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第02讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
2kπ＋α
角 π＋α －α π－α －α ＋α
(k∈Z)
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
一．同角三角函数基本关系式的应用
命题点1 sinα、cosα、tanα的知一求二
例1．（1）若 ，且 为第四象限角，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵sina= ,且a为第四象限角,
∴ ，
则 ，
故选D.（2）已知 ， ，则 （ ）
A．0和 B． C． D． 和0
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的基本关系，求出正弦值，余弦值，再求正切值.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 ，
由 则当 时， （代入条件验证矛盾舍去），
当 时， ，
所以 .
故选：B
（3）已知角 的终边在第三象限，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由同角之间的公式可求得 ，进而得解.
【详解】由角 的终边在第三象限，则
由题设知 ，解得 ，
所以故选：C
（4）已知 , ,则 ______.
【答案】
【详解】 , ,则 .
（5）已知 ，且角 在第三象限，求 和 的值.
【答案】 ， .
【分析】根据角 所处的象限，得出 的正负，再利用平方关系和商数关系分别求出 和 的值．
【详解】 角 在第三象限，且 ， 且 ，
因此， ．
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，考查知一求二，解决这类问题首先要确定角所在的象限，其
次就是要确定所求三角函数值的符号，最后再利用相关公式进行计算，考查计算能力，属于基础题．
【复习指导】：(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；
利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)知一求二，解决这类问题首先要确定角所在的象限，其次就是要确定所求三角函数值的符号，最后再利
用相关公式进行计算。
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
命题点2 sin α±cos α，sin αcos α的知一求二
例2．（1）已知 为三角形的内角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.
【详解】
计算得 ，所以 ， ，
从而可计算的 ，
，
,选项A正确，选项BCD错误.
故选：A.
（2）若 是三角形的一个内角，且 ，则三角形的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【解析】已知式平方后可判断 为正判断 的正负，从而判断三角形形状．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ 是三角形的一个内角，则 ，
∴ ，
∴ 为钝角，∴这个三角形为钝角三角形.
故选：A．
（3）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】原式平方可得 ，然后可求 的平方，结合 的范围即可求解.
【详解】∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ∴ .
∴
故选： .
（4）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】切化弦可得 ，将 利用平方和为1转化为
，代入计算可得结果.
【详解】解： ，则 .
.
故选：D.
（5）（多选）已知 ，且 为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD【分析】根据 ，并结合 为锐角求解即可.
【详解】解：因为 ，所以 ，即
所以 ，
因为 为锐角，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
故选：ABD
【复习指导】：应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式
子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
命题点3 齐次式的化简求值
例3．（1）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合平方关系，化为齐次式，然后弦化切转化为 的代数式，代入求值．
【详解】由题意 ．
故选：C．
（2）已知 ，那么 的值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】对于正余弦的齐次式，进行弦化切，代入求解.【详解】
，将 代入上式，得原式 ．
故选：A．
（3）已知 ，则 ＝（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【分析】巧用1将所求化为齐次式，然后根据基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为
所以
故选：A
（4）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件可得 ，结合条件求出 ，将所求化为
，从而可得答案.【详解】由 ，即
即 ，所以 ，即
所以 或 ，由 ，所以
故选：B
（5）已知 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据题意，由同角三角函数关系可得 的值，而 ，
最后利用齐次式化成关于 的分式即可解.
【详解】解：由 ，得 ，
则
.
故答案为： .
（6）已知 ，则 的值为___________.
【答案】
【分析】利用正弦、余弦、正切之间的商数关系,分式的分子、分母同时除以 即可求出分式的值.
【详解】解：故答案为：
命题点4 同角三角函数基本关系式的综合应用
例4．（1） “ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】解：（1）若 ，则 ，
∴“ ”是“ ”的充分条件；
（2）若 ，则 ，得不出 ，
∴“ ”不是“ ”的必要条件，
∴“ ”是“ ”的充分非必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.
（2）已知向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由 得出 ，再按照齐次分式化简求值即可.
