重难点专题01一元二次方程的解法（专项训练）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_题型专练

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重难点专题01 一元二次方程的解法
重难点一利用直接开平方法解一元二次方程
1. 先将方程整理为(mx + n)2 = p 形式；
2. 根据p > 0 有两个不等的实数根，p = 0 有两个相等的实数根，p < 0 无实根进行求解；
3.开方必带±，不漏负根。
1．方程ݔെ2 2 = 0 的根为（
）
A．ݔ= 0
B．ݔ=േ2
C．ݔͳ = ݔ2 =െ2
D．ݔͳ = ݔ2 = 2
【答案】D
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根．
【详解】解：∵
ݔെ2 2 = 0，
∴ݔെ2 = 0，
∴ݔͳ = ݔ2 = 2．
2．方程ݔ2 = ͵ 的解是______．
【答案】ݔ=
͵或ݔ=െ
͵
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．直接开方即可．
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【详解】解：ݔ2 = ͵，
ݔ=േ
͵，
解得：ݔ=
͵或ݔ=െ
͵，
故答案为ݔ=
͵或ݔ=െ
͵．
3．方程ݔെ͵ 2 = ͳ䁕的根是__________．
【答案】ݔͳ = ͹，ݔ2 =െͳ
【详解】解：∵ݔെ͵ 2 = ͳ䁕，
∴ݔെ͵ = 䁨或ݔെ͵ =െ䁨，
解得ݔͳ = ͹，ݔ2 =െͳ．
4．用直接开平方法解下列方程．
(1)(2ݔെͳ)2 െ䁨= 0；
(2)䁨(ݔ+ ͳ)2 െͺ = 0．
【答案】(1)ݔͳ =
͵
2 ǡݔ2 =െ
ͳ
2
(2)ݔͳ =െͳ +
2ǡݔ2 =െͳ െ
2
【分析】（1）直接开平方解一元二次方程；
（2）直接开平方解一元二次方程．
【详解】（1）解：(2ݔെͳ)2 െ䁨= 0
(2ݔെͳ)2 = 䁨
2ݔെͳ =േ2
∴ݔͳ =
͵
2 ǡݔ2 =െ
ͳ
2；
（2）解：䁨(ݔ+ ͳ)2 െͺ = 0
䁨(ݔ+ ͳ)2 = ͺ
(ݔ+ ͳ)2 = 2
ݔ+ ͳ =േ
2
∴ݔͳ =െͳ +
2ǡݔ2 =െͳ െ
2．
5．解下列方程：
(1) ݔെͳ 2 = 䁨䁕
(2) 2ݕെ͵ 2 = ͳ䁕
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【答案】(1)ݔͳ = ͺ，ݔ2 =െ䁕；
(2)ݕͳ =
͹
2，ݕ2 =െ
ͳ
2．
【详解】（1）解：ݔെͳ 2 = 䁨䁕，
∴ݔെͳ = ͹ 或ݔെͳ =െ͹，
∴ݔͳ = ͺ，ݔ2 =െ䁕；
（2）解：2ݕെ͵ 2 = ͳ䁕，
∴2ݕെ͵ = 䁨或2ݕെ͵ =െ䁨，
∴2ݕ= ͹ 或2ݕ=െͳ，
∴ݕͳ =
͹
2，ݕ2 =െ
ͳ
2．
6．求下列各式中的ݔ的值：
(1)䁨ݔ2 = 䁕䁨；
(2)2 ݔ+ 2 2 = ͳͺ
【答案】(1)ݔͳ = 䁨，ݔ2 =െ䁨
(2)ݔͳ = ͳ，ݔ2 =െͷ
【分析】（1）先将原式化简为ݔ2 = ͳ䁕，再等号两边开平方，即可求解；
（2）先将原式化简为ݔ+ 2 2 = 䁕，再等号两边开平方，即可求解．
【详解】（1）解：䁨ݔ2 = 䁕䁨，
化简得ݔ2 = ͳ䁕，
解得ݔͳ = 䁨，ݔ2 =െ䁨．
（2）解：2 ݔ+ 2 2 = ͳͺ，
化简得ݔ+ 2 2 = 䁕，
开方得ݔ+ 2 =േ͵，
解得ݔͳ = ͳ，ݔ2 =െͷ．
重难点二利用配方法解一元二次方程
1.先将常数项移到方程的右侧，将二次项系数化为1；
2.等号两边同时加上一次项系数一半的平方；
3.写成平方式后开方，进行求解，写出两个解.
