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微专题拓展03 巧用抽象函数模型速解压轴题
目录
01 解题
方法总结..................................................................................................................................2
方法总结一、常见的抽象函数模型....................................................................................................2
02
题型
重难点
梳理..............................................................................................................................4
题型一：一次型抽象函数....................................................................................................................4
题型二：正弦型抽象函数....................................................................................................................4
题型三：余弦型抽象函数....................................................................................................................5
题型四：指数型抽象函数....................................................................................................................5
题型五：对数型抽象函数....................................................................................................................6
题型六：二次型抽象函数....................................................................................................................6
题型七：幂型抽象函数........................................................................................................................7
题型八：正切型抽象函数....................................................................................................................7
题型九：其它型抽象函数....................................................................................................................8
03
拓展
课后
精练................................................................................................................................10
方法总结一、常见的抽象函数模型
（1）一次函数模型
（2）二次函数模型
（3）幂函数模型
或
（4）指数函数模型
或
且
）
（5）对数函数模型
或
或
且
）
（6）正切函数模型
（7）正弦函数模型
（8）余弦函数模型
或
（9）双曲函数模型
或
（10）其它模型
，
题型
型抽象函数
一：一次
【例1】（2026·高三·山西吕梁·阶段检测）已知定义在
上的函数
满足
，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】已知定义在
上的单调函数
，其值域也是
，并且对于任意的
，都有
，则
等于（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【变式1-2】设函数
满足
，且对任意
、
都有
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知函数
的定义域为
，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2024
D．2025
题型
型抽象函数
二：正弦
【例2】已知函数
的定义域为R，且
，
，
为偶函数，
则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【变式2-1】已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，
则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
题型
型抽象函数
三：余弦
【例3】已知函数
的定义域为R
且
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式3-1】若
，且
，则
（ ）
A．-2
B．-1
C．
D．0
【变式3-2】已知函数
的定义域为
，
，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．2024
D．
【变式3-3】若
的定义域为
，且
，
，则
（ ）
A．-4
B．-2
C．2
D．4
题型
数型抽象函数
四：指
【例4】已知函数
是定义在R 上不恒为零的函数，对任意的x，
均满足：
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】已知函数
，
，且
，则函数
可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】已知函数
满足：
，
，则
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】如果函数
对任意
满足
,且
,则
A．505
B．1010
C．2020
D．4040
题型
数型抽象函数
五：对
【例5】已知定义在
上的函数
，满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】已知函数
的定义域为
，若对于任意的
， 都有
，当
时，都有
，
．则函数
在区间
上的最大值为
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式5-2】若定义在
上的函数
满足：
，且
，则下列结论中
错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型
型抽象函数
六：二次
【例6】（多选题）（2026·福建福州·模拟预测）已知定义
在上的函数
满足
,且当x>1 时，
， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】已知函数
对任意实数x，y 满足
，且
，若对所有
，恒有
，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2026·浙江杭州·模拟预测）对于每一对实数
，
，函数
满足函数方程
，如果
，那么满足
的
的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．无数多个
【变式6-3】已知函数
满足对任意实数
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-4】若
，
，则
（ ）
A．50
B．55
C．99
D．101
题型
型抽象函数
七：幂
【例7】（多选题）（2026·湖北·模拟预测）已知定义在R 上的函数
不是常数函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（多选题）已知函数
的定义域为
，若
，则以下一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
在
上是增函数
题型
型抽象函数
八：正切
【例8】（多选题）（2026·安徽六安·模拟预测）已知函数
的定义域为
，值域为
，若
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．设函数
，则
D．设函数
，则
…
【变式8-1】定义在
的函数
，当
时
，若
，
，
，则P，Q，R 的大小为
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（2026·江西抚州模拟预测）定义在
的函数
满足：
，
，且
时，
，若
，
，
，则
、
、
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】（）已知函数
定义在区间
上，
，且当x，
时，恒有
，又数列
满足
，
，设
，对于任意的
，
的最小自然数m 的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
题型
型抽象函数
九：其它
【例9】（2026·河北·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，则（ ）
A．
是奇函数且在
上单调递减
B．
是奇函数且在
上单调递增
C．
是偶函数且在
上单调递减
D．
是偶函数且在
上单调递增
【变式9-1】已知偶函数
满足：
，且
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式9-2】已知函数
的定义域为
，且
，
，
为奇函数，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【变式9-3】已知函数
的定义域为
，若
，且
，
则
（ ）
A．0
B．1
C．10
D．20
1．给出下列三个等式：
，
．下列函数中不
满足其中任何一个等式（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·重庆·模拟预测）若定义在
上的函数
，满足
，且
，则
（ ）
A．0
B．-1
C．2
D．1
3．已知函数
的定义域为
，满足
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．方程
有解
C．函数
在定义域内单调递减
D．
的最小值为 2
4．已知函数
对任意实数
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
对于任意的实数
都有
，且
，则下列选项正确
的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
在
上单调递减
D．
为奇函数
6．已知函数
的定义域为
，则
（ ）
A．230
B．201
C．157
D．119
7．已知函数
满足
，若
，则
（ ）
A．128
B．4096
C．8192
D．16384
8．（2026·河南·三模）已知函数
满足：
，且
，
，则
的最小值是（ ）
A．135
B．395
C．855
D．990
9．已知函数
，对任意的
，恒有
，且
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
10．已知函数
的定义域为
，且
,
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（多选题）（2026·广东佛山·模拟预测）已知定义域为
的函数
对任意实数x，y，都有
成立，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
一定不是奇函数
C．若
是偶函数，则
D．若
，则
12．（多选题）（2026·青海·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）
A．
B．
的值域为
C．
是偶函数
D．
是增函数
13．（多选题）函数
满足：
，则（ ）
A．
B．
C．
图象不关于
对称
D．
的解析式可以是
14．（多选题）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．函数
是奇函数
D．函数
是增函数
15．设函数
，
满足下列条件：
（1）
，
，
；
（2）对任意实数
都有
，则当
，
时，
的最大值为_____．
16．已知函数
对于任意的正实数
，
，满足
，且
，则
______．
17．已知定义在
上的函数
满足：对任意
都有
，当
时，有
．
(1)判定
在
上的奇偶性，并说明理由；
(2)判定
在
上的单调性，并给出证明；
(3)求证：
；
18．求所有满足
和
，
，
的函数
（
为有理数
集）．
19．求所有函数
，
，使得对任意
，
．
