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2025 秋新版九年级（上）期末数学试卷
（时间：120 分钟 满分：150 分）
第I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共9 小题，共45.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 在不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的4个球，其中2个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出2个
球，下列事件是不可能事件的是( )
A. 摸出的是2个白球
B. 摸出的是2个黑球
C. 摸出的是1个白球、1个黑球
D. 摸出的是1个黑球、1个黄球
3. 一元二次方程― 𝑥2 ―3𝑥+ 2 = 0根的情况是( )
A. 没有实数根
B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 有两个不相等的实数根
4. 如图，𝑃𝐴，𝑃𝐵分别与⊙𝑂相切于𝐴，𝐵两点，∠𝐶= 55°，则∠𝑃等于( )
A. 110°
B. 70°
C. 140°
D. 55°
5. 如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴按逆时针方向旋转某个角度，得到△𝐴𝐵1𝐶1，若点𝐵1在线段𝐵𝐶
的延长线上，∠𝐵𝐵1𝐶1 = 80°，则旋转角的大小为( )
A. 110°
B. 80°
C. 100°
D. 70°
6. 若二次函数𝑦=
𝑎2 + 1𝑥2 ―6 𝑎2 + 1𝑥+ 𝑐的图象过𝐴( ― 2,𝑦1)，𝐵(3,𝑦2)，𝐶(3 +
3
,𝑦3)，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系是( )
A. 𝑦1 > 𝑦2 > 𝑦3
B. 𝑦1 > 𝑦3 > 𝑦2
C. 𝑦2 > 𝑦1 > 𝑦3
D. 𝑦3 > 𝑦1 > 𝑦2
7. 我市某校九(1)班学生准备在元旦节那天用发微信的方式表示祝贺，班长说：每位同学都要发微信给其他同学，
结果全班学生共发微信870条．问：该班共有多少个学生？如设该班共有𝑥个学生，则可列方程为( )
A. 1
2𝑥(𝑥― 1) = 870 B. 𝑥(𝑥― 1) = 870 C. 1
2𝑥(𝑥+ 1) = 870
D. 𝑥(𝑥+ 1) = 870
8. 如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐸，∠𝐶𝑂𝐵= 45°，𝑂𝐶= 3𝑐𝑚，则𝐵𝐸= ( )
A. (3 ― 3 2
2 )𝑐𝑚
B. 1𝑐𝑚
C. ( 2 ―1)𝑐𝑚 D. (3 ―
2
2 )𝑐𝑚
学校：
考号：
姓名：
班级：
我
9. 如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝑂，且𝐴𝐶= 6，𝐵𝐷= 8，𝑃
是对角线𝐵𝐷上任意一点，过点𝑃作𝐸𝐹//𝐴𝐶，与平行四边形的两条边分别交于点𝐸、𝐹.
设𝐵𝑃= 𝑥，𝐸𝐹= 𝑦，则能大致表示𝑦与𝑥之间关系的图象为( )
A.
B.
C.
D.
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6 小题，共30.0 分）
10. 已知方程(𝑚2 ―2𝑚)𝑥|𝑚| ―𝑥― 9 = 0，当𝑚= ______时，是关于𝑥的一元二次方程．
11. 如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶是一块草坪，其中∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 3，𝐴𝐵= 5，阴影部分是△𝐴𝐵𝐶的内
切圆，扔一颗石子随机落在这块草坪上，则落在白色部分的概率为______．
12. 若一个圆锥的底面圆的半径是5
2，母线长8，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是
