第 7 讲 三招破解向量问题
向量的定义决定了向量既有几何意义，又有代数运算，更有数形结合及坐
标表示，因此分析向量问题时可从以下三个方面把握:
①向量的基本运算和常用结论——公式法;
② 先转化至基底再求解(常用的是建立坐标系)——基底法；
③ 从几何意义入手——几何法.
常用的结论有以下几个.
1. 奔驰定理
如图，已知 P 为 △ABC 内一点， ⃗PA ⋅S A+⃗PB⋅SB+⃗PC ⋅SC =0 ，其中
S A ,SB,SC 分别是 △BPC ,△APC ,△APB 的面积,有以下类似结论:
(1) 当点 P 在区域①或④时，有 ⃗PA ⋅(−S A)+⃗PB⋅SB+⃗PC ⋅SC =0 ；
(2) 当点 P 在区域③或⑥时，有 ⃗PA ⋅S A+⃗PB⋅(−SB)+⃗PC ⋅SC =0 ；
(3) 当点 P 在区域②或⑤时，有 ⃗PA ⋅S A+⃗PB
⋅SB+⃗PC ⋅(−SC)=0 .
2. 三角形“五心”的向量表示(“奔驰定理”的特殊情况)
(1) 点 P 是 △ABC 的重心 ⇔⃗PA +⃗PB+⃗PC =0 ；
(2) 点 P 是 △ABC 的内心， ⇔a⃗PA +b⃗PB+c⃗PC =0 ；
(3) 点 P 是 △ABC 的外心 ⇔sin 2 A ⋅⃗PA +sin 2B⋅⃗PB+sin 2C ⋅⃗PC =0 ；
(4) 点 P 是非 Rt △ABC 的垂心 ⇔tan A ⋅⃗PA + tan B⋅⃗PB+ tanC ⋅⃗PC =0
；
(5) 点 P 是 △ABC 的旁心 I A⇔(−a)⃗PA +b⃗PB+c⃗PC =0 ，
相
应
地
，
旁
心
I B, I C
分
别
对
应
a⃗PA +(−b)⃗PB+c⃗PC =0,a⃗PA +b⃗PB+(−c)⃗PC =0 .
3. 极化恒等式
a⋅b=(
a+b
2 )
2
−(
a−b
2 )
2 ,此公式常用于处理向量数量积问题.
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【例 1】已知 |a)=|b)=1,a⋅b= 1
2 ,(c−a)⋅(c−b)=0 ,若 |d −c)=1 ,求 |d)
的最大值.
【分析】本题是关于向量模长的问题,可从几何、基底、向量运算三个角度
入手,分别得到以下解法.
【解答】解法一: 如图,作 ⃗OA =a,⃗OB =b,⃗OC =c ,⃗OD =d ,
则 ∠AOB =60
∘,⃗CA ⋅⃗CB=0 ,
所以向量 c 的终点 C 的轨迹是以 AB 中点 M 为圆心,以 1
2 为半径的
圆,
向量 d 的终点 D 的轨迹是以点 C 为圆心 (点 C 是圆 M 上的动点),以
1 为半径的圆,
所以 |d)max =
❑√3
2 + 1
2 +1=
❑√3+3
2
.
解法二: 基底法 (坐标)
设 a=(1,0),b=(
1
2 ,
❑√3
2 ),c =(x , y),d =(x0, y0) ,
由 (c−a)⋅(c−b)=0 可得 (x−3
4)
2
+( y −
❑√3
4 )
2
= 1
4
,
由 |d −c)=1 及结合图形可得 |d)max =
❑√3+3
2
.
解法三:(三角不等式)
因为 |d)−|c)≤|d −c)=1 ,而由上图可得 |c)max =
❑√3+1
2
,所以 |d)max =
❑√3+3
2
.
【例 2】( 1 )已知 O 为 △ABC 内一点，且 ⃗OA +2⃗OB+2⃗OC =0 ，
△ABC 和 △OBC 的面积分别是 S△ABC 和 S△OBC ,则 S△OBC
S△ABC
= _____.