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1．用配方法解一元二次方程ݔ2 െ䁕ݔ= 䁨，配方正确的是（
）
A．ݔ+ ͵ 2 = ͳ͵
B．ݔെ͵ 2 = ͳ͵
C．ݔ+ ͵ 2 = 䁨
D．ݔെ͵ 2 = 䁨
【答案】B
【详解】解：∵ݔ2 െ䁕ݔ= 䁨，
∴ݔ2 െ䁕ݔ+ 䁕= 䁨+ 䁕，
即ݔെ͵ 2 = ͳ͵．
2．若将一元二次方程ݔ2 െ䁕ݔെ20ͳ͹ = 0 转化为(ݔ+ ൅)2 =ܾ
的形式，则ܾ
的值为（
）
A．202͵
B．202䁨
C．202ͷ
D．202䁕
【答案】D
【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到ܾ
的值．
【详解】解：∵ݔ2 െ䁕ݔെ20ͳ͹ = 0，
∴移项得ݔ2 െ䁕ݔ= 20ͳ͹，
配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方䁕，得
ݔ2 െ䁕ݔ+ 䁕= 20ͳ͹ + 䁕，
整理得(ݔെ͵)2 = 202䁕，
对比(ݔ+ ൅)2 =ܾ
，可得ܾ
= 202䁕．
3．用配方法
．．．解方程：ݔ2 + 䁕ݔ+ ͵ = 0．
【答案】ݔͳ =െ͵ +
䁕，ݔ2 =െ͵ െ
䁕
【分析】利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵ݔ2 + 䁕ݔ+ ͵ = 0，
∴ݔ2 + 䁕ݔ=െ͵，
∴ݔ2 + 䁕ݔ+ 䁕=െ͵ + 䁕，
∴ݔ+ ͵ 2 = 䁕，
∴ݔ+ ͵ =േ
䁕，
∴ݔͳ =െ͵ +
䁕，ݔ2 =െ͵ െ
䁕．
4．解方程：ݔ2 െ2ݔ= ͺ．
【答案】ݔͳ =െ2，ݔ2 = 䁨
【分析】可以利用配方法解一元二次方程．
【详解】解：ݔ2 െ2ݔ= ͺ
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ݔ2 െ2ݔ+ ͳ = ͺ + ͳ，
ݔെͳ 2 = 䁕，
ݔെͳ =േ͵，
∴ݔͳ =െ2，ݔ2 = 䁨．
5．解方程：
(1) ݔ+ ͵
ݔെͷ = ͳ；
(2)ݔ(ݔെ䁕) = 2(ݔെͺ)．
【答案】(1)ݔͳ = ͳ +
ͳ͹，ݔ2 = ͳ െ
ͳ͹
(2)ݔͳ = ݔ2 = 䁨
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）化简后采用配方法求解即可；
（2）化简后采用配方法求解即可；
【详解】（1）解：ݔ+ ͵
ݔെͷ = ͳ
ݔ2 െ2ݔെͳͷ = ͳ
ݔ2 െ2ݔ= ͳ䁕
ݔ2 െ2ݔ+ ͳ = ͳ͹
(ݔെͳ)2 = ͳ͹
ݔെͳ =േ
ͳ͹
ݔͳ = ͳ +
ͳ͹，ݔ2 = ͳ െ
ͳ͹
（2）解：ݔ(ݔെ䁕) = 2(ݔെͺ)
ݔ2 െ䁕ݔ= 2ݔെͳ䁕
ݔ2 െͺݔ+ ͳ䁕= 0
(ݔെ䁨)2 = 0
ݔͳ = ݔ2 = 䁨
重难点三利用公式法解一元二次方程
1.先将方程整理为标准形式，确定a、b、c 的值；
2.先算Δ，当Δ＜0 时，直接判定方程无实数根；
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3.当Δ≥0 时，将a、b、c 的值代入求根公式进行计算，结果进行约分化简。
