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第 02 讲 常用逻辑用语 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知命题 ， ，则命题p的否定是
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】对带量词的命题的否定应该分别否定量词和结论即得.
【详解】命题 ， 的否定是 ， ．
故选:C．
2．（2022·全国·模拟预测）荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”
这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由
此可得，“至千里”是“积跬步”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分必要条件的定义求解.
【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积
跬步”的的充分不必要条件.
故选:A.
3．（2024上·山西长治·高一校联考期末）“ ”是“函数 的定义
域为 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既
不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出对数复合函数定义域为 的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定
义判断即可.
【详解】由于函数 的定义域为 ，则 在 上恒成立，
故满足 ，解得 ，由 成立得 一定成立，
反之 成立时， 不一定成立，
所以“ ”是“函数 的定义域为 ”的必要不充分条件.故选：B
4．（2024上·山东日照·高一统考期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对 化简，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】不等式 可化为 ，即 ，即 ，解得
，
因为“ ”不能推出“ ”，“ ”能推出“ ”，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
5．（2024上·新疆喀什·高一校考期末）“ ”是“等式 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件
D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】由题意， 解得 或 ，然后根据充分条件与必要条件的定义判断
即可.
【详解】因为 ，即 ，解得 或 ，
所以 能推出 ， 不能推出 ，
所以“ ”是“等式 ”的充分不必要条件，
故选：A.
6．（2024上·重庆·高一重庆一中校考期末）若“ ”是“ ”的必要不充
分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果.
【详解】因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所以 ，即 ，解得 ，
故选：B.
7．（2024上·广东江门·高一统考期末）已知命题 ， 是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由命题p的否定“ ， ”为真命题，分离参数可得 对
恒成立，由基本不等式求出 的最小值即可得出答案．
【详解】解：由题意，命题p的否定“ ， ”为真命题．
即 对 恒成立，
因为 ， ，
当且仅当 ，即 时取等，
所以 .
故选：C．
8．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）已知命题“对 ，都有
恒成立”为真，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，则问题转化为 在 的最
小值满足 ，再利用二次函数的性质解不等式即可求出.
【详解】令 ，则问题转化为 在 上的最小
值满足 即可.
当 时， ，最小值为 ，符合题意；
当 时，对称轴 ，函数 在 上单调递减，
而 适合题意；当 时，对称轴 ，
则 ，
所以 ；
综上 的取值范围为 .
故选：A.
二、多选题
9．（2024上·江西上饶·高一统考期末）下列式子中，使不等式 成立的充分不
必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意 ，
对比选项可知，使不等式 成立的充分不必要条件可以是 或 .
故选：BD.
10．（2024上·湖北·高一校联考期末）设 ，不等式 恒成立的充分不必
要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用一元二次不等式的解法分类讨论计算得 的范围，再结合充分不必要条件的
定义即可.
【详解】当 时，不等式为 ，满足题意；
当 时，则必有 且 ，解之得 ，
综上a的取值范围为 ，显然 及 均为 的真子集，
即选项B，C满足条件．
故选：BC
三、填空题
11．（2024上·云南昆明·高二统考期末）若 是 的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个 为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】化简 ，写出一个范围比 小的即可.
【详解】由 ，解得 或 ，故 ，
因为 是 的一个充分不必要条件，
写出一个范围比 小的即可，
故 .
故答案为： （答案不唯一）
12．（2022·全国·高三专题练习）已知 ：函数 的值恒为负，则
是 的 条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不
必要”）
【答案】充分不必要
【分析】判断命题 之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】由于函数 ，
当 时， ，而 ，
即此时函数 的值恒为负；
当 时，函数 的值也恒为负，
故函数 的值恒为负，推不出 ，
故 是 的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
四、解答题
13．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知集合 ，
．
(1)若 ，求 ；
(2)若“ ”是“ ”的充分条件，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到 ，再根据并集概念求出答案；
（2）根据题意得到 是 的子集，从而得到不等关系，求出答案.【详解】（1）不等式 的解集是 ，所以 ．
当 时， ，故 ；
（2）因为“ ”是“ ”的充分条件，所以 是 的子集，
故 ，解得 ，即
14．（2024上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）已知命题 ，不等式
恒成立；命题 ，使 成立.
(1)若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 中恰有一个为真命题，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 在 上恒成立可得 即可.
（2）由 在 上有解可得 ，即可得 为真时 的范围，再结合 一真
一假求解即可.
【详解】（1）根据题意，命题 ，不等式 恒成立，
若命题 为真命题，则 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
（2）根据题意，命题 ，使 成立，
则 ，即 ，
或 ，
又命题 中恰有一个为真命题，则命题 一真一假，
①当 真 假时， ，解得 ；
②当 假 真时， ，解得 .
