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25.2.1 配方法（第2 课时 配方法）
（导学案）
(1)熟练掌握用配方法解二次项系数为1、不为1 的一元二次方程的完整步骤；能通过配方变形将一元二次
方程化为
的标准形式，并根据
的取值判断方程根的情况.
（2）经历“观察方程、变形化简、配方凑形、开方求解”的探究过程，归纳配方法通用解题流程，提升
代数变形、归纳总结和逻辑推理能力.
（3）体会数学转化思想的简洁性，感受代数变形的逻辑性和规律性；通过分层探究、合作交流，增强自
主探究意识和数学学习自信心.
重点：掌握用配方法解一元二次方程的通用步骤，能熟练求解二次项系数为1 和不为1 的一元二次方程.
难点：二次项系数不为1 时，先将二次项系数化为1 的变形操作； 配方时准确确定“一次项系数一半的平
方”，保证方程变形的恒等性；根据配方后常数项的正负，判断一元二次方程根的三种情况.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
1.回顾完全平方公式：
.
2.配方凑形：
3. 提问：如何用直接开平方法解方程
.
【学法指导】
新知自研：自研课本第7-8 页的内容
【学法指导】自研课本P7-8 页内容
(一)探究二次项系数为1 的方程配方解法
活动1：用配方法解方程
.
追问1：能否将方程转化为
，转化的关键是什么？
学生交流讨论：可以转化，关键是将方程左边转化为一个完全平方式.
追问2：怎样将方程转化为左边转化为一个完全平方式，右边为0 的形式？你能说出理由吗？
学生交流讨论：1. 移项：将常数项移到方程右侧，得
；
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2.配方：两边加一次项系数一半的平方
，得
.
3.凑完全平方：
；
4.开方求解：解得
，
师生小结：二次项系数为1 的方程，配方核心是移项后，两边加一次项系数一半的平方.
（二） 探究二次项系数不为1 的方程配方解法
活动2：用配方法解方程
.
追问1：此方程与例上面讲的方程有何不同？
二次项系数不为1
追问2：如何转化为熟悉的方程形式？并解方程.
学生自主解题：
1. 化系数为1：方程两边同时除以2，得
；
2. 移项：
；
3. 配方：两边加
，得
；
4. 开方求解：解得
，
.
（三）归纳配方法通用解题步骤
活动3：结合上面两例题，归纳配方法解一元二次方程
的步骤.
学生交流讨论：
1. 化：二次项系数化为1（方程两边同除以二次项系数）；
2. 移：常数项移到方程右边；
3. 配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
4. 整：左边写成完全平方形式，右边合并常数项；
5. 开：根据平方根的意义开平方；
6. 解：解两个一元一次方程，得出方程的根.
（四）探究方程根的情况
活动4：配方后方程为
，
的取值对根有什么影响？
学生交流讨论，师生共同总结：
1. 当
时，方程有两个不相等的实数根
，
；
2. 当
时，方程有两个相等的实数根
；
3. 当
时，方程无实数根.
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【自研自探】
自研课本P7-8 页内容
典型例题
例１.解下列方程:
(1)
; (2)
; (3)
.
【分析】(1)方程二次项系数为1,直接运用配方法.
(2)方程二次项系数为2,移项、两边同除以2,再用配方法.
（3）类似（2）运用配方法.
【详解】解:（1）移项，得
.
配方，得
.
由此可得
，
即
.
（2）移项，得
.
二次项系数化为1，得
配方，得
.
由此可得
，
即
.
（3）移项，得
.
二次项系数化为1，得
配方，得
.
原方程无实数解.
第二环节 合作探究
1.讨论二次项系数为1 的方程配方解法
2.讨论探究二次项系数不为1 的方程配方解法
3.讨论归纳配方法通用解题步骤
拓展提升：
1.阅读下面的材料：
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为解方程
，我们可以将
视为一个整体，然后可设
，则
，
原方程可化为
，用配方法解得
，
．
当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
．
综上所述，原方程的解为
，
，
，
．
(1)根据材料解方程：
；
(2)已知实数
，
满足
，求
的值．
【详解】（1）解：设
，则原方程可化为
，
用配方法解得
，
．
当
时，
，无实数根；
当
时，
，解得
．
综上所述，原方程的解为
，
．
（2）解：令
，则原方程可化为
，
，
解得
，即
．
∴
．
∴
的值为7．
课本课堂练习（P8）第1 题、第2 题（1、2、3）.
1．（2025.包头·校考期中）解方程：
【详解】：
解得
．
2．（2025.阿克苏校考）解方程：
；
【详解】解：
，
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移项得
，
配方得
，即
，
或
，
解得
，
.
3．（2025·青浦·八年级校考期中）配方法解方程：
【详解】解：
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
4.（2025 宁国校考）用配方法解方程
，判断方程根的情况.
【详解】解：解题过程：移项得
，配方得(
，
∵ 平方数非负，
，∴ 方程无实数根.
1.知识与技能：（1）配方法适用所有一元二次方程，分为二次项系数为
1 和不为
1 两种题型；（2）通用
六步解题法：化系数→移项→配方→整理→开方→求解；（3）可通过配方后为
，
正负判断
一元二次方程根的三种情况.
2. 思想方法：本节课核心运用转化思想，将陌生的一般一元二次方程，转化为熟悉的可直接开平方法求
解的完全平方方程，实现“降次求解”，这是解方程的核心思想.
3. 易错提醒：（1）二次项系数不为
1 时，必须先整体除以二次项系数，再配方，不可直接配方；（2）配
方时，必须方程两边同时加常数，只加左边会破坏方程恒等性；（3）加的常数是化简后一次项系数一半
的平方，注意区分原系数和化简后的系数；（4）移项务必变号，开平方时不要遗漏正负号；（5）配方后
右边为负数时，直接判定无实数根，无需继续求解.