______．
13. 如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16𝑚，跨度为40𝑚，现把
它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为______．
14. 已知如图二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)与一次函数𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑚(𝑘≠0)的图
象相交于点𝐴，𝐵(如图所示)，若方程𝑎𝑥2 +(𝑏― 𝑘)𝑥+ 𝑐― 𝑚= 0的两根分别为―3和5，
则能使𝑦1 < 𝑦2成立的𝑥的取值范围是______．
15. 如图，以半圆中的一条弦𝐵𝐶(非直径)为对称轴将弧𝐵𝐶折叠后与直径𝐴𝐵交于点𝐷，
若𝐴𝐷
𝐵𝐷= 2
3，且𝐴𝐵= 10，则𝐶𝐵的长为______．
三、解答题（本大题共8 小题，共78.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题12.0分)用适当的方法解下列方程：
(1)3𝑥2 +6𝑥― 5 = 0； (2)𝑥2 +6𝑥― 7 = 0；
(3)7𝑥2 +6𝑥= 0； (4)2(3 ― 𝑥)2 = 3𝑥(𝑥― 3)．
17. (本小题8.0分)
已知关于𝑥的方程𝑥2 ―(𝑚+ 2)𝑥+ (2𝑚― 1) = 0．
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
18. (本小题9.0分)
期末考试后，王老师对本年级部分学生的数学成绩按𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四个等级进行了统计．规定𝐴等级为大于等于110分，
𝐵等级为大于等于80分且小于110分，𝐶等级为大于等于60分且小于80分，𝐷等级为小于60分，并绘制成如图所示的不
完整的统计图．根据图中信息，回答下列问题．
(1)王老师本次抽查了本年级的数学成绩，𝑚= ______，根据数据补全条形统计图；
(2)若规定80分以上(包括80分)为及格，在王老师所抽查的这些学生中随机选一名学生，求选上及格的学生的概率；
(3)若在抽查的各个分数段的人数这一组数据上再添
加一个数据𝑎(𝑎为正整数)，该组数据的中位数没有改
变，求出𝑎的值．
19. (本小题8.0分)
某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场．鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围
成，篱笆总长30米若墙长为18米，要围成的鸡场面积是120平方．求鸡场的垂直于墙的边长为多少米？
20. (本小题9.0分)
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸是𝐴𝐷上一点(𝐸与𝐴、𝐷不重合).连接𝐶𝐸，将△𝐶𝐸𝐷绕点𝐷顺时针旋转90°，得到△𝐴𝐹𝐷．
(1)求证：𝐶𝐸⊥𝐴𝐹；
(2)连接𝐸𝐹，若∠𝐸𝐶𝐷= 30°，求∠𝐴𝐹𝐸的度数．
21. (本小题10.0分)
某商家采取线上和线下两种方式销售某款商品，规定无论是线上还是线下每件售价不低于进价，且线上售价始终比线
下每件便宜2元．已知该款商品进价为10元/件，线上的月销售量固定为400件，线下的月销售量𝑦(件)与线下售价𝑥(元
/件)满足关系式𝑦= ―100𝑥+ 2400.设该商品线上和线下月销售利润总和为𝑊(元)．
(1)求𝑊与𝑥之间的函数关系式(不要求写出自变量𝑥的取值范围)；
(2)若该商家每月想从这种商品销售中获得4800元的利润，又想尽量给客户实惠，该如何给这种商品进行线下定价？
(3)物价部门规定，该商品的每件利润不得高于进价的60%，如果商家每月要想从这种商品销售中获得最大利润，他
应该把这种商品的线下售价定为多少？月最大销售利润是多少？
22. (本小题10.0分)
如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，𝑂为𝐴𝐵上一点，经过点𝐴，
𝐷的