【详解】由 得 ，∴ .
故选：B.
（3）（多选）若 是第二象限的角，则下列各式中成立的是（ ）A．
B．
C．
D．
E．
【答案】BC
【解析】利用 ，结合三角函数在各个象限的符号，代入每个式子进行化简、
求值.
【详解】对A，由同角三角函数的基本关系式，知 ，所以A错；
对B，C，D，E，因为 是第二象限角，所以 ，所以 的符号不
确定，所以 ，所以B，C正确；D，E错．
故选：BC.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、三角函数在各个象限的符号，考查运算求解能力.
（4）已知 是第二象限的角.化简： 的值为____________.
【答案】
【解析】本题可以先通过 是第二象限的角得出 ，然后对 进行化简即可得到
结果．
【详解】因为 是第二象限的角，所以 ，
所以.
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简，利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是本
题的关键．
（5）若 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据商数关系将切化弦，然后再利用平方关系将余弦化为正弦即可得答案.
【详解】解：因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：1.
（6）求证:
① ;
② ;
③ .【解析】①从原式的左边入手，利用平方差公式展开，再利用平方关系化简等于右边得证.
②从原式的右边入手，利用平方关系展开，再利用商数关系 化简等于左边得证.
③利用作差的方法左边减去右边，利用平方关系化简得证.
【详解】①原式左边
右边，
因此 .
②原式右边 左边.
因此 .
③ ，所以 .
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式中平方关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中
档题.
【复习指导】：三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、
变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公
式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
二．诱导公式的应用
例5．（1） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用正弦的诱导公式，结合特殊角的正弦函数值进行求解即可.
【详解】 ，
故选：D
【复习指导】：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
（2）已知角 终边上一点 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】C
【分析】利用三角函数的定义求出 ，再由诱导公式和同角关系化简条件并求其值.
【详解】因为角 终边上一点 ，
所以 ，
又 ，
故选：C.
（3）已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用诱导公式及同角三角函数的平方关系求 ，注意根据 的范围判断符号.
【详解】由 ，而 ，
∴ ，
∴ .故选：C.
【复习指导】：解决化简求值问题（凑角法）的策略：
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．
提醒：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等．
（4）已知 ，则 ＝（ ）
A．-7 B． C． D．5
【答案】D
【分析】先通过诱导公式对等式进行化简，进而弦化切求出正切值，然后对所求式子进行弦化切，最后得
到答案.
【详解】由题意， ，
则 .
故选：D.
（5）已知 为第四象限角,化简, ________.
【答案】
【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.
【详解】依题意 为第四象限角，所以
.故答案为：
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，
属于基础题.
（6）已知 ，且 ，则 ___________.
【答案】
【分析】由 ，且 结合同角三角函数关系求 ，利用诱导公式化简 求其
值.
【详解】∵ ， ，
∴ ，
又 ，
故答案为： .
（7）已知θ是第四象限角，且sin（θ+ ）= ，则tan（θ– ）=___________.
【答案】
【分析】由题求得 的范围，结合已知求得cos（ ），再由诱导公式求得sin（ ）及cos（
θ θ
），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（ ）的值．
θ
【详解】解：∵ 是第四象限角，
θ
∴ ，则 ，又sin（ ） ，
θ
∴cos（ ） ．
θ
∴cos（ ）＝sin（ ） ，sin（ ）＝cos（ ） ．
θ θ
则tan（ ）＝﹣tan（ ） ．
θ
故答案为 ．
【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
【复习指导】：(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行
运算．
如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
三．同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例6．（1）若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】先化简，再进行弦化切，把 代入即可求解.
【详解】 .
因为 ，所以 .
所以 .故选：D
（2） 的化简结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式、商数关系和平方关系求解.
【详解】解： ，
，
，
，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
【复习指导】：三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
（3）已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由已知得
消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角)．
（4）已知3sin＝－5cos，则tan等于( )
A．－ B．－ C. D.
