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重难点专题02 一元二次方程的根及根与系数的关系
重难点一一元二次方程根的定义
1.将字母的值代入方程看方程左右两边是否相等，若相等则为方程的解，反之则不是；
2.将已知根代入方程得等式，利用等式对高次代数式降次代换，不用解方程求值、求参数。
1．下列方程中，有一根为2 的一元二次方程是（
）
A．ݔെʹ ㌳䁩
B．ݔ͵ െͶݔ㌳䁩
C．ݔʹ െͶ ㌳䁩
D．ݔെʹ ㌳䁩灙ͳʹͷ
【答案】C
【详解】解：A、ݔെʹ ㌳䁩未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；
B、ݔ͵ െͶݔ㌳䁩未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；
C、ݔʹ െͶ ㌳䁩符合一元二次方程的定义，将ݔ㌳ʹ 代入方程左边得：左边㌳ʹʹ െͶ ㌳䁩㌳右边，ݔ㌳ʹ 是ݔʹ െ
Ͷ ㌳䁩的根，符合题意；
D、ݔെʹ ㌳䁩灙ͳʹͷ 即
ͳ
ݔʹ ㌳䁩灙ͳʹͷ，不是一元二次方程，不符合题意．
2．已知关于ݔ的一元二次方程ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
㌳䁩്ܽ
䁩，若ͻܽ͵ܾܿ
㌳䁩，则它的一个根是（
）
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A．ݔ㌳͵
B．ݔ㌳െ
ͳ
͵
C．ݔ㌳െ͵
D．ݔ㌳
ͳ
͵
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程为ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
㌳䁩്ܽ
䁩，
把ݔ㌳͵ 代入方程左边，得ܽ
ൈ͵ʹ ܾ
ൈ͵ ܿ
㌳ͻܽ͵ܾܿ，
又∵已知ͻܽ͵ܾܿ
㌳䁩，
∴当ݔ㌳͵ 时，方程左右两边相等，
∴ݔ㌳͵ 是该一元二次方程的一个根．
3．若关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ ܾݔʹ ㌳䁩ʹ്ܽ
䁩ሻ有一根为ݔ㌳ʹ䁩ʹͷ，则一元二次方程ܽ
ݔെͳ ʹ ܾݔ
ʹ ㌳ܾ
必有一根为（
）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利
用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键．
【详解】解：∵ܽ
ݔെͳ ʹ ܾݔʹ ㌳ܾ
∴ܽ
ݔെͳ ʹ ܾݔെܾ
ʹ ㌳䁩
∴ܽ
ݔെͳ ʹ ܾ
ݔെͳ ʹ ㌳䁩
∵关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ ܾݔʹ ㌳䁩ʹ്ܽ
䁩ሻ有一根为ݔ㌳ʹ䁩ʹͷ，
∴ݔെͳ ㌳ʹ䁩ʹͷ
∴ݔ㌳ʹ䁩ʹ香．
∴一元二次方程ܽ
ݔെͳ ʹ ܾݔʹ ㌳ܾ
必有一根为ݔ㌳ʹ䁩ʹ香．
故选：C．
4．若一元二次方程有一个根是ݔ㌳䁩，则这个方程可以是（
）
A．ݔͳ
ݔʹ ㌳䁩
B．ݔʹ െʹݔͳ ㌳䁩
C．ݔʹ െͳ ㌳䁩
D．ݔʹ ݔ㌳䁩
