由 ， 的符号即可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；
由正、余弦的降幂公式化二次为一次，结合三角函数值的符号可判断C；
用两角和的正切公式的变形可判断D.
【详解】因为 ， 为锐角，所以 ， ，
若 ， 是方程 的两根，
由韦达定理得 ，故A错误；
因为 ， 为锐角且 ，函数 在 上单调递增，故B正确；
因为 ， 为锐角，所以 ， ，
故 ，C错误；
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以
，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
9．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）若函数 的最小值为 ，则常数 的
一个取值为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据题意，由三角恒等变换公式进行化简，然后由函数的最小值为 ，列出方程，即可得到结果.【详解】因为
其中， ，且 ，
即 ，即 ，
所以 ，则 ， .
当 时， ，即 的一个取值为 .
故答案为： .
10．（2023·云南保山·统考二模）已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点 在
角 的终边上，则 .
【答案】 /
【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.
【详解】根据三角函数的定义可知 ，
，
由二倍角公式得 .
故答案为： .
【真题感知】
一、单选题
1．（全国·高考真题） 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据积化和差及诱导公式即得.
【详解】.
故选：A.
2．（全国·高考真题） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二倍角的正弦公式化简计算即可.
【详解】解：
.
故选：B.
3．（全国·高考真题）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用诱导公式以及二倍角公式将 化简得到 ，再进一步变形即可求
解.
【详解】 ，则
解得 ， .
故选：D
4．（安徽·高考真题）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方关系结合二倍角的正弦公式及降幂公式化简，再根据余弦函数的周期性即可得解.
【详解】解：，
因为函数的最小正周期 .
故选：B.
5．（全国·高考真题）函数 的最小正周期是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为 的形式，再由 可得到答案．
【详解】 (其中 )，
．
故选：C．
6．（湖北·高考真题）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式判断 ，即可得到 ，再由
计算可得.
【详解】解：由 ，又 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 或 （舍去），
所以 .
故选：A．
7．（2023·全国·统考高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得 ，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.
二、多选题
8．（2021·全国·统考高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
三、填空题
9．（上海·高考真题）函数 的最小正周期为
【答案】
【分析】化简 即得解.
【详解】解：由题得 ，
所以函数的最小正周期为 .
故答案为：
10．（2004·全国·高考真题）函数 的最大值为 ．
【答案】
【分析】由辅助角公式即可求解.
【详解】 ,
其中 .
而 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