【答案】A
【详解】由3sin＝－5cos，
得sin＝－cos，
所以tan＝＝＝－.
（5）（多选）已知函数 ，则 的化简的结果可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】由题意可得 ，根据同解的平方关系可得 ， ，
于是有 = ，再分 ， 去绝对值即可得答案.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
即函数 的定义域为： ，
所以 ，
，
所以 = = .
故选：AB.
（6）已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)的值为 ．
【答案】－3【详解】因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，
所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
所以f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β＝－3.
【复习指导】：(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，
灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
1．已知 是第二象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先由 是第二象限角，得 ；再由同角三角函数基本关系求解，即可得出结果.
【详解】因为 是第二象限角，所以 ，
又 ，所以 ，因此 ，
即 ，所以 .
故选：B.
2．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在所求分式的分子和分母中同时乘以 化简后可得结果.
【详解】由同角三角函数关系式 及题意可得 且 ，
所以， .故选：A.
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的关系结合公式 即可求解.
【详解】解：由题知
所以
解得：
所以
故选：C.
4．已知 是 的内角，且 ，则 的值为（ ）
A．-1或7 B． 或1 C．-1 D．
【答案】C
【分析】将等式两边平方，应用同角三角函数的平方关系及商数关系可得 ，结合题设
即可确定 的值.
【详解】∵ ，
∴
∴ 或 ．
由 且 ，故 ．
∴ .
故选：C．
5．设 ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可知 ，得到 ，再利用正余弦和差积三者的关系可求得
的值，将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可．
【详解】由 ，平方得到 ，
，
，
，
，而 ，
；
令 ，
则 ，
，
，
故选： ．
6．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式转化后进行弦化切，代入即可求解.
【详解】由题知 ， .
故选：A.
7．若 ，则 的值（ ）A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据题意得 ，再根据正弦的二倍角公式化简得 .
【详解】解：由 得 .
所以
，
故选：D.
【点睛】本题解题的关键是将等式 变形化简得 ，进而求解，考查运
算求解能力，是中档题.
8．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数基本关系式先化简再求值.
【详解】 ，
.
故选：A.
【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)选择合适的公式进行化简求值．9． （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦函数的诱导公式，结合特殊角的余弦函数值进行求解即可.
【详解】 .
故选：A
10．若 为第二象限角，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式求得 ，再根据 为第二象限角求出 最后根据同角三角函数基本关系式
可得 .
【详解】 ，又 为第二象限角，
则
故选A.
【点睛】本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属基础题.
11．当 时，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先确定 的取值范围，再由同角三角函数的平方关系求得 的值，然后根据诱导公
式，得解．【详解】∵
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B
12．已知角 的终边过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得 ，然后利用诱导公式求得正确答案.
【详解】由于角 的终边过点 ，
所以 ，
.
故选：D
13．若角 的终边与单位圆的交点坐标是 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由终边与单位圆的交点纵坐标，结合诱导公式可得 ， 再结合诱导公式及同角关系即可求
值.
【详解】由角 的终边与单位圆的交点坐标是 得 ，
故 .
故选：A
14．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到 ，即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得 .
故选：B.
15．已知函数 （ 且 ）的图像经过定点 ，且点 在角 的终边上，则
（ ）
A． B．0 C．7 D．
【答案】D
【分析】由题知 ,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.【详解】解:令 得 ,故定点 为 ,
所以由三角函数定义得 ，
所以
故选：D
16．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对 ，两边平方可求出 ，然后对 化简变形可求得
结果
【详解】由题知 ，有 ，
所以
，
故选：C．
17．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形
与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为 ，小正方
形的面积为 ，若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设大正方形的边长为 ，则直角三角形的两直角边分别为 ，分别求出 ，再根据
可求得 ，再根据 即可得解.
【详解】解：设大正方形的边长为 ，则直角三角形的两直角边分别为 ，
故 ，
则 ，所以 ，
又 为锐角，则 ，
所以 .
故选：A.
