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§1.5 基本不等式的综合应用
分值：100 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知a>0，b>1，ab-a=1，则a+b 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.5
2.已知F1，F2是椭圆C：x
2
9 + y
2
4 =1 的两个焦点，点M 在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13
B.12
C.9
D.4
3.已知实数x，y>0，1
x + 4
y =2，且x+y≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为( )
A.(-∞，9
2]
B.(-∞，9]
C.[
9
2 ，+ ∞)
D.[9，+∞)
4.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0 成立，则实数a 的取值范围是( )
A.a<√3
3
B.0≤a≤4
7
C.a>√3
3
D.a>4
7
5.(2024·宿州模拟)定义：对于数a，b，若它们除以整数m 所得的余数相等，则称a 与b 对于模m 同余，记
作a≡b(mod m).已知正整数t 满足t≡11(mod 6)，将符合条件的所有t 的值按从小到大的顺序排列，构成数列
{an}.设数列{an}的前n 项和为Sn，则2Sn+6
n
的最小值为( )
A.12
B.14
C.16
D.18
6.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边
长分别为a，b，c，三角形的面积S 可由公式S=√p( p-a)( p-b)( p-c)求得，其中p 为三角形周长的一半.
已知△ABC 的周长为12，c=4，则此三角形面积最大时，A 等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x+y=1，若mxy
m-1≤x+2y 恒成立，则实数m 的可能取值为( )
A.1
2
B.9
8
C.3
D.17
16
8.若a>1，b>1，且ab=e2，则( )
A.2e≤a+b<e2+1
B.0<ln a·ln b≤1
C.2√2-1≤ln a+logab<2
D.aln b的最大值为e
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2024·南京模拟)若正实数x，y 满足x+y=2，且1
xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为 .
10.已知函数f(x)=ax2+2x+b 的值域为[0，+∞)，其中a>b，则a
2+b
2
a-b 的最小值为 .
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知函数f(x)=x+ 9
x -1(x>1).
(1)求f(x)的最小值；(6 分)
(2)若a2+6a≤f(x)恒成立，求a 的取值范围.(7 分)
12.(15 分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影
响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产
某产品.已知生产该产品的年固定成本为400 万元，最大产能为100 台.每生产x 台，需另投入成本G(x)万元，
且G(x)={
2 x
2+60 x ,0< x ≤40,
201 x + 3 600
x
-2 100,40< x ≤100,由市场调研知，该产品每台的售价为200 万元，且全年内生
产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)；(7 分)
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？(8 分)
每小题5 分，共20 分
13.(2025·德阳模拟)设双曲线x
2
a
2- y
2
a
2+1
=1(a>0)的离心率为e，则当e2+a2取最小值时，e 等于( )
A.√2
B.2
C.√3
D.3
14.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)=2 026x-2 026-x，若m>0，n>1，且f (
1
m -2)+f (
2
n)=f(sin 2 026π)，则
3
2m-1+ 1
n-1的最小值为 .
15.出入相补是指一个平面(或立体)图形被分割成若干部分后面积(或体积)的总和保持不变，我国汉代数学
家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC=b，BC=a(b≥a)，AB=c，图中两
个阴影三角形的周长分别为l1，l2，则l1+l2
a+b 的最小值为 .
16.已知椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)，经过仿射变换{
x' = x ,
y ' = a
b y ,则椭圆变为了圆x'2+y'2=a2，并且变换过程有如下对
应关系：①点P(x0，y0)变为P'(x0，a
b y0)；②直线斜率k 变为k'=a
bk，对应直线的斜率比不变；③图形面
积S 变为S'=a
bS，对应图形面积比不变；④点、线、面位置关系不变(平行直线还是平行直线，相交直线还
是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等).过椭圆x
2
4 +y2=1 内一点P(1，1
2)作一直线与椭圆相交
于A，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为 .
答案精析
1.C
2.C [因为|MF1|+|MF2|=6，
所以|MF1|·|MF2|
≤(|M F1|+|M F2|)
2
4
=6
2
4 =9，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3 时，等号成立，
所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.]
