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2025 二轮复习专项训练18
空间点、直线、平面之间的位置关系
[考情分析] 高考必考内容，主要以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，
主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小，或者以解答题的形式考查空间平行、
垂直的证明，并与空间角的计算综合命题．
【练前疑难讲解】
一、空间直线、平面位置关系的判定
1．判断与空间位置关系有关的命题的方法：
借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关
定理，进行肯定或否定．
2．两点注意：
(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．
(2)当从正面入手较难时，可先假设结论成立，然后推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，
进而作出判断．
二、空间平行、垂直关系
1．直线、平面平行的判定定理及其性质定理
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
2．直线、平面垂直的判定定理及其性质定理
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
三、空间直线、平面位置关系中的综合问题
1．处理空间点、直线、平面的综合问题，要认真审题，并仔细观察所给的图形，利用空间
直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理求解．
2．解决与折叠有关的问题的关键是弄清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的
长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．
一、单选题
1．（2023·四川南充·一模）如图，正方体
的棱长为2，E，F 分别为
，
的中点，则平面
截正方体所得的截面面积为（ ）
1
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A．
B．
C．9
D．18
2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱
，E，F 分别是棱
上的点．记
与
所成的角为
，
与平面
所成的角为
，二面角
的平面角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2022·山东·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，
分别
是
的中点，
是线段
上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
2
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A．存在点
，使
四点共面
B．存在点
，使
平面
C．三棱锥
的体积为
D．经过
四点的球的表面积为
4．（23-24 高三上·江苏苏州·开学考试）图，在棱长为2 的正方体
中，点
E，F 分别是线段AC，
上的动点，
，
，且
.记
与
所成角为
，
与平面
所成角为
，则（ ）
A．当
时，四面体
的体积为定值
B．当
时，存在
，使得
平面
C．对于任意
，
，总有
D．当
时，在侧面
内总存在一点P，使得
三、填空题
5．（2024·辽宁大连·一模）在边长为4 的正方形ABCD 中，如图1 所示，E，F，M 分别为
BC，CD，BE 的中点，分别沿AE，AF 及EF 所在直线把
和
折起，使
B，C，D 三点重合于点P，得到三棱锥
，如图2 所示，则三棱锥
外接球
的表面积是 ；过点M 的平面截三棱锥
外接球所得截面的面积的取值范
围是 ．
3
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6．（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形
中，
，点
是
的中点．现将
沿
翻折到
，将
沿
翻折到
，使得二面角
等于
，
等于
，则直线
与平面
所成角的余弦值等于
．
四、解答题
7．（2024·山东·二模）已知三棱锥
中，
平面
，过点
分别作
平行于平面
的直线交
于点
．
(1)求证：
平面
；
(2)若
为
的中点，
，求直线
与平面
所成角的正切值．
8．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥
为底面
的中心．
4
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(1)若
，求
绕
旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的大小．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱
中，
分别为棱
的中点，
为棱
上的动点，且线段
的长度最小值为
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·安徽淮北·一模）已知
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，下
列说法正确的是（ ）
A．若
，且
，则
B．若
，且
，则
C．若
，且
，则
D．若
，且
，则
3．（2024·湖北·一模）如图，在正方体
中，
分别为
5
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的中点，则与平面
垂直的直线可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·山西晋城·期末）设m、n 是不同的直线，α、β 是不同的平面，以下是真
命题的为（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
5．（2024·江苏南通·模拟预测）已知
是两个平面，
，
是两条直线，则下列命题
错误的是（ ）
A．如果
，
，那么
B．如果
，
，那么
C．如果
，
，那么
D．如果
，
，
，那么
6．（23-24 高三下·浙江宁波·阶段练习）学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教
室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为
，母线长为
，其母线与底面所成的角为
，则这个圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在直三棱柱
中，
面
，
6
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，则直线
与直线
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知长方体
的体积为
是棱
的
中点，平面
将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，
M，N 为正方体的顶点．则满足
的是（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
10．（21-22 高一下·贵州黔西·期末）如图，在平面四边形ABCD 中，△BCD 是等边三角形，
AB⊥BD 且AB＝BD，M 是AD 的中点．沿BD 将△BCD 翻折，折成三棱锥C﹣ABD，连接
BM，翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得CM 与BD 所成角为锐角
B．棱CD 上总恰有一点N，使得MN∥平面ABC
C．当三棱锥C﹣ABD 的体积最大时，AB⊥BC
D．∠CMB 一定是二面角C﹣AD﹣B 的平面角
11．（23-24 高三上·山东潍坊·期中）在正方体
中，直线
平面
，
直线
平面
，直线
平面
，则直线
的位置关系可能是（ ）
8
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A．
两两垂直
B．
两两平行
C．
两两相交
D．
两两异面
12．（2024·山东潍坊·三模）在棱长为 1 的正方体
中，
分别为棱
的中点，则（ ）
A．直线
与
是异面直线
B．直线
与
所成的角是
C．直线
平面
D．平面
截正方体所得的截面面积为
.
三、填空题
13．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱台
的上、下底面积分别为
，
且棱台侧面与下底面所成二面角的余弦值为
，则棱台侧面的高为 ．
14．（2024·陕西汉中·二模）已知三棱锥
，点
9
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到平面
的距离是
，则三棱锥
的外接球表面积为 ．
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等腰梯形
，
，
，
取
的中点
，将等腰梯形
沿线段
翻折，使得二面角
为
，连接
、
得到如图所示的四棱锥
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求四棱锥
的体积．
16．（23-24 高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱
中，底面
为
正方形，
为棱
的中点，
．
(1)求三棱锥
的体积．
(2)在
上是否存在一点
，使得平面
平面
.如果存在，请说明
点位置并证
明.如果不存在，请说明理由.
