重难点专题02一元二次方程的根及根与系数的关系（专项训练）（原卷版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_题型专练

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重难点专题02 一元二次方程的根及根与系数的关系
重难点一一元二次方程根的定义
1.将字母的值代入方程看方程左右两边是否相等，若相等则为方程的解，反之则不是；
2.将已知根代入方程得等式，利用等式对高次代数式降次代换，不用解方程求值、求参数。
1．下列方程中，有一根为2 的一元二次方程是（
）
A．ݔെʹ ㌳䁩
B．ݔ͵ െͶݔ㌳䁩
C．ݔʹ െͶ ㌳䁩
D．ݔെʹ ㌳䁩riʹr
2．已知关于ݔ的一元二次方程ܽ
ݔʹ ൅ܾݔ൅ܿ
㌳䁩്ܽ
䁩，若ͻܽ൅͵ܾ൅ܿ
㌳䁩，则它的一个根是（
）
A．ݔ㌳͵
B．ݔ㌳െ
i
͵
C．ݔ㌳െ͵
D．ݔ㌳
i
͵
3．若关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ ൅ܾݔ൅ʹ ㌳䁩ʹ്ܽ
䁩ሻ有一根为ݔ㌳ʹ䁩ʹr，则一元二次方程ܽ
ݔെi ʹ ൅ܾݔ൅
ʹ ㌳ܾ
必有一根为（
）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
4．若一元二次方程有一个根是ݔ㌳䁩，则这个方程可以是（
）
A．ݔ൅i
ݔ൅ʹ ㌳䁩
B．ݔʹ െʹݔ൅i ㌳䁩
C．ݔʹ െi ㌳䁩
D．ݔʹ ൅ݔ㌳䁩
5．在一元二次方程ܽ
ݔʹ ൅ܾݔ൅ܿ
㌳䁩്ܽ
䁩中，实数a，b，c 满足Ͷܽെʹܾ൅ܿ
㌳䁩，则此方程必有一根为
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________．
重难点二利用一元二次方程的根求代数式的值
1.将一元二次方程的一根代入方程得到参数的方程；
2.解方程或整体代入即可求解。
1．若ݔ㌳െi 是方程ݔʹ ൅ʹ ㌳ܽ
的解，则ܽ
的值是（
）
A．െi
B．3
C．െ͵
D．1
2．已知ݔ㌳ʹ 是关于ݔ的一元二次方程ݔʹ ൅香ݔെ͸ ㌳䁩的一个根，则香的值为（
）
A．െi
B．െʹ
C．i
D．ʹ
3．已知ݔ㌳i 是ݔʹ െ͵ݔ൅݉
㌳䁩的一个根，则m 的值为（
）
A．2
B．െʹ
C．3
D．െ͵
4．关于x 的一元二次方程ݔʹ െݐݔ൅ݐ㌳͵ 的一个解为ݔ㌳䁩，则实数t 的值是（
）
A．6
B．4
C．3
D．0
5．已知ܽ
是方程ݔʹ െʹݔെr ㌳䁩的一个根，则代数式െ
i
ʹܽ
ʹ ൅ܽ
的值为___________．
6．若ݔ㌳ܽ
是方程ݔʹ െʹݔെ͵ ㌳䁩的一个根，则ʹܽʹ െͶܽ൅⸳的值为__________．
7．已知ܽ
是方程ݔʹ െݔെr ㌳䁩的一个实数根，则代数式ܽܽ
െ
iܽെi 的值为__．
重难点三判断一元二次方程根的情况
1.先保证二次项系数不为0；
2.计算判别式Δ ㌳bʹ െͶac；若Δ > 䁩，则有两不等实根；若Δ ㌳0，则有两相等实根，若Δ < 䁩则无实根；
3.有实根需满足Δ ≥䁩.