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．
根据一元二次方程的解的定义判断即可．
【详解】解：A、把ݔ㌳䁩代入，可得ݔͳ
ݔʹ ㌳ͳ ൈʹ ㌳ʹ്
䁩，所以ݔ㌳䁩不是方程ʹݔͳሻʹݔʹሻ㌳䁩
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的根，不符合题意；
B、把ݔ㌳䁩代入，可得ݔʹ െʹݔͳ ㌳䁩െ䁩ͳ ㌳ͳ്
䁩，所以ݔ㌳䁩不是方程ݔʹ െʹݔͳ ㌳䁩的根，不符
合题意；
C、把ݔ㌳䁩代入，可得ݔʹ െͳ ㌳䁩െͳ ㌳െͳ്
䁩，所以ݔ㌳䁩不是方程ݔʹ െͳ ㌳䁩的根，不符合题意；
D、把ݔ㌳䁩代入，可得ݔʹ ݔ㌳䁩䁩㌳䁩，所以ݔ㌳䁩是方程ݔʹ ݔ㌳䁩的根，符合题意；
故选：D．
5．在一元二次方程ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
㌳䁩്ܽ
䁩中，实数a，b，c 满足Ͷܽെʹܾܿ
㌳䁩，则此方程必有一根为
________．
【答案】െʹ
【分析】将ݔ㌳െʹ 代入方程求解判断即可．
【详解】解：将ݔ㌳െʹ 代入ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
㌳䁩得，Ͷܽെʹܾܿ
㌳䁩，
此方程必有一根为െʹ．
重难点二利用一元二次方程的根求代数式的值
1.将一元二次方程的一根代入方程得到参数的方程；
2.解方程或整体代入即可求解。
1．若ݔ㌳െͳ 是方程ݔʹ ʹ ㌳ܽ
的解，则ܽ
的值是（
）
A．െͳ
B．3
C．െ͵
D．1
【答案】B
【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出ܽ
的值．
【详解】解：∵ݔ㌳െͳ 是方程ݔʹ ʹ ㌳ܽ
的解，
将ݔ㌳െͳ 代入原方程得ʹ െͳሻʹ ʹ ㌳ܽ
计算得ܽ
㌳ͳ ʹ ㌳͵．
2．已知ݔ㌳ʹ 是关于ݔ的一元二次方程ݔʹ 香ݔെ香㌳䁩的一个根，则香的值为（
）
A．െͳ
B．െʹ
C．ͳ
D．ʹ
【答案】C
【分析】将已知根代入原方程，得到关于香的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵ݔ㌳ʹ 是一元二次方程ݔʹ 香ݔെ香㌳䁩的一个根，
∴ʹʹ ʹ香െ香㌳䁩，
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解得香㌳ͳ．
3．已知ݔ㌳ͳ 是ݔʹ െ͵ݔ根㌳䁩的一个根，则m 的值为（
）
A．2
B．െʹ
C．3
D．െ͵
【答案】A
【分析】将ݔ㌳ͳ 代入方程ݔʹ െ͵ݔ根㌳䁩得到关于m 的方程求解即可．
【详解】解：∵ݔ㌳ͳ 是ݔʹ െ͵ݔ根㌳䁩的一个根，
∴ͳʹ െ͵ ൈͳ 根㌳䁩，解得：根㌳ʹ．
4．关于x 的一元二次方程ݔʹ െݐݔݐ㌳͵ 的一个解为ݔ㌳䁩，则实数t 的值是（
）
A．6
B．4
C．3
D．0
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的定义，方程的解满足方程等式，将已知解代入原方程即可求出参数ݐ的值.
【详解】解：∵ݔ㌳䁩是一元二次方程ݔʹ െݐݔݐ㌳͵ 的一个解，
∴将ݔ㌳䁩代入原方程，得䁩ʹ െݐ䁩ݐ㌳͵，
∴ݐ㌳͵.