1．用公式法解െݔ2 + ͵ݔ= ͳ 时，先求出൅、ܾ、ܿ的值，则൅、ܾ、ܿ依次为（
）
A．െͳ，͵，െͳ
B．ͳ，െ͵，െͳ
C．െͳ，െ͵，െͳ
D．ͳ，െ͵，ͳ
【答案】A
【分析】将原方程整理为一般形式൅ݔ2 +ܾݔ+ܿ
= 0，找出对应的二次项系数൅、一次项系数ܾ
和常数项ܿ
即可．
【详解】解：׶原方程为െݔ2 + ͵ݔ= ͳ，
׵移项整理为一般形式得െݔ2 + ͵ݔെͳ = 0，
׵可得二次项系数൅=െͳ，一次项系数ܾ
= ͵，常数项ܿ
=െͳ
2．用公式法解关于ݔ的一元二次方程，得ݔ=
െ䁕േ䁕2െ䁨ൈ䁨ൈͳ
2ൈ䁨
，则该一元二次方程是（
）
A．2ݔ2 െ䁕ݔ+ 䁨= 0
B．䁨ݔ2 െ䁕ݔ+ 䁨= 0
C．䁨ݔ2 + 䁕ݔ+ ͳ = 0
D．2ݔ2 + 䁕ݔ+ ͳ = 0
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，
确定൅、ܾ、ܿ的值，从而得到原方程．
【详解】解：一元二次方程的一般形式为൅ݔ2 +ܾݔ+ܿ
= 0(൅്
0)，其求根公式为ݔ=
െܾേܾ
2െ䁨൅ܿ
2൅
．
题目中给出的根的表达式为ݔ=
െ䁕േ䁕2െ䁨ൈ䁨ൈͳ
2ൈ䁨
，与求根公式对比可得：
2൅= 2 ൈ䁨，故൅= 䁨；
െܾ
=െ䁕，故ܾ
= 䁕；
䁨൅ܿ= 䁨ൈ䁨ൈͳ，故ܿ
= ͳ．
因此，该一元二次方程为䁨ݔ2 + 䁕ݔ+ ͳ = 0；
故选：C．
3．使用“公式法”解一元二次方程
(1)ݔ2 െ
2ݔെ
ͳ
䁨= 0；
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(2)2ݔ2 െ2 2ݔ+ ͳ = 0；
(3)͵ݔ2 + 20 = 2ݔ2 + ͺݔ．
【答案】(1)ݔ=
2+ ͵
2
或ݔ=
2െ͵
2
；
(2)ݔͳ = ݔ2 =
2
2 ；
(3)无实数根
【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式൅ݔ2 +ܾݔ+ܿ
= 0(൅്
0)，确定
൅、ܾ、ܿ的值，计算判别式Δ =ܾ
2 െ䁨൅ܿ，根据Δ的符号判断根的情况：当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实
数根；当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0 时，方程无实数根，最后代入求根公式ݔ=
െܾേΔ
2൅
求解(Δ < 0 时无需代入)．
（1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解；
（2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据Δ = 0 求相等实根；
（3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据Δ < 0 判断无实数根．
【详解】（1）解：方程ݔ2 െ
2ݔെ
ͳ
䁨= 0，其中൅= ͳ，ܾ
=െ
2，ܿ=െ
ͳ
䁨，
∴Δ =ܾ
2 െ䁨൅ܿ= ( െ
2)2 െ䁨ൈͳ ൈ( െ
ͳ
䁨) = 2 + ͳ = ͵ > 0，
∴ݔ=
െܾേΔ
2൅
=
2േ͵
2ൈͳ =
2േ͵
2
，
即ݔͳ =
2+ ͵
2
，ݔ2 =
2െ͵
2
；