1．下列方程中有实数根的是（
）
A．ݔʹ ൅ʹݔ൅͵ ㌳䁩
B．ݔʹ െݔ൅i ㌳䁩
C．͵ݔʹ ൅i ㌳䁩
D．ݔʹ ൅ʹݔ㌳ͺ
2．一元二次方程ݔʹ െͶݔ൅ʹ ㌳䁩的根的情况是（
）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个不相等实数根
D．无法判断
3．定义：݉
כ݊
㌳݉
ʹ ൅݉݊
൅i，例如：ʹ כ i ㌳ʹʹ ൅ʹ ൈi ൅i ㌳7，则关于x 的方程ݔכ ʹ ㌳䁩的根的情况
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是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
4．若关于ݔ的方程݉
൅ʹ ݔʹ െʹ݉
ݔ൅݉
൅i ㌳䁩有实数根，则݉
的取值范围是（
）
A．݉
൑െ
ʹ
͵
B．݉
>െ
ʹ
͵
C．݉
൑െ
ʹ
͵且്݉
െʹ
D．݉
>െ
ʹ
͵且്݉
െʹ
5．一元二次方程ݔʹ ൅͵ݔ൅ʹ ㌳䁩________实数根（填“有”或“没有”）．
6．若关于ݔ的方程ݔെi ʹ ㌳香没有实数根，则香的取值范围为________．
7．直线ݕ㌳െʹݔ൅ܽ
不经过第一象限，则关于ݔ的方程ܽ
ݔʹ െ͵ݔ൅ʹ ㌳䁩的实数解的个数为___________．
8．用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）：
(1)െݔʹ െ͵ݔ൅i ㌳䁩．
(2)ʹݔʹ െ
⸳
ʹ ݔ൅
i
Ͷ ㌳䁩．
(3)Ͷݔʹ ൅r ㌳Ͷ rݔ．
(4)െ͵ݔʹ ൅
͵ݔ㌳ʹ．
9．已知关于ݔ的方程ݔʹ െ香െ͵ ݔ൅香െͶ ㌳䁩．
(1)求证：无论香为何实数，此方程总有实数根．
(2)若两根异号且负根的绝对值大，求香的取值范围．
重难点四已知一元二次方程的两根求代数式的值
1.先由韦达定理解出两根和、积；
2.把目标代数式通分、拆分，转化为两根和与积的组合式代入计算.
1．已知方程ݔʹ ൅ʹ䁩ʹ͸ݔെ⸳㌳䁩的两根分别是݉
和݊
，则代数式݉
ʹ ൅݊
൅ʹ䁩ʹ⸳݉
的值为（
）
A．0
B．െʹ䁩iͻ
C．െʹ䁩ʹ͸
D．െʹ䁩ʹ⸳
2．若ݔi，ݔʹ是方程ݔʹ ൅͵ݔെʹ ㌳䁩的两个实数根，则ݔi
ʹݔʹ ൅ݔiݔʹ
ʹ的值为（
）
A．െͻ
B．െ͵
C．͸
D．െ͸
15．已知ݔi、ݔʹ是一元二次方程͵ݔʹ ൅ʹݔെ͸ ㌳䁩的两根，则ݔi ൅i
ݔʹ ൅i 的值是（
）
A．െ
Ͷ
͵
B．
ͺ
͵
C．െ
r
͵
D．
Ͷ
͵
3．已知ߙ，ߚ是一元二次方程ݔʹ െʹ䁩ʹrݔെi ㌳䁩的两个实数根，则ߙ൅ߚെߙߚ㌳（）
A．ʹ䁩ʹ͵
B．ʹ䁩ʹͶ
C．ʹ䁩ʹr
D．ʹ䁩ʹ͸
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4．已知ߙ，ߚ是方程ݔʹ ൅ʹ䁩ʹrݔ൅i ㌳䁩的两个实数根，则代数式ߙʹ ൅ʹ䁩ʹ͸ߙ൅ʹ
ߚʹ ൅ʹ䁩ʹ͸ߚ൅ʹ 的值为
（
）
A．െʹ䁩ʹr
B．െʹ䁩ʹ͵
C．1
D．2025
5．已知实数݉
、݊
分别满足݉
ʹ െʹ݉
െi ㌳䁩，݊
ʹ െʹ݊
െi ㌳䁩，则݊݉
൅݉݊
的值为（
）
A．െ͸
B．2
C．െ͸ 或2
D．6 或2
6．已知一元二次方程
i
͵ ݔʹ െݔ㌳Ͷ 的两个实数根分别为ߙ，ߚ，则
ʹ
ߙ൅
ʹ
ߚ的值为（
）
A．
i
ʹ
B．െ
i
ʹ
C．
i
Ͷ
D．െ
i
Ͷ
7．已知关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ͵香ݔ൅Ͷ ㌳䁩的两个根为ݔi，ݔʹ，且满足ݔi ൅ݔʹ ㌳ݔi ڄ ݔʹ，则香的值为
（
）
A．
Ͷ
͵
B．െ
Ͷ
͵
C．
͵
Ͷ
D．െ
͵
Ͷ
8．已知方程ݔʹ ൅Ͷݔെr ㌳䁩的两根分别为a 和b，则ܽ
൅iܾ
൅i 的值是________．
9．已知关于ݔ的一元二次方程ݔʹ ൅ʹܽݔ㌳ʹܽ
െi 有两个实数根ݔi，ݔʹ，且满足ݔi ൅ݔʹ ㌳ͺ，则ݔi
ʹ െrݔiݔʹ ൅
ͺݔʹ的值为______．
重难点五已知一元二次方程的一根求另一根
1.优先用韦达定理两根和，直接减法算另一根；
2.复杂题可代入已知根求参数，再解方程求剩余根。
1．已知ݔ㌳i 是关于x 的一元二次方程͵ݔʹ െ⸳݉
ݔെʹ ㌳䁩的一个根，则方程的另一个根为（
）
A．2
B．
͵
ʹ
C．1
D．െ
ʹ
͵
2．已知ݔ㌳ʹ 是关于x 的方程ݔʹ െ͵ݔ൅݉
㌳䁩的一个根，则方程的另一个根为（
）
A．െr
B．1
C．2
D．െi
3．已知方程ݔʹ െ͵ݔ൅香㌳䁩的一个根是另一个根的2 倍，则香的值是（
）
A．1
B．െi
C．2
D．െʹ
4．若ݔ㌳i 是一元二次方程ݔʹ െݔെ͵݉
ʹ ൅݉
㌳䁩的一个根，则方程的另一根为____________．
重难点六利用一元二次方程的两根关系求解
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1.先限定a ≠䁩、Δ ≥䁩锁定参数范围；
2.根据一元二次方程的两根关系互为相反数、倒数、之积为多少、平方和等列出关于参数的等式；
3.结合题干根的数量关系列方程求参，最后回代Δ剔除无效解.
