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第 06 讲：拓展一：基本不等式
目录
方法一：直接法............................................3
方法二：凑配法............................................4
方法三：分离法............................................7
方法四：换元法............................................8
方法五：常数代换“1”的代换..............................11
方法六：消元法...........................................15
方法七：对钩函数.........................................16
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果 ， ， ，当且仅当 时，等号成立．
②其中 叫做正数 ， 的几何平均数； 叫做正数 ， 的算数平均数．
2、两个重要的不等式
① （ ）当且仅当 时，等号成立．
② （ ）当且仅当 时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知 ， 是正数，如果积 等于定值 ，那么当且仅当 时，和 有最小
值 ；
②已知 ， 是正数，如果和 等于定值 ，那么当且仅当 时，积 有最大
值 ；
4、对钩函数：
对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如： （
）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕
函数”、“耐克函数”等.
常考对钩函
（ （ ）
函数 数
）
定义域 定义域
值域 值域奇偶性 奇函数 奇偶性 奇函数
在 在 ，
单调性 单调性
上单调递增；在
， 上单调递增；在
， 单调递减
， 单调递
减
5、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数
低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例： ；
凑系数，例： ；
②拆：例： ；
③除：例： ；
④1的代入：例：已知 ，求 的最小值.解析： .
⑤整体解：例：已知 , 是正数，且 ，求 的最小值.
解析： ，即 ，解得
.
基本不等式高频考点方法
方法一：直接法
典型例题
例题1．（2024上·山西长治·高一校联考期末）当 时， 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
例题2．（2024上·陕西商洛·高一统考期末）若正数 ， 满足 ，则 的最小值
是（ ）
A．10 B．20 C．100 D．200
练透核心考点
1．（2024上·湖南长沙·高一校考期末）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024上·贵州六盘水·高一统考期末）已知 ，则 的最大值为
．
方法二：凑配法
典型例题
例题1．（2024下·河南·高三校联考开学考试）已知 ，则 的最
小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3例题2．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知实数 ，则 的（ ）
A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为
例题3．（2024上·江苏南通·高一统考期末）函数 ， 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
练透核心考点
1．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知 ，则 的最小值为
2．（2024上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）已知 ，则 的最小值为 .
3．（2024上·福建宁德·高一统考期末） ， 恒成立，则实数
的取值范围是 .
方法三：分离法
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）函数 的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
例题2．（2024·全国·高三专题练习）函数 的最小值为 ．
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
2．（2024·全国·高三专题练习）函数 的最大值为 .方法四：换元法
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）函数 的最小值为 ．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1） ；
（2） .
练透核心考点
1．（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）求函数 的最小
值．
2．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的最小值
（1） ；
（2） ；
（3） .
方法五：常数代换“1”的代换
典型例题例题1．（2024上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知 ， ，且
，则 的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
例题2．（多选）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知
，若 ，则（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为8
例题3．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示，在 中，点 为 边上一点，且
，过点 的直线 与直线 相交于 点，与直线 相交于 点（ ， 交
两点不重合）.若 ，则 ，若 ， ，则
的最小值为 .
练透核心考点
1．（多选）（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知正实数
， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）若 ， ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024上·江西·高一校联考期末）若存在正实数 满足 ，且使不等式
有解，则实数 的取值范围是 .方法六：消元法
典型例题
例题1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知 ， ，则
的最小值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
例题2．（2024上·四川眉山·高一统考期末）已知 ， ，且 ，则
的最小值为 ．
练透核心考点
1．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）若实数 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023上·广东东莞·高一统考期末）若 、 ，且 ，则 的最大值为
．
方法七：对钩函数
典型例题
例题1．（2022上·全国·高一校联考阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
例题2．（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）若不等式 对任意 恒
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2023上·山东·高一校联考期中）若 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是 .
练透核心考点
1．（2023上·海南海口·高一海南华侨中学校考阶段练习）若函数 在
是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知函数 ，若存在 ，使得
，当 时，求 的最小值为 ．
3．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