(2) 已知 O 为 △ABC 的外心，且 ⃗OA + ❑√3⃗OB+2⃗OC =0 ，则 ∠AOC
的大小为( )
A. 30
∘ B. 60
∘ C. 120
∘ D. 150
∘
【分析】(1) 根据“奔驰定理”, S△OBC
S△ABC
=
1
1+2+2 = 1
5
,
(3) 解法一:如图， ⃗OD =−2⃗OC ,⃗O B
′ = ❑√3⃗OB ，连结 B
′ D , AD .
不妨设圆 O 的半径为 1,则 |O B
′)= ❑√3,|B
′ D)=|OA)=1,|OD)=2 , 于是四边
形 O B
′ DA 是矩形,且 ∠DOA =60
∘ ,
于是 ∠AOC =120
∘ .
解法二: 因为 ⃗OA + ❑√3⃗OB+2⃗OC =0 ,不妨设圆 O 的半径为 1,
所以 ⃗OA +2⃗OC =−❑√3⃗OB ,
两边平方可得 1+ 4⃗OA ⋅⃗OC + 4 =3 ，所以 ⃗OA ⋅⃗OC =−1
2 ，
所以 cos∠AOC =⃗OA ⋅⃗OC
|⃗OA)|⃗OC)
=−1
2
，所以 ∠AOC =120
∘ ，
【解答】(1) 1
5
(2)C
评注:结合三角形外心在向量中的表示，可以通过数形结合解决问题，亦可
通过代数方法解决. 第(2)题也可用 sin 2 A ⋅⃗OA +sin 2B⋅⃗OB+sin 2C ⋅⃗OC =0 来
解决.
【例 3】已知向量 a,b,c 满足 |a−b)= 4 ，且 (a−c)⋅(b−c)=−3 ，则
c⋅(a+b) 的最小值为_____.
【分析】如图,记 ⃗OA =a,⃗OB =b,⃗OC =c , D 为 AB 的中点,
则 (a−c)⋅(b−c)=⃗CA ⋅⃗CB =−3 .
而由极化恒等式得 ⃗CA ⋅⃗CB =(⃗
CA +⃗CB
2
)
2
−(⃗
CB−⃗CA
2
)
2
=⃗C D
2−2
2 ,
所以 ⃗C D
2=−3+ 4 =1 ,即得点 C 的轨迹是以 D 为圆心,1 为半径的圆.
所以 c⋅(a+b)=2⃗OC ⋅⃗OD .
解法一: 利用极化恒等式可得,⃗
OC ⋅⃗OD =(⃗
OC +⃗OD
2
)
2
−(⃗
OC −⃗OD
2
)
2
=⃗OE
2−(
1
2)
2
≥−1
4
(其中 E 为 CD 中
点),
所以 c⋅(a+b) 的最小值为 −1
2 .
解法二: (向量投影)
因
为 ⃗
OC ⋅⃗OD =|⃗OD)⋅(⃗OC 在⃗OD 方向上的投影)≥|⃗OD)⋅(|⃗OD)−1)=(|⃗OD)−1
2)
2
−1
4 ≥−1
4
所以 c⋅(a+b) 的最小值为 −1
2 .
解法三: (三向量平方和配凑)
因为 (a+b)⋅c = (a+b+2c)
2−(a−b)
2−4 (a−c)⋅(b−c)
8
= (a+b+2c)
2−4
8
≥−1
2
, 所以 c⋅(a+b) 的最小值为 −1
2 .
【解答】 −1
2
【例 4】过 △ABC 的重心 G 作直线 l 将 △ABC 分成两部分,则这两部
分的面积之比有 ( )
A. 最小值 3
4 B. 最小值 4
5 C. 最大值 4
3 D. 最大值 5
4
【分析】这是一个平面几何问题,除了平面几何方法还可以用解析法与向量
法,但本题若用解析法则计算量较大,若用向量法,由于这两部分面积是由 P ,Q
两点决定的,这里有多个三点共线, 且是面积比问题, 故可考虑用基底法.