1．若关于ݔ的方程ݔʹ ൅݉
ʹ െ͵ ݔ൅݉
൅i ㌳䁩的两根互为相反数，则݉
的值是（
）
A．േ
͵
B．͵
C．െ
͵
D．െi
2．若关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െܽ
ݔെʹܽ
㌳䁩的两根之积为Ͷܽെ͵，则a 的值为（
）
A．
i
ʹ
B．
͵
ʹ
C．2
D．1
3．关于x 的一元二次方程
香െi ݔʹ െͺݔ൅Ͷ ㌳䁩有两个正实数根，则k 的取值范围为（
）
A．香൑r 且香്
i B．i < 香< r
C．i ൑香൑r
D．i < 香൑r
4．关于ݔ的方程ݔʹ െܽ
ݔ൅ʹܽ
㌳䁩的两个根的平方和是iʹ，则ܽ
的值是（
）
A．െʹ 或6
B．2
C．6
D．െʹ
5．已知方程ݔʹ െ香ݔെ͸ ㌳䁩的两个根都是整数，则香的值有（
）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知方程ܽ
ݔʹ ൅ܾݔ൅i ㌳䁩（a，b 为常数，്ܽ
䁩）的两根之和等于两根之积，则b 的值为________．
重难点七根与系数的关系与完全平方公式综合求解
1.牢记变形公式xi
ʹ ൅xʹ
ʹ ㌳ʹxi ൅xʹሻʹ െʹxixʹ、ʹxi െxʹሻʹ ㌳ʹxi ൅xʹሻʹ െͶxixʹ；
2.所有平方类、差值类式子统一凑完全平方后代入和、积计算.
1．已知ݔiǡݔʹ是一元二次方程ݔʹ െrݔ൅͵ ㌳䁩的两个实数根，则代数式ݔi
ʹ ൅ݔʹ
ʹ െݔiݔʹ的值为（
）
A．ͺ
B．i͸
C．ʹͶ
D．ʹͺ
2．已知ݔi，ݔʹ是关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ݉
൅͵ ݔ൅ʹ݉
൅i ㌳䁩的两个实数根，若ݔi
ʹ ൅ݔʹ
ʹ ㌳i䁩，则݉
的值为（
）
A．1
B．െ͵
C．1 或െ͵
D．不存在
3．已知Rt ᇞܣ䳌䁨的两条直角边ܽ
，ܾ分别是一元二次方程ݔʹ ൅݌ݔ൅ݍ㌳䁩的两个根，且ܽʹ ൅ܾ
ʹ ㌳ʹr，ܽെܾ
㌳i，则݌和ݍ的值分别为（
）
A．െi，r
B．െ⸳，iʹ
C．͵，Ͷ
D．⸳，െiʹ
4．已知a，b 是方程ݔʹ ൅ݔെ͵ ㌳䁩的两根，则ܽʹ ൅ܾ
ʹ的值为（
）
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A．1
B．െr
C．7
D．13
5．已知m，n 是关于x 的一元二次方程ݔʹ െ香െi ݔ൅
香ʹ
Ͷ ㌳䁩的两个实数根，且满足等式݉
ʹ ൅݊
ʹ െʹ݉݊
㌳Ͷ，
则k 的值为________．
6．已知一元二次方程ݔʹ െʹݔെʹ ㌳䁩的两根分别为ݔi、ݔʹ．
（1）ݔi
ʹ ൅ݔʹ
ʹ值为_________；
（2）写出一个以ݔi
ʹ、ݔʹ
ʹ为根的一元二次方程：_________．