（2）解：方程2ݔ2 െ2 2ݔ+ ͳ = 0，其中൅= 2，ܾ
=െ2 2，ܿ= ͳ，
∴Δ =ܾ
2 െ䁨൅ܿ= ( െ2 2)2 െ䁨ൈ2 ൈͳ = ͺ െͺ = 0，
∴ݔ=
െܾേΔ
2൅
=
2 2േ0
2ൈ2 =
2
2 ，
即ݔͳ = ݔ2 =
2
2 ；
（3）解：先将方程化为一般形式：ݔ2 െͺݔ+ 20 = 0，
其中൅= ͳ，ܾ
=െͺ，ܿ= 20，
∴Δ =ܾ
2 െ䁨൅ܿ= ( െͺ)2 െ䁨ൈͳ ൈ20 = 䁕䁨െͺ0 =െͳ䁕< 0，
∴原方程无实数根．
4．解方程：͵ݔ(ݔെͷ) = ͳ0 െ2ݔ
【答案】ݔͳ = ͷ，ݔ2 =െ
2
͵
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【分析】用公式法求解一元二次方程即可．
【详解】解：͵ݔ(ݔെͷ) = ͳ0 െ2ݔ
͵ݔ2 െͳ͵ݔെͳ0 = 0
൅= ͵ǡܾ=െͳ͵ǡܿ=െͳ0
Δ =ܾ
2 െ䁨൅ܿ= 2ͺ䁕> 0
ݔ= ͳ͵ േ
െͳ͵ 2 െ䁨ൈ͵ ൈെͳ0
2 ൈ͵
= ͳ͵ േͳ͹
䁕
ݔͳ = ͷǡݔ2 =െ2
͵
16．解下列方程：͵ݔ2 െͷݔ+ 2 = 0（用公式法）；
【答案】ݔͳ = ͳ，ݔ2 =
2
͵
【详解】解：͵ݔ2 െͷݔ+ 2 = 0，
൅= ͵，ܾ
=െͷ，ܿ= 2，
Δ =ܾ
2 െ䁨൅ܿ= െͷ 2 െ䁨ൈ͵ ൈ2 = ͳ > 0，
∴方程有两个不等的实数根，
ݔ=
െܾേܾ
2െ䁨൅ܿ
2൅
=
ͷേͳ
2ൈ͵ =
ͷേͳ
䁕，
即ݔͳ = ͳ，ݔ2 =
2
͵．
重难点四利用因式分解解一元二次方程
1.有公因式先提取进行因式分解，不可直接除公因式防漏根；
2.十字相乘拆系数，看常数正负定分解数字符号；
3.平方差、完全平方整体分解，不用全部展开；
4.最重要一点就是利用因式分解法将方程化为ab=0 的形式；
5.根据ab=0 得a=0 或b=0 解出方程的解。
1．方程ݔ2 = 202䁕ݔ的解是（
）
A．ݔ= 0
B．ݔ= 202䁕
C．ݔͳ = 0，ݔ2 = 202䁕D．无实数根
【答案】C
【分析】利用因式分解法即可解答．
【详解】∵ݔ2 = 202䁕ݔ
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移项得ݔ2 െ202䁕ݔ= 0
提取公因式得ݔ(ݔെ202䁕) = 0
∴ݔ= 0 或ݔെ202䁕= 0
解得ݔͳ = 0ǡݔ2 = 202䁕．
2．一元二次方程ݔݔെͷ = ͵ ͷ െݔ的解是（
）
A．ݔ=െ͵
B．ݔͳ = ͵，ݔ2 =െͷ
C．ݔͳ = ͵，ݔ2 = ͷ
D．ݔͳ =െ͵，ݔ2 = ͷ
【答案】D
【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解．
【详解】解：∵ݔݔെͷ = ͵ ͷ െݔ，
∴ݔݔെͷ െ͵ ͷ െݔ= 0，
∴ݔݔെͷ + ͵ ݔെͷ = 0，
∴ݔെͷ
ݔ+ ͵ = 0，
∴ݔെͷ = 0 或ݔ+ ͵ = 0，
解得ݔͳ =െ͵，ݔ2 = ͷ．
3．解方程：ݔ2 െ䁨ݔ+ ͵ = 0
【答案】
ݔͳ = ͳ，ݔ2 = ͵
【详解】解：ݔ2 െ䁨ݔ+ ͵ = 0
(ݔെͳ)(ݔെ͵) = 0，
׵ ݔെͳ = 0 或ݔെ͵ = 0，
解得ݔͳ = ͳǡݔ2 = ͵.