如图,由对称性不妨设直线 l 与边 AB 以及 AC 相交,交点分别为 P ,Q .
设 ⃗AP = λ⃗AB ,⃗AQ = μ⃗AC ,
则 △APQ 的面积与 △ABC 的面积之比为 λμ .
由于 3
2⃗AG = 1
2⃗AB+ 1
2⃗AC ,
因此, ⃗AG = 1
3 λ⃗AP+ 1
3 μ⃗AQ ,
从而 1
λ + 1
μ =3, λ , μ∈(0,1] ,
所以 λμ∈[
4
9 , 1
2)
,
因此 △APQ 的面积与 △ABC 的面积之比的取值范围是 [
4
9 , 1
2)
,
所以将 △ABC 分成的两部分的面积之比的取值范围是 [
4
5 , 5
4)
.
【解答】BD
评注:向量方法也是解决平面几何比值问题的利器之一，另外，当直角坐标
系计算不方便求解时，可用一般的基底进行处理.
【例 5】已知 O 为 △ABC 的外心， ∠ABC =60
∘,⃗BO = λ⃗BA + μ⃗BC ，则
()
A. λ+ μ 的最小值为 1
2 ，此时 △ABC 为直角三角形
B. λ+ μ 的最大值为 1
2 ，此时 △ABC 为直角三角形
C. λ+ μ 的最小值为 2
3 ，此时 △ABC 为等边三角形
D. λ+ μ 的最大值为 2
3 ，此时 △ABC 为等边三角形
【分析】从选项看出主要研究 λ+ μ ，所以可以考虑从三点共线入手.
解法一:(几何作法)
如图，延长 BO ，交直线 AC 于点 D ，
根据等和线得 ⃗BO =(λ+ μ)⃗BD ，记 |⃗BO)=1 ，
则当 ⃗BO 与 ⃗BD 同向时, |⃗BD)∈[
3
2 ,+∞)
,此时 λ+ μ 的取值范围是
(0, 2
3)
;
当 ⃗BO 与 ⃗BD 反向时, |⃗BD)∈(0,+ ∞) ,此时 λ+ μ 的取值范围是 (−∞,0)
,
综合得 λ+ μ 的取值范围是 (−∞,0)∪(0, 2
3)
; 当 △ABC 为等边三角形
时, λ+ μ 取得最大值 2
3 ,
解法二: 因为 ⃗BO = λ⃗BA + μ⃗BC ,
所以 (1−λ−μ)⃗BO = λ⃗OA + μ⃗OC ,不妨设外接圆半径为 R ,
两边平方可得 1+3 λμ=2(λ+ μ) .
又因为 λμ≤(
λ+ μ
2 )
2 ,解得 λ+ μ≤2
3
或 λ+ μ≥2 (舍去),
经检验,当 △ABC 为等边三角形时, λ+ μ 取得最大值 2
3 .
【解答】D
【例 6】设 O 为 △ABC 的外心,若 ⃗AO =⃗AB+2⃗AC ,则 sin ∠BAC =
_____.
【分析】利用向量加法的定义.
作 ⃗AD =2⃗AC ,则 ⃗AO =⃗AD +⃗AB ,则四边形 ODAB 为平行四边形.
不妨设圆 O 的半径为 R =1 ,则 AD =1, AC = 1
2 ,OC =OA =OB =1 .
因为 OB// AC ,所以 cos∠COB =−cos∠OCA =−1
4 .
在 △OBC 中,由余弦定理可得 BC =
❑√1
2+1
2−2×1×1×cos∠COB =
❑√10
2 ,
在 △ABC 中,由正弦定理可得
BC
sin ∠BAC =2 R =2 ,
所以 sin ∠BAC =
❑√10
4 .
【解答】
❑√10
4
评注:本题也可通过移项平方, 使用外心公式来求解.