18．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先通过诱导公式求出 ，进而进行弦化切变形，代入 的值，最后得到答案.
【详解】由 ，则.
故选：D.
19．（多选）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的最大值为 B．函数 的最大值为
C．函数 的最小值为 D．函数 的最小值为
【答案】AC
【分析】根据诱导公式化简函数解析式，再用换元法将三角函数转化为二次函数，求区间内的最值即可.
【详解】由诱导公式可得， ，
故 ，
，
令 ，则 ；
当 时， 在 内取得最大值为 ，即 的最大值为 ；
当 时， 在 内取得最小值为 ， 的最小值为 ；
故选：AC.
20．（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A． 成立的条件是角 是锐角
B．若 （ ），则C．若 （ ），则
D．若 ，则
【答案】CD
【分析】由诱导公式判断选项A错误；对 分类讨论得到选项B错误；利用同角商数关系和诱导公式证明
选项C正确；由 得 或 ．再证明选项D正确.
【详解】由诱导公式二，知 时， ，所以A错误．
当 （ ）时， ，此时 ，
当 （ ）时， ，此时 ，所以B
错误．
若 （ ），则 ，所以C正确．
将等式 两边平方，得 ，所以 或 ．
若 ，则 ，此时 ；
若 ，则 ，此时 ，
故 ，所以D正确．
故选CD
【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值和同角三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若 是第二象限角，则点 在第三象限
B．圆心角为 ，半径为2的扇形面积为2
C．利用二分法求方程 的近似解，可以取的一个区间是
D．若 ，且 ，则
【答案】ABC【分析】根据任意角的定义、扇形面积的计算公式、二分法以及 之间的关系，对
每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若 是第二象限角，则 ，
故点 在第三象限，则 正确；
对 ：根据题意，扇形面积 ，故 正确；
对 ：对 ，当 时， ，当 时， ，
故可以取的一个区间是 ，则 正确；
对D： ，且 ，则 ，解得 ，
则 ，故D错误；
故选：ABC.
22．若 、 是关于x的方程 的两个根，则 __________.
【答案】
【分析】先通过根与系数的关系得到 的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.
【详解】由题意： ，所以 或 ，且 ，
所以 ，即 ，因为 或 ，
所以 .
故答案为： .
23．已知 ，则 ________．【答案】
【分析】先进行弦化切，然后把 代入求值.
【详解】
∵ ，
∴原式
故答案为：
【点睛】对于正余弦的齐次式，可以先进行弦化切，然后代入求值.
24．若角α的终边落在直线y＝－x上，则 的值等于________.
【答案】0
【解析】先求出α＝2kπ＋ 或2kπ＋ ，k∈Z，再分类讨论得解.
【详解】因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以α＝2kπ＋ 或2kπ＋ ，k∈Z，
当α＝2kπ＋ ， ,即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0；
所以
当α＝2kπ＋ ， ,即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，cosα＞0.
所以综合得 的值等于0.
故答案为：0
25．已知 ，则 ________.
【答案】
【分析】本题可根据诱导公式得出结果.
【详解】 ，
故答案为：
26．已知 ，且 ，则 ______.
【答案】
【分析】用同角间的三角函数关系计算 ，用诱导公式化简后再计算．然后计算 ，可得．
【详解】∵ ，且 ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，
应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不
变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正
弦余弦值的正负．
27．在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点 ，则 ______．【答案】
【分析】由诱导公式求出点 的坐标，由三角函数的定义求出 的值，再由诱导公式即可求解.
【详解】因为 ， ，
因为角 的终边经过点 ，
因为 ，所以 ，
所以
故答案为： .
28．已知 ，则 __________．
【答案】
【分析】根据已知可得 ，进而求得 ， ，然后根据
的范围，即可解出结果.
【详解】因为 ，
则 ，
所以 ，
所以， .
又 ，所以 ， ， ，所以， .
故答案为： .
29．若 ，且 ，则 __________.
