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2.5 对数运算及对数函数
1
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2
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3
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4
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考点一 对数的运算
【例1】求下列各式的值.
(1)
． (2)
(3)
． （4）
(5)
（6）
；
【答案】(1)
(2)
(3) (4)1 (5)
（6）2
【解析】（1）
（2）
.
（3）原式
.
（4）
.
（5）
.
（6）原式
．
【一隅三反】
1.（2024 山东）计算化简：
(1)
(2)
(3)
； (4)
．
5
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（5）
. （6）
；
（7）
； （8）
；
【答案】(1)
(2)8 (3) (4)
（5）
（6）
（7）0（8）1
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）
；
（4）
.
（5）原式
.
（6）原式
；
（7）原式
；
（8）原式
；
2.已知
，
，试用
，
表示
.
6
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【答案】
【解析】因为
，
所以
.
考点二 对数函数概念与解析式
【例2-1】（2024 北京）已知函数①
；②
；③
；④
；⑤
；
⑥
.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③
B．③④⑤
C．③④
D．②④⑥
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义，只有符合
（
且
）形式的函数才是对数函数，
其中x 是自变量，a 是常数，
易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；
③中
，是对数函数；④中
，是对数函数；
⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
【例2-2】（2024 湖北）函数
是对数函数，则实数a＝ .
【答案】1
【解析】由题意得
，解得
或1，又
且
，所以
故答案为：1
【一隅三反】
1．（2024 广东湛江）已知对数函数过点
，则
的解析式为 .
【答案】
【解析】设
，结合已知有
，∴
，又
且
，∴
，则
，
故答案为：
.
7
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2．（2024 上海）已知函数
是对数函数，则
．
【答案】1
【解析】因为函数
是对数函数，则
，解得
．故答案为：1.
3．（2024 上海静安）点
，
都在同一个对数函数上，则t= .
【答案】9
【解析】设对数函数为
，因为
在函数上，所以
，解得
；
因为
也在函数上，所以
，解得
.故答案为：9
考点三 对数型函数的定义域
【例3-1】（2024 高三·全国·专题练习）函数f(x)＝
的定义域为（ ）
A．(－∞，3]
B．(1，＋∞)
C．(1，3]
D．[3，＋∞)
【答案】C
【解析】依题意log (x－1)＋1≥0，即log (x－1)≥－1，∴
解得1<x≤3．故选C．
【例3-2】（2024 河南）函数
的定义域为（ ）
A．
且
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题得
，解得
，即函数
的定义域为
.故选：
【一隅三反】
1．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数
的定义域是 .
【答案】
【解析】函数
有意义，则
，解得
或
，
8
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所以函数
的定义域是
.
故答案为：
2．（2024 安徽安庆·开学考试）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
【答案】
【解析】当
时
，所以
，
所以
，即
，则
，
即
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
3．（23-24 高三下·上海·阶段练习）函数
的定义域为 ．
【答案】
．
【解析】由题意
，即
，∴
，
，∴定义域为
．
故答案为：
．
4．（2024·全国·专题练习）若函数
的定义域为
，则
的范围为 .
【答案】
【解析】由于函数
的定义域是
，
故条件即为
，这等价于
对任意实数
成立.
若
对任意实数
成立，取
知
，即
；
若
，则对任意实数
都有
，
故
对任意实数
成立.
综上，
的取值范围是
.
9
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故答案为：
.
考点四 对数型函数的值域
【例4-1】（1）（2024·陕西·一模）已知函数
的定义域为
，函数
的值域
为B，则
（2）（2024 上海）函数
的值域是 ．
（3）（2024 安徽宣城）已知实数x 满足不等式
，则函数
最大值
是 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）
，则
且
，
可得
的值域
．故选：
（2）由题意得
，即
，所以
的定义域为
，
因为
对称轴为
，且开口向下，且
在定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可知：
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
（或
）时，
，当
时，
，所以
，故答案为：
．
（3）由
，解得
，
，当
时，
取得最大值
.
