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易混易错3 忽略三角函数的有界性或角的范围（小题狂
练）
一．单选题.
【忽视角的范围致误 2025 上湖南长沙期末】
1．若
，
，并且
均为锐角，且
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得
，
，
再由两角差的余弦公式计算可得结果.
【详解】由
，可得
，
又
，所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
.
故选：C
【易错指导】解决本题的关键是用已知角表示所求角，即
，
二易错之处是忽视
和
的范围导致三角函数值错误.
【忽视三角形中的边角关系致误 2025 上山东济宁阶段练习】
2．在三角形
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】由正弦定理求解出角
，然后由内角和定理求解角
即可.
【详解】由
可得：
，
所以
，又
，
所以
，
结合内角和定理，所以
.
故选：B
【易错指导】已知三角形的两边及其中一边对角解三角形时，利用正弦定理求角的正弦值
后，要注意利用边角的大小关系求角.
【忽视角的范围致误 2025 上辽宁沈阳期中】
3．已知等差数列
中，
，
，又
，
，
其中
，则
的值为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用等差中项的性质可以算出
，再利用等差数列中的关键量
和
可以求出
.
利用
，求出
，进而求出
，确定
即可
得出结论.
【详解】
，
，
，
，
，
.又
，
，
.
，
，
，
.
故选：D.
【易错指导】利用等差中项的性质可以算出
，再利用等差数列中的关键量
和
可以求
出
.利用
，求出
，进而求出
，确定
即可得出结论.
【忽视角的范围致误 2024 全国专题练习】
4．已知
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数关系及角的范围得到
，从而利用正切和角公式得到
，得到答案.
【详解】由
且
可知
为锐角，
为钝角，
故
，
，
，
，
.
故选：B
【易错指导】根据同角三角函数关系及角的范围得到
的解题的关键，往往因忽视
角的范围导致错误.
【忽视角的关系致误 2024 北京模拟】
5．已知
，
则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用正弦函数性质得出
的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．
【详解】由
，
可得
或
，
即
或
，
所以由“
”推不出“
”，由“
”可
推出“
”，
所以“
”是“
”的必要不充分条件．
故选：B．
【易错指导】解决本题的关键是利用诱导公式根据三角函数值的关系得到角与角之间的关
系，往往忘记公式四导致出现错误.
【函数正弦函数值、余弦函数值的关系致误】
6．若
，
是关于
的方程
的两个根，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
【答案】A
【分析】由已知中
、
是关于
的方程
的两个实根，求出满足条
件的
的值，然后根据韦达定理结合同角三角函数关系，求出满足条件的
的值．
【详解】若方程
有实根，
则
或
，
若
、
是关于
的方程
的两个实根，
则
，
则
即
，
（舍去）
故选：
．
【易错指导】解决本题时往往只注重根与系数的关系，而忽视同角三角函数基本关系导致
错误.
【忽视对角的范围的判断致误 2024 安徽芜湖检测】
7．记
的内角
的对边分别为
，
，，若
，则
为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由已知条件和正弦定理得
，再由角
的范围得
满足的关系.
【详解】由
，得
，
由正弦定理得
，所以
，
因为
，所以
或
，
所以
或
.即
是等腰或直角三角形.
故选：D.
【易错指导】注意不要忽视对角的范围的判断，导致漏解
，从而误选A
【忽视角的范围致误 2024 江苏南通模拟】
8．已知
，向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式结合向量平行求解即可.
【详解】法1：根据题意得
，则有
，变形可得
，解得
或
．又
，则必有
．故选：
C．
法2：选项验证法！
观察选项，当
时，
，不符合题意；
当
时，
，
，不符合题意；
当
时，
，符合题意；
当
时，
，不符合题意．
故选:C．
【易错指导】注意利用条件中的角的取值范围的限制，从而把增根
舍去
【忽视角的范围致误 2024 湖北省七州市调研】
9．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据公式
化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，
即可化解求值.
【详解】由条件等式可知，
，
整理为
，则
，
又
，
，
所以
，
，
所以
.
故选：D
【易错指导】在利用同角三角函数的基本关系求值时，一定要注意角的范围
【忽视角的范围致误 2024 广东广雅中学检测】
10．已知函数
在区间
内没有零点，但有极值点，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式化简，由正弦函数的图像与性质求出
的取值范围，最后根据两
角和差公式求解.