3.A [由1
x + 4
y =2，可得1
2 x + 2
y =1，
又因为x，y>0，
则x+y=(x+y)·(
1
2 x + 2
y)
=1
2+2+ y
2 x +2 x
y
≥5
2+2√
y
2 x · 2 x
y =9
2，
当且仅当y
2 x =2 x
y ，
即y=2x=3 时取等号，
所以(x+y)min=9
2，
由x+y≥m 恒成立，
可得m≤(x+y)min=9
2，
即实数m 的取值范围为(-∞，9
2].]
4.A [当x∈(0，2]时，由ax2-2x+3a<0，
可得a(x2+3)<2x，
由题意得a<(
2 x
x
2+3)max
，
因为2 x
x
2+3=
2
x + 3
x
≤
2
2√x· 3
x
=√3
3 ，当且仅当x=3
x (x>0)，
即x=√3时，等号成立，
所以当x∈(0，2]时，2 x
x
2+3的最大值为√3
3 ，故a<√3
3 .]
5.C [由题意可知an=6n-1，n∈N*，
则数列{an}是等差数列，
所以Sn=n[5+(6n-1)]
2
=3n2+2n，
可得2Sn+6
n
=6n
2+ 4 n+6
n
=6(n+ 1
n)+4
≥12√n· 1
n+4=16，
当且仅当n=1 时，2Sn+6
n
取得最小值16.]
6.C [由题可知a+b=8，c=4，p=6，
则S=√6(6-a)(6-b)(6- 4)=√12(6-a)(6-b)
≤√12×6-a+6-b
2
=4√3，
当且仅当a=b=4 时取等号，
所以此时三角形为等边三角形，
故A=60°.]
7.ABC [由x>0，y>0，得xy>0，
mxy
m-1≤x+2y 恒成立，
即m
m-1≤x +2 y
xy
=2
x + 1
y 恒成立，
又2
x + 1
y =(
2
x + 1
y)(2x+y)=5+2 y
x +2 x
y ≥5+2√
2 y
x · 2 x
y =9，
当且仅当x=y=1
3时，等号成立，
故m
m-1≤9，即m
m-1-9=-8m+9
m-1
≤0，
即{
(m-1)(-8m+9)≤0，
m-1≠0，
解得m<1 或m≥9
8.]
8.ABD [由a>1，b=e
2
a >1，
得1<a<e2，
因为函数f(a)=a+b=a+e
2
a 在(1，e)上单调递减，在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a+b<e2+1，故A 正确；
因为ab=e2，所以有ln a+ln b=2，于是0<ln a·ln b≤(
ln a+ ln b
2
)
2
=1，当且仅当a=b=e 时，等号成立，故B
正确；
ln a+logab=ln a+ln b
ln a=ln a+2- ln a
ln a
=ln a+ 2
ln a-1，
设t=ln a∈(0，2)，所以φ(t)=t+2
t -1 在(0，√2)上单调递减，在[√2，2)上单调递增，
所以φ(t)=t+2
t -1∈[2√2-1，+∞)，故C 错误；
设λ=aln b，所以ln λ=ln aln b=ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D 正确.]
9.1
解析 ∵正实数x，y 满足x+y=2，
∴xy≤( x + y)
2
4
=2
2
4 =1，∴1
xy ≥1，
又1
xy ≥M 恒成立，
∴M≤1，即M 的最大值为1.
10.2√2
解析 函数f(x)=ax2+2x+b 的值域为[0，+∞)，
令ax2+2x+b=0，
则有{
Δ= 4 - 4 ab=0，
a>0，
即ab=1，且a>0，
所以a
2+b
2
a-b =(a-b)
2+2ab
a-b
=(a-b)+ 2
a-b ，
又a>b，所以a-b>0，
则(a-b)+ 2
a-b
≥2√
2
a-b ·(a-b)=2√2，
当且仅当a-b=√2，且ab=1，
即a=√6+√2
2
，b=√6-√2
2
时等号成立，
即a
2+b
2
a-b 的最小值为2√2.
