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第 05 讲 椭圆 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆 与椭圆 有相同的焦点，且 的长
轴长为 ，则 的短轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴
【分析】由已知可得椭圆 的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度.
【详解】由已知 ， ，
又 ，即 ，
所以 ，解得 ，
故 的短轴长为 ，
故选：D.
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆 的短轴长为2，则
其离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据椭圆的定义和性质即可求解.
【详解】由椭圆 的短轴长为2，知 ， ，即 ， ，
因此 ，
又椭圆的离心率 ，
故选：A.
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点 ， ，动点 满足
，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在【答案】D
【知识点】求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析
【分析】根据 与 的关系判断点的轨迹.
【详解】由题设知 ，
则动点P的轨迹不存在．
故选：D
4．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，点 为椭圆 与 轴的交点，若 是钝角三角形，则椭圆 的离心率的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】依题意，根据图形，根据离心率的计算公式求解即可.
【详解】
如图，因为 是钝角三角形，所以 ，
所以 ，即 ，
则椭圆 的离心率的取值范围是 ，故A，B，C错误.
故选：D.
5．（2024·辽宁·二模）已知方程 表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围【分析】根据椭圆的标准方程中分母都大于 且不能相等即可求解.
【详解】因为方程 表示的曲线是椭圆，
所以 ，解得 且 ，
所以实数k的取值范围是 .
故选：D.
6．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的
一点，若 ，且 ，则 的长轴长与焦距的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴
【分析】借助椭圆定义与勾股定理计算即可得.
【详解】由 ，结合题设有 ， ，
由 ，则 ，
化简得 ，故 的长轴长与焦距的比值为 .
故选：D.
7．（23-24高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一
个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭
圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 的面积为 ，两个焦点
分别为 ， ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，若四边形 的周长为12，则椭
圆 的短半轴长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．6
【答案】C
【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的长轴、短轴
【分析】根据给定条件，可得 ，再由四边形周长求出 即可得解.
【详解】依题意， ，由椭圆对称性，得线段 互相平分于原点，
则四边形 为平行四边形，
由椭圆的定义得 ，解得 ，所以椭圆 的短半轴长 .
故选：C
8．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆 的中心为原点，焦点为 ， ，以
为圆心， 为半径的圆交椭圆 于 、 两点，且 ，则椭圆 的方程是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的对称性、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】连接 、 ，即可得到 为等边三角形，从而得到 点在椭圆的短轴的
顶点，又 ， ，再求出 ，即可得解.
【详解】连接 、 ，根据对称性可知 ，
又 ，所以 为等边三角形，即 ，
所以 点为椭圆的短轴的顶点，
又 ，所以 ，则 ，
所以椭圆方程为 .
故选：C
二、多选题
9．（23-24高二下·四川德阳·期末）双曲线C： 的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线 与 的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
【答案】BCD
【知识点】求点到直线的距离、根据a、b、c求椭圆标准方程、求双曲线的焦点坐标、求
双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】对于A，直接写出符合描述的椭圆方程，对比即可判断；对于B，由离心率公式即
可判断；对于C，直接根据斜率公式验算即可；对于D，根据对称性，只需任取一个焦点和
一条渐近线，结合点到直线的距离公式即可判断.
【详解】对于A，C的焦点和顶点分别为 ，
从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 ，故A错误；
对于B，双曲线C的离心率为 ，故B正确；
对于C，显然 异于 ，不妨设 ，
注意到 都在双曲线 上面，且 ，
所以直线 与 的斜率之积为 ，故C正确；
对于D，双曲线C： 的一个焦点、一条渐近线可以分别是 ， ，
而点 到直线 的距离是 ，故D正确.
故选：BCD.10．（2024·四川·一模）已知椭圆 的左顶点为 ，左、右焦点分别为 ，
过点 的直线与椭圆相交于 两点，则（ ）
A．
B．
C．当 不共线时， 的周长为
D．设点 到直线 的距离为 ，则
【答案】BCD
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的焦点、焦距、椭圆的焦半径与焦点弦
问题
【分析】根据椭圆方程、焦点弦性质和椭圆定义可知ABC正误；设 ，结合两点间
距离公式和点在椭圆上可化简求得D正确.
【详解】
对于A，由题意知： ， ， ， ，A错误；
对于B， 为椭圆 的焦点弦， ，B正确；
对于C， ，
的周长为 ，C正确；
对于D，作 垂直于直线 ，垂足为 ，
设 ，则 ，
，
，
， ，D正确.
故选：BCD.
三、填空题11．（24-25高二下·全国·课后作业）已知 为椭圆 的右焦点，
为椭圆上两个动点，写出 的周长的一个可能取值 ．
【答案】4（答案不唯一）
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题
【分析】根据三角形的边长之间的关系，可知当 过焦点 时， 的周长取得最大
值，再结合 ， ， 的最小值，可得 的周长的最小值.根据 的周长
的取值范围写出答案.
【详解】如图：
设椭圆左焦点为 ，
则 ，当且仅当直线 经过左焦点时，取得
最大值，
又 ， , ，所以 ，
所以 的周长的取值范围为： .
所以 的周长可以为4．
故答案为：4（答案不唯一）
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆 的左、右焦点分别
为 ，若直线 与 交于 两点，且 ，则
的方程为 ．
【答案】
【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的其他问
题
【分析】利用椭圆性质先确定四边形 是矩形，再由椭圆定义计算即可.