【答案】
【分析】由 及诱导公式得 ， 联立同角平方关系即可求解.
【详解】 ， ， ，
联立 得 .
故答案为：
30． __________.
【答案】
【分析】利用诱导公式，化简求值.
【详解】原式
故答案为：
31．若角 的终边过点 ，则 ______．
【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．
【详解】 角 的终边过点 ， ， ， ， ，
则 ，
故答案为： ．
32．已知 ， ，则 __________．
【答案】
【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】
两式两边平方相加得 ， ．
［方法二］： 利用方程思想直接解出
，两式两边平方相加得 ，则 ．
又 或 ，所以 ．
［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式
由 ，可得 ，则 或
．
若 ，代入得 ，即
．若 ，代入得 ，与题设矛盾．
综上所述， ．
［方法四］：平方关系＋诱导公式
由 ，得 ．
又 ， ，即 ，则
．从而 ．
［方法五］：和差化积公式的应用
由已知得
，则 或 ．
若 ，则 ，即 ．
当k为偶数时， ，由 ，得 ，又
，所以 ．
当k为奇数时， ，得 ，这与已知矛盾．
若 ，则 ．则 ，得 ，
这与已知矛盾．
综上所述， ．
【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；
方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；
方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．
33．化简：若 ，则 ____________.
【答案】
【分析】根据 ，将原式化简为 ，根据 ，去掉绝对值
符号即可.
【详解】
因为 ，所以 ， ，且
所以原式
故答案为： .
34．已知 ，不等式 恒成立，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用参变分离可得 恒成立，通过换元，利用三角函数的性质及二
次函数的性质即得.
【详解】由 ，可得
恒成立，
令 ，
由 ，可得 ，又 在 上单调递增， ，
∴ ，即实数m的取值范围是 .
故答案为： .
35．已知 ，且 为第二象限的角.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由符号法则与同角三角函数基本关系求解即可；
（2）由弦的齐次式弦化切即可求解
【详解】(1)∵ ，且 为第二象限的角，
∴ ，
所以 ；
(2)
36．已知 ．
（1）化简 ；
（2）若 为第四象限角且 ，求 的值；
（3）若 ，求 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据诱导公式化简即可；（2）由诱导公式得 ，再代入（1）即可得答案；
（3）代入（1），利用诱导公式化简求值即可.
【详解】（1） ．
（2）因为 ，
所以 ．
（3）因为 ， ，
所以
．
37．已知， ．
（1）化简 ；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1） ；（2）当 是第二象限角时， ，当 是第三象限角时， ．
【解析】（1）根据诱导公式以及同角公式化简可得结果；
（2）由 得 ，再讨论 的象限可求得结果.
【详解】（1） ．
（2） ，
，可得 ，
是第二或第三象限角，当 是第二象限角时， ， ，
当 是第三象限角时， ， ．
【点睛】关键点点睛：掌握诱导公式和同角公式是解题关键.
38．（1）已知 ，求 的值
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简 ，然后再代值计算即可.
（2）利用同角三角函数间的关系，将 平方求出 的值，从而求出 的
值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.
【详解】(1)
所以
（2）由 ，则 ，所以
由 ，则
设 ，则
由 ，所以【点睛】关键点睛：本题考查利用诱导公式化简，利用同角三角函数关系求值，解答本题关键是由同角三
角函数的关系根据 ，先求出 ，结合角的范围求出 的值，属
于中档题.
39．已知角 的终边经过点 ( ).
（1）求 的值；
（2）若 是第二象限角，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先利用诱导公式对式子进行化简，再根据角 的终边经过的点求出 ，即可求解；
（2）先根据 是第二象限角，判断出 的符号，进而根据三角函数定义求出 ，再对式子进行化
简代入即可求解.
【详解】解：（1） ,
,
即
.
又 角 的终边经过点 ( )，
，
故 ；（2） 是第二象限角，
，
则 ，
，
.
40．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求 .
（2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值.