【详解】
,其中
（取
为锐角），
，其中
（取
为锐角），
设
，由
，可得
.
在区间
内没有零点，但有极值点时，
,可得
.
所以
.
因为
，
，所以
.
所以
，
所以
在
上的最大值在
取得，故
.
又
，
,
所以
的取值范围是
.
故选:A.
【点睛】知识方法:有关三角函数综合问题的求解策略:1.根据题意问题转化为三角函数的解
析式和图像，然后再根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.
2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇
偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等
概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
【易错指导】由
得到
是解题的关键，这样便可知
先增再减，最大值在
时取到，最小值比较两个端点值可得在
上的最大值在
时取得，故
．
【忽视三角函数的有界性致误 2024 陕西师大附中模拟】
11．已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
为
的一个周期
C．
的值域为
D．
在
上单调递增
【答案】C
【分析】先利用二倍角公式化简函数，然后利用对称和周期的概念判断AB，利用辅助角
和函数的有界性求函数值域判断C，利用导数法求函数的单调区间判断D.
【详解】由题意得
，
所以
，
所以
的图象不关于直线
对称，故A 错误；
，
故
不是
的周期，故B 错误；
设
，则
，其中
，
所以
，由
得
，解得
，
所以
，即
的值域为
，故C 正确；
因为
，所以
，
令
，得
，所以
，
所以
，故
在
上单调递减，故D 错误
故选：C．
【易错指导】不要忽视三角函数的有界性，否则得不出参数所满足的不等式
【忽视角的范围致误】
12．在△ABC 中，已知
，则△ABC 的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦的和差角公式可化简
得
，再运用正弦定理将边化为角，根据正弦的二倍角公式化简，
可得出三角形的角的关系，可判断出三角形的形状.
【详解】由
得
，
即得
，即
，再由正弦定理可得
，
即
，
所以
，所以
，即
，解得
或
，
即
或
，所以
的形状为等腰三角形或直角三角形。
故选：D.
【点睛】本题主要考查正弦的和差角公式，正弦定理的应用，正弦的二倍角公式，关键在
于运用相应的公式进行三角形的边角进行转化，统一边或角，属于中档题.
【易错指导】根据正弦定理或余弦定理判断三角形形状时通常是将已知条件转换成只含边
或角的式子．特别注意转化为角来解决时，不要忽视角的范围．
二．多选题.
【忽视角的范围致误 原创】
13．（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A．在
中，
，则
B．在锐角
中，不等式
恒成立
C．在
中，若acosA＝bcosB，则
必是等腰直角三角形
D．在
中，若
，
，则
必是等边三角形
【答案】ABD
【分析】A 应用正弦定理及三角形中大边对大角即可判断正误；B 由锐角三角形易得
，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断正误；C 由正弦定理
边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B 的数量关系；D 利用余弦定理，结合已知
得
，进而判断
的形状.
【详解】A：若
，而
，即
，故
，正确；
B：由锐角
知：
，即
，则
，正确；
C：由题设
，可得
，又
，则
或
，故
为等腰或直角三角形，错误；
D：由题设，
，故
，即
，又
，可知
，故
必是等边三角形，正确.
故选：ABD
【易错指导】这里容易想当然地认为
，由于
的范围扩大了，因此存在两种
可能，即
或
【忽视角的范围致误 2025 上吉林期末】
14．已知
，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用二倍角的正切公式及两角和的正切公式进行求值判断.
【详解】
，
，
由
，解得
或
（舍去），故A 正确；
由
，又
，则解得
，故B 正确；
由
，且
，
即
，故C 错误，D 正确.
故选：ABD
【易错指导】通过三角函数值求角时，要注意正确判定角的范围，以免出现增解或错误答
案.
【忽视角的范围致误 2024 辽宁模拟预测】
15．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据题意利用
可判断A 选项；由
和
判断
的取值范围，进而易得
，可判断B 选项；先求
，然后利用
可判断C 选项；由
可判断D 选项.