【详解】易知 是 的中点，又 ，所以四边形 是矩形，故 ，
结合 可得， ，由椭圆的定义可知， ，
又知 ，由 两边平方得， ，
即 ，解得 ，所以 ，所以 的方程为 ．
故答案为：
四、解答题
13．（24-25高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在 轴上，且经过两个点 和 ；
(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ， ，并且经过点 ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程
【分析】（1）由条件可设椭圆方程为 ，再由条件列方程求 ，即可
得椭圆方程；
（2）结合焦点坐标知可设椭圆方程为 ，且 ，结合椭圆定义可求
，由此可求 及椭圆方程.
【详解】（1）因为椭圆的焦点在 轴上，
所以设它的标准方程为 ．
又椭圆经过点 和 ，
所以 解得所以所求椭圆的标准方程为 ．
（2）由于椭圆的焦点在 轴上，
所以设它的标准方程为 ，
设椭圆的半焦距为 ，则 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以所求椭圆的标准方程为 ．
14．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程 :
(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它的标准方程
(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点 ；
【答案】(1)
(2) 或 .
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的长轴、
短轴
【分析】（1）设出椭圆方程，待定系数法求出 ，得到椭圆的标准方程；
（2）分焦点位于x轴和 轴两种情况，设出椭圆方程，求出 ，得到椭圆的标准方程.
【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为 ，
由 解得： .
所以椭圆的标准方程为 ；
（2）由题意：当椭圆的焦点位于x轴上时，设椭圆的标准方程为 ，
故 ，故 ，此时椭圆的标准方程为 ，当椭圆的焦点位于 轴上时，设椭圆的标准方程为 ，
故 ，故 ，此时椭圆的标准方程为 .
综上所述：椭圆的标准方程为 或 .
B能力提升
15．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知 和 为椭圆C：
上两点.
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为3，求点B的坐标.
【答案】(1)
(2) 或 或
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】（1）将 和 分别代入即可求解；
（2）求出 ，由三角形的面积可知点B到直线 的距离，因为B在椭圆上，用参数方
程可假设点B的坐标，进而运用点到直线的距离即可求解点B的坐标.
【详解】（1）将 和 代入椭圆C可得 ，解得
，∴ .
（2）因为 、 ，
所以由点斜式可知直线 ，即 ，
设点B到直线 的距离为d，则
即 , 解得 .
因为过P的直线 交C于另一点B，可设 ,
则 ，
，
或 ，
当 时， ,
解得 ，
当 时，
此时 ;
当 时，
此时 ;
当 时， ，解得 ，
所以 , ，此时 ;
综上所述 或 或
16．（2024·山西长治·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，且
该椭圆过点 ，直线l交椭圆E于A，B两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若AB的中点坐标为 ，求直线l的方程；(3)若直线l方程为 ，过A、B作直线 的垂线，垂足分别为P、
Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭
圆中的定值问题、求弦中点所在的直线方程或斜率
【分析】（1）根据已知条件求得 ，从而求得椭圆 的方程.
（2）利用点差法求得直线 的斜率，进而求得直线 的方程.
（3）联立直线 的方程和椭圆 的方程，化简写出根与系数关系，计算 ，以及
AF与RQ，从而判断出四边形ARQF为梯形.
【详解】（1）由题得 ，
将 代入 得：
，
椭圆E的方程为 .
（2）设 ，则 ，
且 ，
两式相减得： ，可得 ，
l方程为 ，即 .
（3）由 得：
，且 ，，
∴ ，
又直线 的斜率存在，AF与RQ不平行，
∴四边形ARQF为梯形.
【点睛】关键点点睛：根据已知条件求得 ， 和 是两个未知参数，要求出两个参数的
值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的右焦点以及椭圆所过点”两个已知条件，再结
合 即可求得 ，从而求得椭圆的标准方程.
C综合素养（新定义解答题）
1．（24-25高三上·四川达州·开学考试）定义：若椭圆 上的两个点
满足 ，则称 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作
．已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，且椭圆过点 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点 满足“共轭点对” ，并求出 的坐标；
(3)设（2）中的两个点 分别是 ，设 为坐标原点，点 在椭圆 上，且 ，
顺时针排列且 ，证明：四边形 的面积小于 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析，点 的坐标为
(3)证明见解析
【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、根据直线与椭圆的位
置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】（1）由题意，根据椭圆的焦点坐标、点 在椭圆 上以及 ， ， 的关系列出
等式即可求出椭圆 的标准方程；（2）设 ，根据“共轭点对”得到直线方程为 ，再联立方程求解；
（2）将直线 的方程与椭圆方程联立，求出 ， 的坐标，设点 ， ， ，
，利用点差法得到 ，设过点 且与直线 平行的直线 的方程为
，求出直线与椭圆相切时的 值，再检验证明此时不满足 ，进而证明四
边形面积小于 ．
【详解】（1）由题，椭圆 的另一焦点为 ，
因此 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）设“共轭点对” 中点 的坐标为 ，
根据“共轭点对” 定义：
点 的坐标满足 所以 或
于是有两个点满足，且点 的坐标为 ．
（3）设 ．
设 所在直线为 ，则 的方程为 ．
设点 ，则
两式相减得 ．
又 ，于是 ，则 ，所以线段 的中点在直线
上．
所以线段 被直线 平分．设点 到直线 的距离为 ，
则四边形 的面积 ．
又 ，则有 ．
设过点 且与直线 平行的直线 的方程为 ，则当 与 相切时， 取得最大值．
由 消去 得
令 ，解得 ．
当 时，方程 为 ，即 ，解得 ，
则此时点 或点 必有一个和点 重合，不符合条件 ，
从而直线 与 不可能相切，
即 小于直线 和平行直线 （或 ）的距离 ，
所以 ．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的
等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的
取值范围.