故答案为：
.
【例4-2】（1）（2024·贵州黔东南·二模）若函数
的值域为
.则
的取值范
10
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围是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2024 云南·阶段练习）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）C （2）B
【解析】（1）依题意可得
要取遍所有正数，则需要求
，因为
，解得
；
故
.故选：C
（2）当
时，
，
当
时，
，因为函数
的值域为
，所以
，
即实数
的取值范围是
.故选：B．
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）下列各函数中，值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，显然
取尽正实数，因此
的值域是
，A 不是；
对于B，
，则
，即
，函数
的值域为
，B 不是；
对于C，
的值域为R，因此
的值域为
，C 是；
对于D，由于
，则
且
，即函数
的值域为
，D 不是.
故选：C
2．（2024 广西南宁·阶段练习）已知函数
，则
的值域是 .
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【答案】
【解析】令
，则
，则
，可得
，
已知
单调递减，所以
，则
的值域为
.故答案为：
.
3．（2024 上海青浦·期末）函数
的值域为 .
【答案】
【解析】由题意函数的定义域为
，而
，
不妨设
，所以
，
所以函数
的值域为
.
故答案为：
.
4．（2024·全国·模拟预测）函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】当
时，
，当
时，
，
所以
的值域为
． 故答案为：
.
5．（2024 广东茂名·期中）函数
的值域是 .
【答案】
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【解析】令
，则
，
因为
，则
，且
的对称轴为
，
可知
，所以
的值域是
.故答案为：
.
6．（2024 江苏南京·期末）已知函数
在
上的值域为
，则实数
的取值范围是
。
【答案】
【解析】设
，因为
的值域为
，所以
，
又
，
，所以
，
即
，解得：
且
，所以实数
的取值范围是
.
7．（2024 湖南株洲·期末）若函数
在
上的最大值为2，则实数
．
【答案】
【解析】令
，因为
时，
，所以
；
若
，则
在
上为减函数，所以
，此时a 无解；
若
．则
在
上为增函数，所以
，此时
故
．故答案为：
8．（2024 山东菏泽）已知函数
．若
的值域是
，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【解析】因为函数
的值域是
，则
为二次函数
值域的子集．
当
时，内层函数为
，不合题意；
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当
时，则有
，解得
．
综上所述，实数
的取值范围是
．
故答案为：
考点五 对数型函数的单调性
【例5-1】（2024 河北沧州）函数
的单调递增区间是 ．
【答案】
【解析】函数
，由
，解得
，
所以函数
的定义域为
，
设函数
，则函数的图象是开口向下且以
为对称轴的抛物线，
所以函数在
上单调递增，在
上单调递减，函数
在定义域内单调递减，
由复合函数的单调性可知
的单调递增区间为
（写成
也正确）．
故答案为：
【例5-2】（2024 浙江丽水）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】令
，对称轴为
，
∵函数
在区间
上单调递增，
在
上单调递增，
∴
在
上单调递增，且
，
∴
且
，即
且
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
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【例5-3】（2024 广西）已知
是
上的单调函数，则
的取值范围是
.
【答案】
【解析】若
在
上单调递增，则
解得
.
若
在
上单调递减，则
解得
.
故
的取值范围是
.故答案为：
【一隅三反】
1．（2024 湖北）函数
的单调递减区间为 ．
【答案】
【解析】由题意知函数
，
令
，则
，
则
即由
复合而成，
由于
在
上单调递减，故要求函数
的单调递减区间，
即求
的单调递增区间，
而
的对称轴为
，则
的单调递增区间为
，
则函数
的单调递减区间为
，故答案为：
2．（2024 山西大同）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【解析】对于函数
，令
，即
，解得
，
所以函数的定义域为
，
又
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在定义域
上单调递增，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
故选：A
3．（2024 湖北）若函数
在区间
内单调递增，则实数m 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知得
，解之得
，即
的定义域为
，
又
在区间
内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得：
，解得
．故选：D
4．（2024·重庆·模拟预测）若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
在
上单调递增，
所以
，解得
.故选：B.