5．已知ܽ
是方程ݔʹ െʹݔെͷ ㌳䁩的一个根，则代数式െ
ͳ
ʹܽ
ʹ ܽ
的值为___________．
【答案】
െͷ
ʹ
【详解】解：∵ܽ
是方程ݔʹ െʹݔെͷ ㌳䁩的一个根，
∴ܽʹ െʹܽെͷ ㌳䁩，则ܽ
ʹ െʹܽ
㌳ͷ，
∴等式两边同时乘以െ
ͳ
ʹ得，െ
ͳ
ʹܽ
ʹ ܽ
㌳െ
ͷ
ʹ．
6．若ݔ㌳ܽ
是方程ݔʹ െʹݔെ͵ ㌳䁩的一个根，则ʹܽʹ െͶܽ⸸的值为__________．
【答案】13
【分析】根据方程的根的定义，将ݔ㌳ܽ
代入原方程可得ܽʹ െʹܽ
的值，再将所求代数式变形后，整体代入
计算即可得到结果．
【详解】解：∵ݔ㌳ܽ
是方程ݔʹ െʹݔെ͵ ㌳䁩的一个根，
ܽ
ʹ െʹܽെ͵ ㌳䁩，
∴ܽʹ െʹܽ
㌳͵，
∴ʹܽʹ െͶܽ⸸㌳ʹܽ
ʹ െʹܽ
⸸㌳ʹ ൈ͵ ⸸㌳ͳ͵．
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7．已知ܽ
是方程ݔʹ െݔെͷ ㌳䁩的一个实数根，则代数式ܽܽ
െ
ͳܽെͳ 的值为__．
【答案】4
【分析】先把ܽ
代入方程，再化简，最后整体代入求解．
【详解】解：∵ܽ
是方程ݔʹ െݔെͷ ㌳䁩的一个实数根，
∴ܽʹ െܽ
െͷ ㌳䁩，
ܽ
ʹ െܽ
㌳ͷ，ܽܽ
െͳܽെͳ
㌳ܽ
ʹ െܽ
െͳ
㌳ͷ െͳ
㌳Ͷ．
重难点三判断一元二次方程根的情况
1.先保证二次项系数不为0；
2.计算判别式Δ ㌳bʹ െͶac；若Δ > 䁩，则有两不等实根；若Δ ㌳0，则有两相等实根，若Δ < 䁩则无实根；
3.有实根需满足Δ ≥䁩.
1．下列方程中有实数根的是（
）
A．ݔʹ ʹݔ͵ ㌳䁩
B．ݔʹ െݔͳ ㌳䁩
C．͵ݔʹ ͳ ㌳䁩
D．ݔʹ ʹݔ㌳ͺ
【答案】D
【分析】对于一元二次方程ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
㌳䁩്ܽ
䁩，当判别式Δ ㌳ܾ
ʹ െͶܽܿ
≥䁩时，方程有实数根，将各
选项方程整理为一般形式后计算判别式即可判断．
【详解】解：A 选项：方程ݔʹ ʹݔ͵ ㌳䁩，∵Δ ㌳ʹʹ െͶ ൈͳ ൈ͵ ㌳െͺ < 䁩，方程无实数根；
B 选项：方程ݔʹ െݔͳ ㌳䁩，∵Δ ㌳ʹ െͳሻʹ െͶ ൈͳ ൈͳ ㌳െ͵ < 䁩，方程无实数根；
C 选项：方程͵ݔʹ ͳ ㌳䁩，∵Δ ㌳䁩ʹ െͶ ൈ͵ ൈͳ ㌳െͳʹ < 䁩，方程无实数根；
D 选项：整理方程得ݔʹ ʹݔെͺ ㌳䁩，∵Δ ㌳ʹʹ െͶ ൈͳ ൈെͺ ㌳͵香> 䁩，方程有实数根．
2．一元二次方程ݔʹ െͶݔʹ ㌳䁩的根的情况是（
）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个不相等实数根
D．无法判断
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【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ与0 的大小关系判断根的情况，规则为Δ > 䁩时方程有两个不相等