【详解】对于A：因为
，
，
所以
,故A 错误；
对于B：
，则
又
，
所以
，所以
，故B 正确；
对于C：由
，
可得
，
，
又
，所以
，故C 错误；
对于D：根据C 选项知
，
所以
,故D 正确.
故选：BD．
【易错指导】由
和
判断
的取值范围，进而易
得
，可判断B 选项，这是该题的易错之处.
【忽视角的范围致误 原创】
16．下列说法正确的是（ ）
A．已知集合
和
，则
B．在
中，
是
的充要条件
C．若
，则
D．在
中，若
，则
为等腰三角形
【答案】ABC
【分析】根据集合
和
的形式换算即可判断A 选项；结合正弦定理即可判断B 选项；
结合正、余弦函数图象即可判断C 选项；由题意可得
或
，即可判断D
选项.
【详解】对于A 选项：集合
，集合
，所以
，故A 正确；
对于B 选项：因为在
中，由正弦定理
，若
，
；反之，若
，
，故B 正确；
对于C 选项：
，即
，由正、余弦函数图象可知C 正确；
对于D 选项：若
，则
或
，所以
或
，所以
为等腰三角形或直角三角形，故D 错误．
故选：ABC．
【易错指导】这里极易忽视是在三角形中，以及三角形内角和是
【放缩角的范围不当致误 原创】
17．在
中，若
，则（ ）
A．对任意的
，都有
B．对任意的
，都有
C．存在
，使
成立
D．存在
，使
成立
【答案】AD
【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC.
【详解】在
中，当
时，
，取
，则
，
，
，
，则
，B 错，D 对；
显然
，即
，则
，
令
，
，
，
因此函数
在
上单调递减，则
，即
，从而
，A 对，C 错.
故选：AD
【点睛】思路点睛：涉及不同变量的数式大小比较，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，
分析并运用函数的单调性求解作答.
【易错指导】涉及不同变量的数式大小比较，细心挖掘变量的内在联系、缩小变量取值范
围，化多变量为单变量、构造函数，分析并运用函数的单调性求解
【忽视角的范围限制致误 2024 哈尔滨六中二模】
18．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，
，则
边上的中线
长为
B．若
，
，
，则
有两个解
C．若
不是直角三角形，则一定有
D．若
是锐角三角形，则一定有
【答案】CD
【分析】利用向量化即可判断A；利用正弦定理解三角形即可判断B；根据三角形内角和
定理结合两角和的正弦定理即可判断C；由
，
，结合正弦函数的单
调性即可比较
，进而可判断D.
【详解】对于A，由
为
的中点得：
，
所以
边上的中线
长为
，故A 错误；
对于B，
，
，
，
因为
，所以
，
所以
或
，
又因为
，所以
，且
只有一个解，
所以
只有一个解，故B 错误；
对于C，因为
，
所以
，
又因为
，
所以
，
所以
，故C 正确；
对于D，因为
是锐角三角形，所以
，
又
，所以
，
所以
，所以
，
同理
，
所以
，故D 正确.
故选：CD.
【易错指导】由
，从而得出
和
的大小关系与取值范围
所以
，同理
，所以
，故D 正确．故选CD．
【易错指导】注意求出角的取值范围的限制
三．填空题.
【忽视角的范围致误】
19．已知
，
，则
．
【答案】
【详解】由
可得
，即
，所以
，则
，由于
且
，故
，所以
， 应填答案
．
【易错指导】在已知
的值求
或
的值时需开方，因此要根
据角的范围确定正负号的选择．而往往忽略了角
取值范围导致错误．
（24-25 高一上·云南昆明·期末）
20．函数
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系得到
，结合
和余弦图象，
求出最小值.
【详解】
，
因为
，所以
，
，
，故最小值为
.
故答案为：
【易错指导】利用同角三角函数关系得到
，结合
和余弦
图象，求出最小值.
【忽视角的范围致误 教材溯源题】
21．已知α 是第二象限的角，
，则
．
【答案】
##
【分析】利用余弦二倍角公式及商数关系式求解结果.
【详解】因为
，又α 是第二象限的角，
所以
，
，
所以
.
故答案为：
.