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5．（2024 河南信阳·阶段练习）已知
是减函数，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因函数
是定义在
上的减函数，
则有
，解得
，所以
的取值范围是
.故选：D
考点六 对数型函数单调性的应用
【例6-1】（2024 江西·阶段练习）已知函数
，则满足不等式
的
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
的定义域为
，
又
，故
为偶函数，
而当
时，易知
单调递增，
而对于
，
在
上恒成立，
所以
在
上也单调递增，
故
在
上单调递增，
则由
，得
，解得
或
.
故选：D.
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【例6-2】（1）（2024·天津南开·一模）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2024·安徽阜阳·一模）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）（2024·河北邯郸·三模）已知
是定义在
上的偶函数，
，且
在
上单调递减，
若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）A （2）D（3）B
【解析】（1）由指数函数与对数函数的性质可得，
，
，
，所以
，故选：A.
（2）
，
，
，
.
故选：D．
（3）因为
是偶函数，
，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减．
，
，
因为
，
，所以
，
，
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所以
，
所以
，故
．
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024 山西·阶段练习）已知函数
若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】画出
的图象如图所示，由图可知
在
上单调递增，
又
，所以
，解得
.
故选：D.
2．（2024 江苏连云港·阶段练习）已知
，
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，即
.故选：A
3（2024·陕西西安·三模）已知函数
，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，
，
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函数
是偶函数，当
时，
是增函数，而
，
所以
，即
.
故选：A
4．（2024 河北邢台·开学考试）已知函数
，则
的解集是 ．
【答案】
【解析】
则
，由
可得
，解得
.
又
，即
，故
，化简可得
，解得
.
综上可得
.故答案为：
考点七 与对数函数有关的图像
【例7-1】（2024 江苏）当
时，在同一平面直角坐标系中，函数
与
的图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，函数
与
分别在各自的定义域内单调递减、单调递增，
故可排除BCD，且函数
与
图象分别过定点
，经检验，A 符合题意.
故选：A.
【例7-2】（2024 辽宁·期末）函数
的部分图象大致为（ ）
20
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对A、D：
的定义域为
，关于原点对称，因为
，所以
为偶函数，故A、D 错误；对B、C：当
时，因为
，
，所以
，故B 错误，故C 正确.故选：C.
【例7-3】（2023 吉林长春）已知函数
的图像经过二、三、四象限，则实数
的范围为
.
【答案】
【解析】函数
的图像经过二、三、四象限，，
可得函数单调递减，所以
，且
时，
，解得
，综上：
.故答案为：
.
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）在同一平面直角坐标系中，函数
，
（
且
）的图象可能是
（ ）
21
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
与
单调递增，A，B 均不符合题意；
当
时，
与
单调递减，
对于
，当
时
，C 不正确.故选：D.
2．（2024 陕西汉中）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
的定义域为
，
，所以
是偶函数，图象关于
轴对称，所以D 选项错误.
，所以C 选项错误当
时，
，所以A 选项错误.故选：B
3．（2024 山东潍坊）已知指数函数
，对数函数
的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
22
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【答案】B
【解析】由图象可得，指数函数
为减函数，对数函数
为增函数，
所以
，即
.故选：B
考点八 对数型函数的定点
【例8】（2024 山西临汾·阶段练习）已知函数
且
恒过定点
，则点
的坐标为
.
【答案】
【解析】令
得
，此时
，即函数
且
恒过定点
.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2024 河南南阳）函数
的图象恒过定点
，且点
在幂函数
的图象上，则
.
【答案】
【解析】因为
的图象恒过定点
，
令
，则
，
，则
，
设
，则
，得
，故
，
故答案为：
.