【详解】（1）
解法一：∵ ， ，
∴ ，
分子分母同时除以 ，得 ，
即 ，解得 ．
解法二：∵ ，∴ ，即 ，∴
∴ ．
（2）
∵ ，∴ ．
41．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）联立 ，解出 ，进而求得 ；
（2）原式 ，分子分母同时除以 ，转化为含 的式子，代入（1）的结论
即可求得它的值.
【详解】（1）因为 ，故 ．
则 ．
又 ，且 ，则 ．
故 ．
又 ，二者联立解得：， ，故 ．
（2）42．已知函数 .
(1)求 值；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)1；(2) .
【分析】（1）用诱导公式和同角三角函数基本关系化简 ，将 代入计算；
（2）由条件得 的值，将代数式化简成由 表示，代入计算即可.
【详解】（1） ，
所以 .
（2） ，所以 ，
.
43．如图，在平面直角坐标系中，锐角 和钝角 的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分
别与单位圆交于A，B两点，且 .
(1)求 的值；
(2)若点A的横坐标为 ，求 的值.【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由诱导公式化简可得；
（2）由定义可得 ，即可求出.
【详解】（1）∵ ，∴ ， ，
∴ .
（2）∵点A的横坐标为 ，∴ ， ，
，
∴ .
44．已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系求 的值，进而可得 的值；
（2）利用诱导公式化简，再化弦为切，将 的值代入即可求解.
【详解】(1)因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，(2)
．
45．已知 ( )，求 的值.
【答案】
【分析】将 两边平方可得 ，判断x的范围，并求出 ，进而
可求得 ， ，即可求得答案.
【详解】∵ ( )，
∴ ，即 ，
把 两边平方得 ，
即 ，
∴ ，
即 ，
联立
解得 ， ，
∴ .46．（1）已知角 的终边经过点 ，求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由三角函数定义易得 ，再利用诱导公式和基本关系式化简为
求解；
（2）将 两边平方得到 ，进而求得 ，与
联立求解.
【详解】解：（1） 点到原点 的距离 ，
由三角函数定义有 ，
；
（2）∵ ，将 两边平方得 ，
∴ ，可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，联立 ，
∴ ， ，∴ ．
47．已知 ，且函数 ．
(1)化简 ；
(2)若 ，求 和 的值．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可，
（2）对 平方可求出 ，再由 可得 ，然后求出
，从而可求得 的值
【详解】(1)
．
(2)由 ，
平方可得 ，
即 ．
∴ ．
又 ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
48．已知 ，若角 的终边过点 .
(1)求 的取值.
(2)求 的值.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由诱导公式化简 ，化简 ，由三角函数定计算出 可得结论．
（2）由平方关系化待求式为关于 的齐次式，然后弦化切，代入（1）的结论计算．
【详解】（1）
角 的终边过点 ，
.
（2）
49．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；(2)【分析】（1）将原式变形为 ，然后根据齐次式进行计算即可；
（2）首先通过诱导公式进行化简整理，然后根据齐次式进行计算即可；
【详解】（1）由 ，得 ，
分子分母同除 得： .
（2）
，
分子分母同除 得： .
50．已知关于x的方程 的两根为sinθ和cosθ， ，求：
(1) ＋ 的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值.
【答案】(1) ；(2) ；(3)方程的两根是 ，θ的值为 或 .
【分析】(1)利用韦达定理建立关系，再利用同角公式化简变形即可得解.
(2)利用(1)的结论，再借助平方关系即可计算作答.
(3)利用(2)的结论解出方程，再利用特殊角的三角函数值即可得解.
【详解】(1)因sinθ和cosθ是关于x的方程 的两根，则 ，
所以 .(2)由(1)知， ，两边平方得： ，解得 ，
由(1)得 ，解得 ，此时，方程的判别式 ，
所以 的值是 .
(3)由(2)知，原方程为 ，即 ，解得 ，
于是有 或 ，而 ，则 或 ，
所以原方程的两根是 ，θ的值为 或 .