的实数根，Δ ㌳䁩时方程有两个相等的实数根，Δ < 䁩时方程无实数根．
【详解】解：对于一元二次方程ݔʹ െͶݔʹ ㌳䁩，二次项系数ܽ
㌳ͳ，一次项系数ܾ
㌳െͶ，常数项ܿ
㌳ʹ，
∵Δ ㌳ܾ
ʹ െͶܽܿ
㌳ʹ െͶሻʹ െͶ ൈͳ ൈʹ ㌳ͳ香െͺ ㌳ͺ > 䁩，
方程ݔʹ െͶݔʹ ㌳䁩有两个不相等的实数根．
3．定义：根כ݊
㌳根ʹ 根݊
ͳ，例如：ʹ כ ͳ ㌳ʹʹ ʹ ൈͳ ͳ ㌳7，则关于x 的方程ݔכ ʹ ㌳䁩的根的情况
是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况．
【详解】解：根据新定义可知ݔכ ʹ ㌳ݔʹ ݔڄ ʹ ͳ ㌳ݔʹ ʹݔͳ，
∴方程ݔכ ʹ ㌳䁩整理为ݔʹ ʹݔͳ ㌳䁩，
∴Δ ㌳ʹʹ െͶ ൈͳ ൈͳ ㌳Ͷ െͶ ㌳䁩，
∴方程有两个相等的实数根．
4．若关于ݔ的方程根ʹ ݔʹ െʹ根ݔ根ͳ ㌳䁩有实数根，则根的取值范围是（
）
A．根െ
ʹ
͵
B．根>െ
ʹ
͵
C．根െ
ʹ
͵且根്
െʹ
D．根>െ
ʹ
͵且根്
െʹ
【答案】A
【分析】分类讨论：①当方程是关于ݔ的一元一次方程时，②当方程是关于ݔ的一元二次方程时，逐个分
析求解即可．
【详解】解：①当方程是关于ݔ的一元一次方程时，
根ʹ ㌳䁩，
解得根㌳െʹ，
∴原方程为Ͷݔെͳ ㌳䁩，ݔ㌳
ͳ
Ͷ，符合题意；
②当方程是关于ݔ的一元二次方程时，
Δ ㌳ʹ െʹ根ሻʹ െͶʹ根ʹሻ根ͳ ≥䁩且根ʹ്
䁩，
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解得根െ
ʹ
͵且根്
െʹ．
综上所述，根的取值范围是根െ
ʹ
͵．
5．一元二次方程ݔʹ ͵ݔʹ ㌳䁩________实数根（填“有”或“没有”）．
【答案】有
【分析】本题考查了根的判别式，掌握根据根的判别式的情况确定根的情况的方法是解题的关键．
根据根的判别式的值得到Δ > 䁩，然后根据根的判别式与根的情况的关系进行判断即可．
【详解】解：∵ݔʹ ͵ݔʹ ㌳䁩，
∴ܽ
㌳ͳͳܾ㌳͵ͳܿ㌳ʹ，
∴Δ ㌳ܾ
ʹ െͶܽܿ
㌳͵ʹ െͶ ൈʹ ൈͳ ㌳ͳ > 䁩，
∴该二次方程有实数根．
故答案为：有．
6．若关于ݔ的方程ݔെͳ ʹ ㌳香没有实数根，则香的取值范围为________．
【答案】香< 䁩
【详解】解：ݔെͳ ʹ ㌳香，
ݔʹ െʹݔͳ െ香㌳䁩，
∵关于ݔ的方程ݔെͳ ʹ ㌳香没有实数根，
∴Δ ㌳െʹ ʹ െͶ ͳ െ香< 䁩，
解得，香< 䁩．
7．直线ݕ㌳െʹݔܽ
不经过第一象限，则关于ݔ的方程ܽ
ݔʹ െ͵ݔʹ ㌳䁩的实数解的个数为___________．
【答案】ͳ 或ʹ
【分析】先根据一次函数的图象性质确定ܽ
的取值范围，再分ܽ
㌳䁩和ܽ
< 䁩两种情况，分别判断方程的
类型，进而确定方程实数解的个数．
【详解】解：∵直线ݕ㌳െʹݔܽ