2．（2024 贵州安顺·期末）已知函数
图象恒过定点
，在直角坐标系
中，角
以原
点为顶点，以
轴的非负半轴为始边，角
的终边也过点
，则
的值是 .
【答案】
/
【解析】当
时
，故
，则
.故答案为：
3．（2024 江苏南京）函数
（
且
）的图象恒过定点A，若点A 在直线
上，
23
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其中
，则
的最小值为 .
【答案】5
【解析】对于函数
，令
，可得
，可知
，
若点
在直线
上，则
，即
，
则
，且
，则
，
可得
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为5.故答案为：5.
考点九 反函数
【例9-1】（2024 北京海淀·阶段练习）函数
的反函数为
，则
.
【答案】12
【解析】由
可得
，所以
，
，故答案为：12
【例9-2】（2024 辽宁·期末）函数
（
且
）的反函数过定点 ．
【答案】
【解析】对于函数
（
且
），令
，即
，所以
，
即函数
（
且
）恒过点
，所以函数
（
且
）的反函数恒过点
.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023 湖北）设
，函数
，则
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
24
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由
得：
，
的定义域为
；
在
上单调递增，
在
上单调递减，
在
上单调递减，且值域为
，
在
上单调递减，
，
，则由
得：
，
.
故选：C.
2．（2024 云南昆明·）若
的反函数为
，且
，则
的最小值为
.
【答案】
【解析】因为
和
（
，
）互为反函数，
若
，则
，
又因为
，所以
，所以
，且
，
，
又
，当且仅当
时等号成立，所以
的最小值为
.
故答案为：
.
3．（2024 陕西西安 ）已知
分别是方程
与
的根，则
的值为 .
【答案】
【解析】易知
分别是函数
与
及函数
与
交点
的横坐标，
易知函数
与函数
互为反函数，即其图象关于
对称，
且
也关于
对称，
25
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即函数
与
及函数
与
交点
关于
对称，
又易得
与
交点为
，所以
的中点为
，
故
.
故答案为：.
考点十 对数函数实际应用
【例10】（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1 开头的数出现的频率较
高，以1 开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b 进制随机数据中，以n 开头的数出现的
概率为
，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律
来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若
（
，
），则k 的值为
（ ）
A．11
B．15
C．19
D．21
【答案】A
【解析】
，
即
，则
，得
.
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·陕西·模拟预测）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道
加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2021 年全年投入资金120 万元，在此基础上，每年投
入的资金比上一年增长
，则该政府全年投入的资金翻一番（2021 年的两倍）的年份是（ ）（参考数据：
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）
A．2025 年
B．2026 年
C．2027 年
D．2028 年
【答案】C
【解析】设再过
年，该政府全年投入的资金翻一番，则
，即
，
所以该政府全年投入的资金翻一番的年份是
年.故选：C.
2．（2024·贵州贵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规
各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展
方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年Peukert 提出铅酸电池的容量
、放电时间和
放电电流
之间关系的经验公式：
，其中
为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池
容量不变的条件下，当放电电流为
时，放电时间为
；当放电电流为
时，放电时间为
，则该蓄
电池的Peukert 常数
约为（参考数据：
，
）（ ）
A．1.12
B．1.13
C．1.14
D．1.15
【答案】D
【解析】由题意知
，
所以
，两边取以10 为底的对数，得
，
所以
，
故选：D.
3．（2024 山西大同·期末）头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重
要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h 后达到最大值80mg/L，随后按照确
定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物
浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：
）（ ）
A．8h
B．9h
C．10h
D．11h
【答案】C
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【解析】设血浆中的药物浓度从最大值80mg/L 下降到8mg/L 需要经过
，则
，
所以
，则
，
故从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L 需要8+2=10（h）.
故选：C.
一．单选题
1．（2024 广东湛江）函数
（
且
）的图象所过的定点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
（
且
），令
，解得
，则
，
所以
的图象所过的定点为
.故选：A.