综上，实数 的取值范围为 .
B能力提升
1．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）“ ”是“不等式
对任意的 恒成立”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先根据不等式恒成立得出 .比较，即可得出答案.
【详解】当 时， 对任意的 恒成立；
当 时，要使不等式 对任意的 恒成立，
则应有 ，解得 .
综上所述， 的取值范围为 .
显然“ ”包含的范围包含于“ ”包含的范围，
所以，“ ”是“不等式 对任意的 恒成立”的充分
不必要条件.
故选：A.
2．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）设 ，命题 ，
命题 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题意通过作差法得出命题 的充要条件为 ，结合充分不必要条件
的定义即可得解.
【详解】由题意
，
即命题 的充要条件为 ，
所以命题 是命题 的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022上·河南·高三专题练习）已知 ， ，若 是 的必要
不充分条件，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先对 求解得 ，对 化简得 ，再结合 是 的必要
不充分条件，对 进行分类讨论，即可求解.
【详解】由 ，解得 ，所以 ，对于 ，即 ，
若 ，解得 ，要使 是 的必要不充分条件，则 ，所以 ；
若 ，解得 ，要使 是 的必要不充分条件，则 ，所以 ；
若 ，则 为 ，符合题意，所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
4．（2024上·湖北荆州·高一校联考期末）若命题 为真命题，
则m的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用二次函数性质求解可得.
【详解】由题意，不等式 有解，即不等式 有解，
设 ，则函数图象开口向上，
要使不等式 有解，则函数 图象与 轴有交点，
则 ，化简得 ，解得 或 ．
故答案为：
C综合素养
5．（2023上·浙江·高一校联考阶段练习）设 ，若满足 ，则称
比 更接近 .
(1)设 比 更接近0，求 的取值范围；
(2)判断“ ”是“ 比 更接近 ”的什么条件，并说明理由；
(3)设 且 ，试判断 与 哪一个更接近 .
【答案】(1)
(2)充分不必要条件，理由见解析；
(3) 更接近
【分析】（1）依据定义列出不等式，结合一元二次不等式解法即可求得 的取值范围；
（2）根据已知条件分别判断充分性和必要性是否成立即可得出结论；
（3）由 且 利用函数单调性，分别对 和 时 与
的大小进行比较，即可得出结论.【详解】（1）根据题意可得 ，即 ；
可得 ，解得 ；
即 的取值范围为 ；
（2）充分性：显然 ，由 可得 ，
①若 ，则 ，可得 ；
又 可得 ，所以 ；
即可得 ，此时可以得出“ 比 更接近 ”；
②若 ，则 ，可得 ；
又 可得 ，所以 ；
即可得 ，此时可以得出“ 比 更接近 ”；
因此充分性成立
必要性：由 比 更接近 可得 ，即 ，
若 ，此时 ，即必要性不成立；
所以“ ”是“ 比 更接近 ”的充分不必要条件；
（3）当 时，显然 在 上单调递减，
所以 ，即 ；
易知 ，
所以 ，
由对勾函数性质可知 在 上单调递增，
所以 ，
即可得 ，即 ；
同理当 时，由单调性可知 ，即 ；可知 ，
又由对勾函数性质可知函数 在 上单调递减，在 上单调
递增；
又 ，
所以 在 时恒成立，即
；
综上可得满足 ，即 更接近 .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新定义的概念，并结合不等式性质以及函数单调
性比较出两绝对值大小，再由定义得出结论.
6．（2023上·上海松江·高一校考期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数
和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义 且 ，将
称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若 ， ，求 和 ；
(2)试证明：“ ”是“ ”的充要条件；
(3)若集合 是有限集，将集合 的元素个数记为 .已知 ，且存在实
数 满足 对任意 恒成立.求 的取值范围，并指明当 取到最
值时 和 满足的关系式及 应满足的条件.
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）根据 的定义直接运算求解；
（2）根据 的定义结合充分必要条件分析证明；
（3）设 ，则 ， ，结合基
本不等式求 的取值范围，并结合根式分析求解.
【详解】（1）由题意可得： ，
.（2）若 ，设 ，
由定义可知： 且 ，
所以“ ”是“ ”的必要条件；
若 ，对任意 ，均有 ，
即对任意 ，均有 ，
由任意性可知 ，则 ，
所以“ ”是“ ”的充分条件；
综上所述：“ ”是“ ”的充要条件.
（3）设 ，
则 ， ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以实数 的取值范围 .
若 取到最大值，则 ，即 ，
可得 ，即 ，
所以 .
