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第02讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
2kπ＋α
角 π＋α －α π－α －α ＋α
(k∈Z)
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
一．同角三角函数基本关系式的应用
命题点1 sinα、cosα、tanα的知一求二
例1．（1）若 ，且 为第四象限角，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
（2）已知 ， ，则 （ ）
A．0和 B． C． D． 和0
（3）已知角 的终边在第三象限，且 ，则 （ ）A． B．1 C． D．
（4）已知 , ,则 ______.
（5）已知 ，且角 在第三象限，求 和 的值.
【复习指导】：(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；
利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)知一求二，解决这类问题首先要确定角所在的象限，其次就是要确定所求三角函数值的符号，最后再利
用相关公式进行计算。
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
命题点2 sin α±cos α，sin αcos α的知一求二
例2．（1）已知 为三角形的内角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（2）若 是三角形的一个内角，且 ，则三角形的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
（3）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．（4）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（5）（多选）已知 ，且 为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【复习指导】：应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式
子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
命题点3 齐次式的化简求值
例3．（1）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知 ，那么 的值是（ ）
A． B． C．3 D．
（3）已知 ，则 ＝（ ）
A． B．2 C． D．6（4）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（5）已知 ，则 ______．
（6）已知 ，则 的值为___________.
命题点4 同角三角函数基本关系式的综合应用
例4．（1） “ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
（2）已知向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
（3）（多选）若 是第二象限的角，则下列各式中成立的是（ ）
A．
B．
C．D．
E．
（4）已知 是第二象限的角.化简： 的值为____________.
（5）若 ，则 ．
（6）求证:
① ;
② ;
③ .
【复习指导】：三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、
变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公
式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
二．诱导公式的应用
例5．（1） （ ）A． B． C． D．
【复习指导】：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
（2）已知角 终边上一点 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
（3）已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：解决化简求值问题（凑角法）的策略：
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．
提醒：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等．
（4）已知 ，则 ＝（ ）
A．-7 B． C． D．5（5）已知 为第四象限角,化简, ________.
（6）已知 ，且 ，则 ___________.
（7）已知θ是第四象限角，且sin（θ+ ）= ，则tan（θ– ）=___________.
【复习指导】：(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行
运算．
如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
三．同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例6．（1）若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．3
（2） 的化简结果是（ ）
A． B．
C． D．
【复习指导】：三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
（3）已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A. B. C. D.
（4）已知3sin＝－5cos，则tan等于( )
A．－ B．－ C. D.
（5）（多选）已知函数 ，则 的化简的结果可能是（ ）
A． B． C． D．
（6）已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)的值为 ．
【复习指导】：(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，
灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
1．已知 是第二象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，则 （ ）A． B． C． D．
4．已知 是 的内角，且 ，则 的值为（ ）
A．-1或7 B． 或1 C．-1 D．
5．设 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若 ，则 的值（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9． （ ）A． B． C． D．
10．若 为第二象限角，则 （ ）
A． B． C． D．
11．当 时，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知角 的终边过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
13．若角 的终边与单位圆的交点坐标是 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
14．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．215．已知函数 （ 且 ）的图像经过定点 ，且点 在角 的终边上，则
（ ）
A． B．0 C．7 D．
16．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
17．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形
与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为 ，小正方
形的面积为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
18．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．119．（多选）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的最大值为 B．函数 的最大值为
C．函数 的最小值为 D．函数 的最小值为
20．（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A． 成立的条件是角 是锐角
B．若 （ ），则
C．若 （ ），则
D．若 ，则
21．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若 是第二象限角，则点 在第三象限
B．圆心角为 ，半径为2的扇形面积为2
C．利用二分法求方程 的近似解，可以取的一个区间是
D．若 ，且 ，则
22．若 、 是关于x的方程 的两个根，则 __________.23．已知 ，则 ________．
24．若角α的终边落在直线y＝－x上，则 的值等于________.
25．已知 ，则 ________.
26．已知 ，且 ，则 ______.
27．在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点 ，则 ______．
28．已知 ，则 __________．
29．若 ，且 ，则 __________.
30． __________.31．若角 的终边过点 ，则 ______．
32．已知 ， ，则 __________．
33．化简：若 ，则 ____________.
34．已知 ，不等式 恒成立，则实数m的取值范围是______．
35．已知 ，且 为第二象限的角.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
36．已知 ．
（1）化简 ；
（2）若 为第四象限角且 ，求 的值；（3）若 ，求 ．
37．已知， ．
（1）化简 ；
（2）若 ，求 ．
38．（1）已知 ，求 的值
（2）已知 ， ，求 的值．
39．已知角 的终边经过点 ( ).
（1）求 的值；
（2）若 是第二象限角，求 的值.40．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
41．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
42．已知函数 .
(1)求 值；(2)若 ，求 的值.
43．如图，在平面直角坐标系中，锐角 和钝角 的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分
别与单位圆交于A，B两点，且 .
(1)求 的值；
(2)若点A的横坐标为 ，求 的值.
44．已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
45．已知 ( )，求 的值.46．（1）已知角 的终边经过点 ，求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
47．已知 ，且函数 ．
(1)化简 ；
(2)若 ，求 和 的值．
48．已知 ，若角 的终边过点 .
(1)求 的取值.
(2)求 的值.49．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
50．已知关于x的方程 的两根为sinθ和cosθ， ，求：
(1) ＋ 的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值.