11.解 (1)f(x)=x+ 9
x -1
=x-1+ 9
x -1+1，
因为x>1，所以x-1>0，
所以x-1+ 9
x -1+1
≥2√( x -1)·
9
x -1+1=7，
当且仅当x-1= 9
x -1，即x=4 时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
(2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2+6a≤f(x)恒成立，
所以a2+6a≤7，解得-7≤a≤1，
所以a 的取值范围是[-7，1].
12.解 (1)由题意可得W(x)={
200 x -2 x
2-60 x - 400，0< x ≤40，
200 x -201 x - 3 600
x
+2 100- 400，
40< x ≤100，
所以W(x)={
-2 x
2+140 x - 400，0< x ≤40，
- x - 3 600
x
+1 700，40< x ≤100.
(2)当0<x≤40 时，
W(x)=-2x2+140x-400，
当x=35 时，W(x)取最大值，
W(35)=2 050(万元)；
当40<x≤100 时，
W(x)=-x-3 600
x
+1 700
=-(x + 3 600
x )+1 700
≤-2√x· 3 600
x
+1 700=1 580，
当且仅当x=60 时，等号成立，
因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，所获年利润最大，最大年利润为2 050 万元.
13.C [双曲线x
2
a
2- y
2
a
2+1
=1(a>0)的离心率为e=√2a
2+1
a
，
e2+a2=2a
2+1
a
2
+a2=2+ 1
a
2+a2
≥2+2√
1
a
2 ·a
2=4，
当且仅当1
a
2=a2，即a=1 时取等号，
此时e=√2a
2+1
a
=√3.]
14.2√3
解析 因为f(x)=2 026x-2 026-x，
所以f(-x)=2 026-x-2 026x
=-(2 026x-2 026-x)=-f(x)，
所以f(x)是奇函数，f(0)=0，
若m>0，n>1，
则f (
1
m -2)+f (
2
n)
=f(sin 2 026π)=f(0)=0，
所以f (
1
m -2)=-f (
2
n)
=f(- 2
n)，
又f(x)在R 上单调递增，
所以1
m-2=-2
n，
即1
m+2
n=2，n+2m=2mn，
则2m= n
n-1，
所以
3
2m-1+ 1
n-1
=
3n+2m- 4
2mn-(2m+n)+1
=3n+2m-4=3n+ n
n-1-4
=3(n-1)+ 1
n-1
≥2√3(n-1)·
1
n-1=2√3，
当且仅当3(n-1)= 1
n-1，
即n=1+√3
3 时，等号成立，
所以
3
2m-1+ 1
n-1的最小值为2√3.
15. 1+√2
2
解析 如图1，易知△BDE∽△ACB，
且BD=CD-BC=b-a，
所以BD
AC =b-a
b
=
l1
a+b+c ，
所以l1=b-a
b
(a+b+c)；
如图2，易知△GFH∽△ACB，且FG=a，
所以FG
AC =a
b=
l2
a+b+c ，
所以l2=a
b(a+b+c)，
所以l1+l2
a+b =a+b+c
a+b
=1+√a
2+b
2
a+b
=1+√
a
2+b
2
a
2+b
2+2ab
=1+√
1
1+ 2ab
a
2+b
2
，
又因为a2+b2≥2ab，所以2ab
a
2+b
2≤1，
当且仅当a=b 时取等号，
所以l1+l2
a+b ≥1+√
1
1+1=1+√2
2 ，
所以l1+l2
a+b 的最小值为1+√2
2 .
16. 1
解析 x
2
4 +y2=1，a=2，b=1，
由仿射变换{
x' = x ,
y ' =2 y ,
椭圆方程变换为x'2+y'2=4，
P(1，1
2)变换为P'(1，1)，如图所示，设圆的半径为r，点O'到直线A'B'的距离为d，则r=2，
所以S'△A'O'B'=1
2×2√r
2-d
2·d=√4 -d
2·d≤4 -d
2+d
2
2
=2，
当且仅当d=√2时，等号成立，
而S'△A'O'B'=2S△AOB，
所以S△AOB≤1，即△AOB 的最大面积为1.