17．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥
中，点
为棱
的中点，点
为
的中点，
，
，
都是正三角形．
10
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(1)求证：
平面
；
(2)若三棱锥
的体积为
，求三棱锥
的表面积．
18．（2024·四川·模拟预测）如图，多面体
中，四边形
为菱形，
，
，
，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)当
时，求三棱锥
的体积．
19．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为1 的正方
形，
，
、
分别是
、
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的大小.
20．（2024 高一下·全国·专题练习）如图，将边长为
的正方形
沿对角线
折起
使得点
到点
的位置，连接
，
为
的中点.
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(1)若平面
平面
，求点
到平面
的距离；
(2)不考虑点
与点
重合的位置，若二面角
的余弦值为
，求
的长度.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·辽宁·二模）长方体
中，四边形
为正方形，直线
与
直线AD所成角的正切值为2，则直线
与平面
所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高一下·北京通州·期末）设l 是直线，α，β 是两个不同平面，则下面命题中正确
的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
3．（2024·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1 的正方体
中，点
为截
面
上的动点，若
，则点
的轨迹长度是（ ）
12
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A．
B．
C．
D．1
4．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，E 为棱BC 的
中点，用过点
，E，
的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A．
B．9
C．
D．
5．（22-23 高一下·河南周口·期末）如图，在三棱柱
中，M 为A1C1的中点N 为
侧面
上的一点，且MN//平面
，若点N 的轨迹长度为2，则（ ）
A．AC1=4
B．BC1＝4
C．AB1＝6
D．B1C＝6
6．（2024·河南·一模）如图是棱长均为2 的柏拉图多面体
，已知该多面体为正八
面体，四边形
为正方形，
分别为
的中点，则点
到平面
的距离为
（ ）
13
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A．
B．1
C．
D．
7．（2024·甘肃定西·一模）在四棱锥
中，底面
为矩形，
底面
与底面
所成的角分别为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·四川泸州·三模）已知正方体
的棱长为2，P 为
的中点，过
A，B，P 三点作平面
，则该正方体的外接球被平面
截得的截面圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（22-23 高一下·河南商丘·阶段练习）如图，四棱锥
的底面为正方形，
底面ABCD，
，点E 是棱PB 的中点，过A，D，E 三点的平面
与平面PBC 的
交线为l，则（ ）
A．直线l 与平面PAD 有一个交点
B．
14
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C．直线PA 与l 所成角的余弦值为
D．平面
截四棱锥
所得的上下两个几何体的体积之比为
10．（2024·河北·一模）如图，在圆柱
中，轴截面ABCD 为正方形，点F 是
的上一
点，M 为BD 与轴
的交点．E 为MB 的中点，N 为A 在DF 上的射影，且
平面
AMN，则下列选项正确的有（ ）
A．
平面AMN
B．
平面DBF
C．
平面AMN
D．F 是
的中点
11．（2024·浙江·二模）正方体
中，
，
分别为棱
和
的中点，
则下列说法正确的是（ ）
A．
平面
B．
平面
C．异面直线
与
所成角为60°
D．平面
截正方体所得截面为等腰梯形
12．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方体
中，
分别为
的
中点，则下列结论正确的是（ ）
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A．直线
与
所成的角的大小为
B．直线
平面
C．平面
平面
D．四面体
外接球的体积与正方体
的体积之比为
三、填空题
13．（2024·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱
中，底面
为菱形，
且
.若
，点
为棱
的中点，点
在
上，则线段
的
长度和的最小值为 .
14．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）若正四面体
的顶点都在一个表面积为
的球面
上，过点
且与
平行的平面
分别与棱
交于点
，则空间四边形
的四
条边长之和的最小值为 .
15．（23-24 高三下·江苏南通·开学考试）一个三棱锥形木料
，其中
是边长
为
的等边三角形，
底面
，二面角
的大小为
，则点A 到平面
PBC 的距离为
．若将木料削成以A 为顶点的圆锥，且圆锥的底面在侧面
16
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PBC 内，则圆锥体积的最大值为
．
16．（23-24 高三下·四川·阶段练习）如图，在平行四边形
中，
，且
交
于点
，现沿折痕
将
折起，直至满足条件
，此时
.
四、解答题
17．（2024·重庆·三模）如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
分别为
，
的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)证明
平面
，并求直线
到平面
的距离.
18．（2024·北京东城·一模）如图，在五面体
中，底面
为正方形，
.
(1)求证：
；
17
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(2)若
为
的中点，
为
的中点，
，再从条件①、条件②这两
个条件中选择一个作为已知，求直线
与平面
所成角的正弦值.
条件①：
；
条件②：
.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
19．（23-24 高一下·广东河源·期中）如图，在四棱锥
中，已知底面
为矩
形，侧面
是正三角形，侧面
底面
是棱
的中点，
.
(1)证明：
平面
；
(2)若二面角
为
，求异面直线
与
所成角的正切值.
20．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在斜三棱柱
中，
为AC 的
中点，
.
(1)证明：
.
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
18
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