2．（2024 广东江门）若函数
是函数
（
，且
）的反函数，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
（
且
）的反函数为
，即
，又
，所以
，所
以
，则
.选：A
3．（2024 河南郑州·阶段练习）已知函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【解析】令
，则
，即由
和
复合而成，
而
在
上单调递增，
故要使得函数
在
上单调递减，
需满足
在
上恒成立，且
在
上单调递减，
即得
，解得
，即
，
故选：A
4．（2024 浙江杭州）已知函数
是
上的减函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
是
上的减函数，所以
，解得
，即实数
的
取值范围为
.故选：D
5．（2024 四川成都·）若
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
又
，即
，
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，即
，
又
，
，
又
，即
，所以
，
所以
.
故选：D
6．（2024 河南新乡）若函数
且
在
上的值域为
，则
的值为（ ）
A．
或
B．0 或
C．
或
D．
或
【答案】A
【解析】因为函数
在
上单调递增，所以函数
在
上的值域为
，
当
时，
在
上单调递减，则
，解得
，则
，得
，
当
时，
在
上单调递增，则
，解得
或
（舍去），
则
，得
，综上，
或
.故选：A.
7．（2024·陕西西安·一模）已知函数
为偶函数，满足
，且
时，
，若关于
的方程
至少有两解，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知
，则
，则
，
可知函数
为周期函数，最小正周期
，
又当
时，
，
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可知函数
的图象如图所示，且
的值域为
，
关于
的方程
至少有两解，
可得函数
与函数
的图象至少有两个交点，
如图所示，
可知当
时，
，解得
，即
，
当
时，
，解得
，即
，
综上所述
，
故选：C.
8．（2023·河南信阳·三模）已知函数
，则对任意实数
是
（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．不充分且不必要条件
【答案】A
【解析】由于
在R 上单调递增，
且
的定义域为R，则
在R 上单调递增，
又
，即
为奇函数，
对任意实数
，即
，可得
；
反之，
时，可得
，则
，即
，
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故对任意实数
是
的充分必要条件，
故选：A
二．多选题
9．（2024 河南南阳）已知函数
，若
存在最小值，则实数a 的可能取值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】CD
【解析】函数函数
，
当
时，
的范围是
；
时，
，
，
由题意
存在最小值，
，
故选：CD．
10．（2024 广东揭阳·期末）下列结论正确的有（ ）
A．函数
的最小值为2
B．函数
且
的图像恒过定点
C．
的定义域为
，则
D．
的值域为
，则
【答案】BD
【解析】对于A 中，函数
，
当且仅当
，此时
，此式无解，
所以函数
的最小值不为2，所以A 错误；
对于B 中，令
，即
，则
，
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则函数
且
的图像恒过定点
，所以B 正确；
对于C 中，若
的定义域为
，则
在
上恒成立，
所以
，解得
，所以C 错误；
对于D 中，若
的值域为
，则
在
上有解，
所以
，解得
或
，所以D 正确.
故选：BD.
11．（2024 江苏盐城·阶段练习）已知函数
，若
的值域为
，则
的取值可以是
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】AB
【解析】在同一坐标系中画出函数
及
的图象，
结合图象，当
时，
有
时，
，
当
时，
，
其中
，
故
的值域为
为
，不符合题意，故舍去；
当
时，易得
时，
，
当
时，
，
33
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此时
，故
的值域为
，符合要求；
当
时，易得
时，
，
当
时，
，故
的值域为
，符合要求；
综上所述，
的取值可以是3、4，不能是5 或6.
故选：AB.
三．填空题
12（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个性质的函数：
.
①
的图象在
轴的右侧；
②若
，则
；
③当
时，
（
为函数
的导函数）.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】结合①③不妨设
，其定义域为
，
其图象在
轴的右侧，且
，所以满足条件①③；
若
，则
，
令
，则
，
所以
，令
，可得
（答案不唯一）.