4．解方程：ݔ2ݔ+ ͵ െ䁨ݔെ䁕= 0．
【答案】ݔͳ =െ
͵
2，ݔ2 = 2
【分析】将ݔ2ݔ+ ͵ െ䁨ݔെ䁕= 0 提取公因式得到2ݔ+ ͵
ݔെ2 = 0，再利用因式分解法解这个一元二
次方程即可．
【详解】解：ݔ2ݔ+ ͵ െ䁨ݔെ䁕= 0
ݔ2ݔ+ ͵ െ2 2ݔ+ ͵ = 0，
2ݔ+ ͵
ݔെ2 = 0，
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2ݔ+ ͵ = 0 或ݔെ2 = 0，
ݔͳ =െ
͵
2，ݔ2 = 2．
5．解方程：ݔെͳ = ݔെͳ
2ݔ+ ͵ ．
【答案】ݔͳ = ͳ，ݔ2 =െͳ
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵ݔെͳ = ݔെͳ
2ݔ+ ͵ ，
∴ݔെͳ
2ݔ+ ͵ െݔെͳ = 0，
∴ݔെͳ
2ݔ+ 2 = 0
∴ݔെͳ = 0 或2ݔ+ 2 = 0
∴ݔͳ = ͳ，ݔ2 =െͳ．
6．用因式分解法解下列方程：
(1)͵ݔ2 െ䁕ݔ= 0；
(2)ݔ2ݔ+ ͵ െ䁨ݔ= 0．
【答案】(1)ݔͳ = 0ǡݔ2 = 2
(2)ݔͳ = 0ǡݔ2 =
ͳ
2
【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得͵ݔ(ݔെ2) = 0．
因此，有͵ݔ= 0 或ݔെ2 = 0．
解方程，得ݔͳ = 0ǡݔ2 = 2；
（2）解：原方程化为一般形式，得2ݔ2 െݔ= 0．
把方程左边分解因式，得ݔ(2ݔെͳ) = 0．
因此，有ݔ= 0 或2ݔെͳ = 0．
解方程，得ݔͳ = 0ǡݔ2 =
ͳ
2．
重难点五利用换元法解一元二次方程
1.把公共部分代数式设为t，标注t 取值范围；
2.换元将方程转一元二次方程解出t 的值；
3.逐个回代求x 的值；
4.分式、根式换元必须验根，舍去超范围解。
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1．解方程
ݔ2െͳ
ݔ2 െ
͵ݔ2
ݔ2െͳ = 2 时，令
ݔ2െͳ
ݔ2 = ݕ，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（
）
A．ݕ2 െ2ݕെ͵ = 0
B．ݕ2 െ2ݕ+ ͵ = 0
C．ݕ2 + 2ݕെ͵ = 0
D．ݕ2 + 2ݕ+ ͵ = 0
【答案】A
【分析】将原方程中对应部分用换元后的y 替换，再对分式方程去分母整理得到整式方程即可解答．
【详解】解：∵令ݕ=
ݔ2െͳ
ݔ2 ，可得
͵ݔ2
ݔ2െͳ =
͵
ݕ
将其代入原方程得：ݕെ
͵
ݕ= 2
方程两边同乘（ݕݕ്
0 ）去分母得：ݕ2 െ͵ = 2ݕ，
移项整理得：ݕ2 െ2ݕെ͵ = 0，
因此换元后整理得到的整式方程为ݕ2 െ2ݕെ͵ = 0．
2．已知关于ݔ的方程൅ݔ+ 䁞2 +ܾ
= 0 的解ݔͳ =െ2ǡݔ2 = ͳ 是（൅，䁞，ܾ均为常数，൅്
0），则方程൅͵ݔ+
䁞+ ͳ 2 +ܾ
= 0 的解是（
）
A．ݔͳ =െͷǡݔ2 = 䁨
B．ݔͳ =െͳǡݔ2 = 0
C．ݔͳ =െ2ǡݔ2 = ͳ
D．无法求解
【答案】B
【分析】利用换元法，将新方程中的͵ݔ+ ͳ 看作整体，对应原方程的ݔ，根据原方程的解得到整体的取值，