⊙𝑂分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝐸，𝐹．
(1)求
证：𝐵𝐶是⊙𝑂的切线；
(2)若
𝐴𝐹= 8，𝐶𝐹= 1，求⊙𝑂的半径．
23. (本小题12.0分)
已知二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过点(2.𝑐)．
(1)若该二次函数图象与𝑥轴的一个交点是( ― 1,0)．
①求二次函数的表达式：
②当𝑡≤𝑥≤2 ― 𝑡时，函数最大值为𝑀，最小值为𝑁.若𝑀― 𝑁= 3，求𝑡的值；
(2)对于该二次函数图象上的两点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(3,𝑦2)，当𝑚≤𝑥1 ≤𝑚+ 1时，如终有𝑦1 ≥𝑦2.求𝑚的取值范围．
参考答案
1.𝐷 2.𝐷 3.𝐷 4.𝐵 5.𝐶 6.𝐵 7.𝐵 8.𝐴 9.𝐷 10. ―2 11.6―𝜋
6 12.112.5° 13.𝑦= ― 1
25(𝑥― 20)2 +16 14. ―3 < 𝑥< 5 15.4 5
16.解：(1)𝑥2 +2𝑥= 5
3，
𝑥2 +2𝑥+ 1 = 5
3 +1，
(𝑥+ 1)2 = 8
3
𝑥+ 1 =± 2 6
3 ，
所以𝑥1 = ―1 + 2 6
3 ，𝑥2 = ―1 ― 2 6
3 ；
(2)(𝑥+ 7)(𝑥― 1) = 0，
𝑥+ 7 = 0或𝑥― 1 = 0，
所以𝑥1 = ―7，𝑥2 = 1；
(3)𝑥(7𝑥+ 6) = 0，
𝑥= 0或7𝑥+ 6 = 0，
所以𝑥1 = 0，𝑥2 = ― 6
7；
(4)2(𝑥― 3)2 ―3𝑥(𝑥― 3) = 0，
(𝑥― 3)(2𝑥― 6 ― 3𝑥) = 0，
𝑥― 3 = 0或2𝑥― 6 ― 3𝑥= 0，
所以𝑥1 = 3，𝑥2 = ―6．
17.(1)证明：∵𝛥= (𝑚+ 2)2 ―4(2𝑚― 1) = (𝑚― 2)2 +4，
∴在实数范围内，𝑚无论取何值，(𝑚― 2)2 +4 > 0，即𝛥> 0，
∴关于𝑥的方程𝑥2 ―(𝑚+ 2)𝑥+ (2𝑚― 1) = 0恒有两个不相等的实数根；
(2)解：根据题意，得
12 ―1 × (𝑚+ 2) + (2𝑚― 1) = 0，
解得，𝑚= 2，
则方程的另一根为：𝑚+ 2 ― 1 = 2 + 1 = 3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
该直角三角形的面积为1
2 × 1 × 3 = 3
2；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 2；则该直角三角形
的面积为1
2 × 1 × 2 2 =
2；
综上，该直角三角形的面积为3
2或2．
18.解：(1)5；补全的条形统计图如图所示；
(2)80分以上(包括80分)的学生有：100 × (15% + 45%) = 100 × 60% = 60(人)，
故选上及格的学生的概率为：60
100 = 0.6；
(3) ∵原来人数这一组数据为：5，15，35，45，
∴中位数为：(15 + 35) ÷ 2 = 25，
∵在抽查的各个分数段的人数这一组数据上再添加一个数据𝑎(𝑎为正整数)，该组数据的中位数没有改变，
∴添加的数据𝑎为25，
19.解：设鸡场的垂直于墙的边长为𝑥米，则鸡场的平行于墙的边长为(30 + 2 ― 2𝑥)米，
依题意得：𝑥(30 + 2 ― 2𝑥) = 120，
整理得：𝑥2 ―16𝑥+ 60 = 0，
解得：𝑥1 = 6，𝑥2 = 10，
当𝑥= 6时，30 + 2 ― 2𝑥= 30 + 2 ― 2 × 6 = 20 > 18，不符合题意，舍去；
当𝑥= 10时，30 + 2 ― 2𝑥= 30 + 2 ― 2 × 10 = 12 < 18，符合题意．
20.(1)证明：∵△𝐴𝐹𝐷是由△𝐶𝐸𝐷绕点𝐷顺时针旋转90°而得到的．
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐸，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐹，∠1 = ∠2，𝐷𝐸= 𝐷𝐹．
延长𝐶𝐸交𝐴𝐹于点𝐺．