故答案为：
（答案不唯一）
13．（2024·湖北·一模）已知函数
，则关于x 的不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】当
时，
得
，
当
时，
，得
，所以
，
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综上：
的解集为
，
故答案为：
.
14．（2024 广东·期末）已知函数
，若对任意的正数a、b，满足
，则
的
最小值为： ．
【答案】4
【解析】对任意的
，
，所以，函数
的定义域为
，
因为
，即函数
为奇函数，
又因为
，且函数
在
上为增函数，
所以，函数
在
上为增函数，
对任意的正数
，满足
，则
，
所以，
，即
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
的最小值为4.
故答案为：4.
四．解答题
15．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数
，且函数
的图象经过点
.
(1)求实数
的值；
(2)求函数
的最小值和最大值.
【答案】(1)
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(2)函数
的最小值为2，最大值为6
【解析】（1）由题意，将点
代入函数
的解析式，
得：
，即
，解得
.
（2）由换底公式得：
，
所以函数
，
令
，因为
，所以
.
设
，
显然函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
，
即函数
的最小值为2，最大值为6.
16．（2024·北京·模拟预测）
技术的价值和意义在自动驾驶物联网等领域得到极大的体现
､
.其数学原理之一
是香农公式：
，其中：
（单位：
）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，
单位；
）是信道的带宽，
单位：
）是平均信号功率，
（单位：
）是平均噪声功率，
叫做信噪比.
(1)根据香农公式，如果不改变带宽
，那么将信噪比
从1023 提升到多少时，信道容量
能提升
(2)已知信号功率
，证明：
；
(3)现有3 个并行的信道
，它们的信号功率分别为
，这3 个信道上已经有一些相
同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信
道容量？（只需写出结论）
【答案】(1)2047
(2)证明见解析
(3)把那一小份分配到信道
上能获得最大的信道容量
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【解析】（1）当
时，
，
令
，
得
，
解得：
，
所以若不改变带宽
，将信噪比从1023 提升到2047 时，信道容量
能提升
.
（2）证明：
右边
=左边，
所以，原式成立；
（3）分配到信道
上能获得最大的信道容量.
理由：由（2）可知当
时，
，
随着
的增大
也会增大，但增加的速度会越来越慢，
所以把那一小份分配到信道
上能获得最大的信道容量.
17．（2023·浙江·模拟预测）已知函数
.
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(1)若
，求m 的值：
(2)若方程
恰有一个实根，求m 的取值范围：
(3)设
，若对任意
，当
时，满足
，求m 的取值范围.
【答案】(1)3
(2)
(3)
【解析】（1）
（2）方程
由①可得
当
时，方程有唯一解
，代入此时
，∴不满足②
当
时，方程有两相等解
，此时
，∴不满足②.
当
且
时，方程有两不等解
，
若
满足
若
满足
则若
是唯一解，则有
若
是唯一解，则有
综上，当
时方程恰有一个实根.
（3）当
时，
恒成立，则有
,
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由已知
，由复合函数的单调性知
在
上单调递减，
所以
∴
对
恒成立
令
，∴
在
上单调递增，
∴
∴实数
的取值范围是
.
18．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
．
(1)求
的解析式；
(2)若关于
的方程
在
上有解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，
则
，
因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，
故
，
当
时，
，符合上式，
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综上，所以
的解析式为
.
（2）当
时，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
由对称性可知，当
时，
，
当
时，
，
综上，
，
所以实数
的取值范围是
．
19．（2024 安徽合肥）已知函数
是偶函数.
(1)求
的值;
(2)设
，
，若对任意的
，存在
，使得
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
是偶函数，
所以
，
即
，
，
40
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，
，
，
，
，
，
所以
，即
.
（2）
，
因为对任意的
，存在
，使得
，
所以
在
上的最小值不小于
在
上的最小值，
因为
在
上单调递增，
所以
，
因为
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
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