再解一元一次方程即可得到新方程的解．
【详解】解：令ݕ= ͵ݔ+ ͳ，则方程൅͵ݔ+ 䁞+ ͳ 2 +ܾ
= 0 可变形为൅ݕ+ 䁞2 +ܾ
= 0，
׶关于ݔ的方程൅ݔ+ 䁞2 +ܾ
= 0 的解为ݔͳ =െ2ǡݔ2 = ͳ，
׵ ݕͳ =െ2ǡݕ2 = ͳ，
即͵ݔ+ ͳ =െ2 或͵ݔ+ ͳ = ͳ，
解得ݔͳ =െͳ 或ݔ2 = 0，
׵方程൅͵ݔ+ 䁞+ ͳ 2 +ܾ
= 0 的解是ݔͳ =െͳǡݔ2 = 0．
3．已知方程ݔ2 + 2ݔെ͵ = 0 的解是ݔͳ = ͳ，ݔ2 =െ͵，则方程䁨ݔ+ ͳ 2 + 2 䁨ݔ+ ͳ െ͵ = 0 的解是
___________．
【答案】ݔͳ = 0，ݔ2 =െͳ
【分析】利用整体换元的思想，将䁨ݔ+ ͳ 看作整体，对应已知方程中ݔ的值，得到关于ݔ的一元一次方程，
求解即可得到结果．
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【详解】解：∵方程ݔ2 + 2ݔെ͵ = 0 的解是ݔͳ = ͳ，ݔ2 =െ͵，
∴方程䁨ݔ+ ͳ 2 + 2 䁨ݔ+ ͳ െ͵ = 0 的解为䁨ݔ+ ͳ = ͳ 或䁨ݔ+ ͳ =െ͵，
解得：ݔͳ = 0，ݔ2 =െͳ．
26．解方程：䁨ݔെͳ 2 െͳ0 䁨ݔെͳ െ2䁨= 0
【答案】ݔͳ =
ͳ͵
䁨，ݔ2 =െ
ͳ
䁨．
【分析】令ݐ= 䁨ݔെͳ，得到关于ݐ的方程，利用配方法求得ݐͳ = ͳ2，ݐ2 =െ2，进而求出ݔ的值即可．
【详解】解：令ݐ= 䁨ݔെͳ，代入方程得ݐ2 െͳ0ݐെ2䁨= 0，
׶ ݐ2 െͳ0ݐെ2䁨= 0，
׵ ݐ2 െͳ0ݐ= 2䁨，
׵ ݐ2 െͳ0ݐ+ 2ͷ = 2䁨+ 2ͷ，
׵ ݐെͷ 2 = 䁨䁕，
׵ ݐെͷ =േ͹，
解得：ݐͳ = ͳ2，ݐ2 =െ2，
当䁨ݔെͳ = ͳ2 时，ݔ=
ͳ͵
䁨，
当䁨ݔെͳ =െ2 时，ݔ=െ
ͳ
䁨，
׵原方程的解为ݔͳ =
ͳ͵
䁨，ݔ2 =െ
ͳ
䁨．
4．降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程ݔ䁨െݔ2 െͳ2 = 0
时，可以将ݔ2看成一个整体，设ݔ2 = ݕ，则ݔ䁨= ݕ2，原方程可化为ݕ2 െݕെͳ2 = 0，解得ݕͳ = 䁨，ݕ2 =െ͵．当
ݕ= 䁨时，ݔ2 = 䁨，ݔ  + 2
ݔെ2 = 0，所以ݔͳ =െ2，ݔ2 = 2；当ݕ= െ͵ 时，此方程没有实数根，所以原
方程的根为ݔͳ =െ2，ݔ2 = 2．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程：
(1)ݕ䁨െͳ䁕ݕ2 = 0；
(2) ݕ2 െ͵ݕെ͵
ݕ2 െ͵ݕ+ ͳ = ͷ．
【答案】(1)ݕ2 = ݕͳ = 0ǡݕ͵ = 䁨ǡݕ䁨=െ䁨
(2)ݕͳ = 䁨ǡݕ2 =െͳǡݕ͵ = ͳǡݕ䁨= 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答．
（2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵ݕ䁨െͳ䁕ݕ2 = 0
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∴可以将ݕ2看成一个整体，设ݕ2 = ݔ，