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，∠𝐶𝐷𝐴= 90°．
又∠3 = ∠4，∠2 + ∠4 + ∠𝐸𝐺𝐴= ∠1 + ∠3 + ∠𝐶𝐷𝐸= 180°
∴∠𝐸𝐺𝐴= ∠𝐶𝐷𝐸= 90°
即𝐶𝐸⊥𝐴𝐹；
(2)解：∵∠1 = 30°，
∴∠2 = 30°，
∵∠𝐴𝐷𝐹= 90°，
∴∠𝐴𝐹𝐷= 60°，
∵𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴∠𝐸𝐹𝐷= 45°，
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐷― ∠𝐸𝐹𝐷= 15°．
21.解：(1)根据题意得，𝑊= 400(𝑥― 2 ― 10) + ( ― 100𝑥+ 2400)(𝑥― 10)，
整理得：𝑊= ―100𝑥2 +3800𝑥― 28800，
答：𝑊与𝑥之间的函数关系式为：𝑊= ―100𝑥2 +3800𝑥― 28800；
(2)根据题意得，―100𝑥2 +3800𝑥― 28800 = 4800，
解得：𝑥1 = 14，𝑥2 = 24，
∵想尽量给客户实惠，
∴𝑥= 14，
答：这种商品线下定价为14元/件；
(3)根据题意得，𝑥― 2 ≥10
𝑥― 10 ≤10 × 60%，
∴12 ≤𝑥≤16，
由(1)知，𝑊= ―100𝑥2 +3800𝑥― 28800 = ―100(𝑥― 19)2 +7300，
∵―100 < 0，
∴在12 ≤𝑥≤16内，𝑊随𝑥的增大而增大，
∴𝑥= 16时，𝑊的最大值= ―100 × (16 ― 19)2 +7300 = 6400(元)，
22.(1)证明：如图，连接𝑂𝐷，则𝑂𝐴= 𝑂𝐷，
∴∠𝑂𝐷𝐴= ∠𝑂𝐴𝐷，
∵𝐴𝐷是
∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝑂𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝑂𝐷𝐴= ∠𝐶𝐴𝐷，
∴𝑂𝐷//𝐴𝐶，
∴∠𝑂𝐷𝐵= ∠𝐶= 90°，
∵𝑂𝐷为⊙𝑂的半径，点𝐷在⊙𝑂上，
∴𝐵𝐶是⊙𝑂的切线；
(2)解：过点𝑂作𝑂𝐺⊥𝐴𝐹，交𝐴𝐹于点𝐺，如图，
∵𝑂𝐺⊥𝐴𝐹，
∴𝐴𝐺= 𝐹𝐺= 1
2𝐴𝐹= 1
2 × 8 = 4，
∵𝐶𝐹= 1，
∴𝐶𝐺= 𝐶𝐹+ 𝐹𝐺= 1 + 4 = 5，
∵𝑂𝐺⊥𝐴𝐹，
∴∠𝑂𝐺𝐶= 90°，
∵∠𝑂𝐷𝐵= ∠𝐶= 90°，
∴∠𝑂𝐷𝐶= ∠𝐶= ∠𝑂𝐺𝐶= 90°，
∴四边形𝑂𝐷𝐶𝐺是矩形，
∴𝐷𝑂= 𝐶𝐺= 5，
∴⊙𝑂的半径为5．
23.解：(1)①把(2,𝑐)，( ― 1,0)分别代入𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐得4 + 2𝑏+ 𝑐= 𝑐
1 ― 𝑏+ 𝑐= 0 ，
解得𝑏= ―2
𝑐= ―3，
∴抛物线解析式为𝑦= 𝑥2 ―2𝑥― 3；
②∵𝑦= 𝑥2 ―2𝑥― 3 = (𝑥― 1)2 ―4，
∴抛物线的对称轴为直线𝑥= 1，顶点坐标为(1, ― 4)，
∵𝑡≤𝑥≤2 ― 𝑡，
∴𝑡≤2 ― 𝑡，
解得𝑡≤1，
∴2 ― 𝑡≥1，
∴当𝑡≤𝑥≤2 ― 𝑡时，𝑥= 1时，函数有最小值―4，即𝑁= ―4，
当𝑥= 𝑡或𝑡= 2 ― 𝑡时，函数有最大值，即𝑀= 𝑡2 ―2𝑡― 3，
∵𝑀― 𝑁= 3，
∴𝑡2 ―2𝑡― 3 ― ( ― 4) = 3，
解得𝑡1 = 1 +
3(舍去)，𝑡2 = 1 ―
3，
∴𝑡的值为1 ―
3；
(2) ∵二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图象经过点(2.𝑐)，
∴4 + 2𝑏+ 𝑐= 𝑐，
解得𝑏= ―2，相关配套资料关注公众号学海无涯甜作舟获取
∴𝑦= 𝑥2 ―2𝑥+ 𝑐，抛物线的对称轴为直线𝑥= 1，
∵𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(3,𝑦2)在抛物线上，且𝑦1 ≥𝑦2，
∴点𝐴到对称轴的距离大于或等于𝐵点到对称轴的距离，
∴|𝑥1 ―1| ≥|3 ― 1|，
∴𝑥1 ≤―1或𝑥1 ≥3，
∵𝑚≤𝑥1 ≤𝑚+ 1，
∴𝑚+ 1 ≤―1或𝑚≥3，
解得𝑚≤―2或𝑚≥3．