【易错指导】忽视角的取值范围，导致符号判断出错或产生增解，求三角函数值问题时，
一定要关注角的取值范围的限制
【忽视角的范围致误 原创】
22．在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，S 为
的面积，且
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得
，再根据同角关系式可得
，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得
，结合条件可得
取值范围，进而求得
的取值范围，令
，则
，然后由对勾函数的
单调性即可求出．
【详解】在
中，由余弦定理得
，
且
的面积
，
由
，得
，化简得
，
又
，
，联立得
，
解得
或
（舍去），
所以
，
因为
为锐角三角形，
所以
，
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
设
，其中
，所以
，
由对勾函数单调性知
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以
，即
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得
，进而可以求解.
【易错指导】
是锐角三角形，三个内角都有取值限制，所以
的范围不应该只是简
单的
的大小也会时其有影响，要考虑全面
【忽视角的范围致误 教材溯源题】
23．设函数
，其中
，且
，将
的图象上各
点横坐标伸长为原米的2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
个单位，得到
图象，则
在区间
上的最小值为 .
【答案】
##
【分析】根据三角函数的图象变换求出
的解析式，再根据正弦函数的图象性质求
解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，
所以
，
将
的图象上各点横坐标伸长为原米的2 倍（纵坐标不变），
可得
的图象，
再将得到的图象向左平移
个单位，得到
图象，
则
，
因为
，所以
，
所以当
，即
时，
有最小值为
，
故答案为:
.
【易错指导】注意自变量的范围的限制，不要想当然认为
的最小值为
，从而产生错解、求三角函数的最值，一定要注意自变量的范围的限制
【忽视角的范围致误 2025 上山东日照期中】
24．设A，B，C 是函数
与函数
的图象连续
相邻的三个交点，若
是钝角三角形，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先化简变换得到
，在同一坐标系中作出两个函数图像，设
为
的中点，由
，
，然后根据
为钝角三角形，
只须
，由
求解，
【详解】由题意得，
，作出两个函数图像，如图：
为连续三交点，（不妨设
在
轴下方），
为
的中点，
由对称性，则
是以
为顶角的等腰三角形，
，
由
，整理得
，
解得
，则
，
即
，
所以
，
因为
为钝角三角形，
则
，
所以
，
解得
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键是将
为钝角三角形
，转化为则
，
利用以
而得解.
【易错指导】解决本题的关键是将
为钝角三角形
，转化为则
，
利用以
而得解，也是学生容易忽视的地方.
【忽视正弦函数的有界性致误 2025 上福建厦门阶段练习】
25．已知关于
的方程
（
）在
有四个不同的实
数解，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】令
（
），判断出
为偶函数，将问题转化
为研究
时，
有两个零点，令
，则
有一个零点
，分
和
两种情况，结合二次函数
的性质分析求解即可.
【详解】当
，
（
），
则有
，所以函数
为偶函数，
由偶函数的对称性，
只需研究
时，
有两个零点，
设
，由
，
则
有一个零点在
上，
若
是函数
的零点，则
，
在
上只有一个零点，不符合题意，
所以
有一个零点
，
①当
时，
，
，解得
，不符合题意；
②当
时，
，只需
即可，
只需
，解得
.
所以
.
综上：实数
的取值范围为
，
故答案为：
【易错指导】解决本题的关键将问题转化为研究
时，
有两个零点，令
，则
有一个零点
，分
和
两种情况，一定要注意利用正弦函数的有界性得到
.
1.试题特点分析：正弦函数、余弦函数是有界函数，这里的有界性值得是值域
的有界性，在处理三角函数的值域问题时，往往要注意隐含的有界性；在研究
三角函数问题时，角的范围尤其重要，有时并不是单纯的确定出角是锐角还是
钝角，而还需要进一步确定角度的更小范围，如果答案中包含两个选项，则通
常需要验证这两个选项的正确性，但是为了避免验证，最好在题目一开始中就
要找到三角形中隐含的条件.
2.解题方法阐述：首先要明确涉及到的三角函数的有界性（往往是隐含条件）
或角的范围.其次明确知识联系与加工，探求有界性和角的范围和所解决问题的
联系和制约，寻找解决方法.
3.解题经验分享：第一、注意隐含条件，只有准确把握三角函数的有界性或角
的限制条件，才能进行后续的解题步骤. 第二、正确进行推理，一定要注意限
制条件的影响.