则ݕ䁨= ݔ2，原方程可化为ݔ2 െͳ䁕ݔ= 0，
∴ݔݔെͳ䁕= 0
解得ݔͳ = 0，ݔ2 = ͳ䁕．
当ݔ= 0 时，ݕ2 = 0，解得ݕ2 = ݕͳ = 0ǡ
当ݔ= ͳ䁕时，ݕ2 = ͳ䁕，解得ݕ͵ = 䁨ǡݕ䁨=െ䁨．
（2）解：∵ݕ2 െ͵ݕെ͵
ݕ2 െ͵ݕ+ ͳ = ͷ，
∴可以将ݕ2 െ͵ݕ看成一个整体，设ݕ2 െ͵ݕ= ݔ，
原方程可化为ݔെ͵
ݔ+ ͳ = ͷ，
∴ݔ2 + ݔെ͵ݔെ͵ = ͷ，
∴ݔ2 െ2ݔെͺ = 0，
∴ݔെ䁨
ݔ+ 2 = 0，
∴ݔͳ = 䁨ǡݔ2 =െ2，
当ݔ= 䁨时，ݕ2 െ͵ݕ= 䁨，
∴ݕ2 െ͵ݕെ䁨= 0，
∴ݕെ䁨
ݕ+ ͳ = 0，
解得ݕͳ = 䁨ǡݕ2 =െͳǡ
当ݔ=െ2 时，ݕ2 െ͵ݕ=െ2，
∴ݕ2 െ͵ݕ+ 2 = 0，
∴ݕെͳ
ݕെ2 = 0，
解得ݕ͵ = ͳǡݕ䁨= 2．
综上：ݕͳ = 䁨ǡݕ2 =െͳǡݕ͵ = ͳǡݕ䁨= 2．
5．【阅读材料】方程ݔ2 െͳ 2 െͷ ݔ2 െͳ + 䁨= 0 是一个一元四次方程，我们可以把ݔ2 െͳ 看成一个整体，
设ݔ2 െͳ = ݕ，则原方程可化为ݕ2 െͷݕ+ 䁨= 0①，
解方程①可得ݕͳ = ͳ，ݕ2 = 䁨；
当ݕ= ͳ 时，ݔ2 െͳ = ͳ，即ݔ2 = 2，׵ ݔ=േ
2；
当ݕ= 䁨时，ݔ2 െͳ = 䁨，即ݔ2 = ͷ，׵ ݔ=േ
ͷ；
׵原方程的解为ݔͳ =
2，ݔ2 =െ
2，ݔ͵ =
ͷ，ݔ䁨=െ
ͷ．
【解决问题】
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(1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数
学的转化思想；
(2)已知ݔ2 + ݕ2 + ͳ
ݔ2 + ݕ2 + ͵ = ͺ，求ݔ2 + ݕ2的值；
(3)请仿照材料中的方法，解方程：ݔ2 െ2ݔ2 െ䁨ݔ2 െ2ݔ= 0．
【答案】(1)降次
(2)ݔ2 + ݕ2 = ͳ
(3)ݔͳ = 0ǡݔ2 = 2ǡݔ͵ =
ͷ + ͳǡݔ䁨=െ
ͷ + ͳ
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据题意可得换元法达到降次的目的；
（2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解；
（3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解．
【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想
（2）解：设䁞= ݔ2 + ݕ2，则原方程可化为䁞+ ͳ
䁞+ ͵ = ͺ
整理，得䁞2 + 䁨䁞െͷ = 0
解得䁞ͳ =െͷ，䁞2 = ͳ
又∵ݔ2 + ݕ2 ൒0
׵ ݔ2 + ݕ2 = ͳ
（3）解：设ݔ2 െ2ݔ= ݕ，则原方程可化为ݕ2 െ䁨ݕ= 0
解得ݕͳ = 0，ݕ2 = 䁨
当ݕͳ = 0 时，ݔ2 െ2ݔ= 0，解得ݔͳ = 0，ݔ2 = 2
当ݕ2 = 䁨时，ݔ2 െ2ݔ= 䁨，解得ݔ͵ =
ͷ + ͳ，ݔ䁨=െ
ͷ + ͳ
׵原方程的解为ݔͳ = 0ǡݔ2 = 2ǡݔ͵ =
ͷ + ͳǡݔ䁨=െ
ͷ + ͳ．