的比例系数香㌳െʹ < 䁩，且直线不经过第一象限，
ܽ
䁩
分两种情况讨论方程ܽ
ݔʹ െ͵ݔʹ ㌳䁩的解的情况，
（1）当ܽ
㌳䁩时，方程化为െ͵ݔʹ ㌳䁩，为一元一次方程，有ͳ 个实数解；
（2）当ܽ
< 䁩时，方程为一元二次方程，
计算根的判别式Δ ㌳ʹ െ͵ሻʹ െͶܽʹ ㌳ͻ െͺܽ，
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∵ܽ
< 䁩，
െͺܽ
> 䁩，
可得Δ ㌳ͻ െͺܽ
> 䁩，
此时一元二次方程有ʹ 个不相等的实数解．
综上，方程的实数解的个数为ͳ 或ʹ．
8．用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）：
(1)െݔʹ െ͵ݔͳ ㌳䁩．
(2)ʹݔʹ െ
⸸
ʹ ݔ
ͳ
Ͷ ㌳䁩．
(3)Ͷݔʹ ͷ ㌳Ͷ ͷݔ．
(4)െ͵ݔʹ
͵ݔ㌳ʹ．
【答案】(1)有两个不相等的实数根
(2)有两个不相等的实数根
(3)有两个相等的实数根
(4)没有实数根
【分析】（1）（2）先求出ܾʹ െͶܽܿ
的值，再根据根的判别式得出答案即可；
（3）（4）整理后求出ܾʹ െͶܽܿ
的值，再根据根的判别式得出答案即可．
【详解】（1）解：∵ܽ
㌳െͳ，ܾ
㌳െ͵，ܿ㌳ͳ，
Δ ㌳ʹ െ͵ሻʹ െͶ ൈെͳ ൈͳ ㌳ͳ͵ > 䁩，
∴方程െݔʹ െ͵ݔͳ ㌳䁩有两个不相等的实数根．
（2）∵ܽ
㌳ʹ，ܾ
㌳െ
⸸
ʹ，ܿ㌳
ͳ
Ͷ，
Δ ㌳െ
⸸
ʹ
ʹ
െͶ ൈʹ ൈ
ͳ
Ͷ ㌳
Ͷͳ
Ͷ > 䁩，
∴方程ʹݔʹ െ
⸸
ʹ ݔ
ͳ
Ͷ ㌳䁩有两个不相等的实数根．
（3）解：方程可变形为Ͷݔʹ െͶ ͷݔͷ ㌳䁩，
ܽ
㌳Ͷ，ܾ
㌳െͶ ͷ，ܿ㌳ͷ，
Δ ㌳ʹ െͶ ͷሻʹ െͶ ൈͶ ൈͷ ㌳䁩，
∴方程Ͷݔʹ ͷ ㌳Ͷ ͷݔ有两个相等的实数根．
（4）解：方程可变形为͵ݔʹ െ
͵ݔʹ ㌳䁩，
ܽ
㌳͵，ܾ
㌳െ
͵，ܿ㌳ʹ，
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Δ ㌳ʹ െ
͵ሻʹ െͶ ൈ͵ ൈʹ ㌳െʹͳ < 䁩，
∴方程െ͵ݔʹ
͵ݔ㌳ʹ 没有实数根．
9．已知关于ݔ的方程ݔʹ െ香െ͵ ݔ香െͶ ㌳䁩．
(1)求证：无论香为何实数，此方程总有实数根．
(2)若两根异号且负根的绝对值大，求香的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)k 的取值范围为香< ͵
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ ㌳香െͷ ʹ ≥䁩，由此可证出：无论香为何实数，
方程总有实数根；
（2）根据根与系数的关系列出关于香的不等式组，解不等式组可得出答案．
【详解】（1）解：方程ݔʹ െ香െ͵ ݔ香െͶ ㌳䁩中，ܽ
㌳ͳ，ܾ
㌳െ香െ͵ ，ܿ㌳香െͶ，
Δ ㌳ܾ
ʹ െͶܽܿ
㌳െ香െ͵
ʹ െͶ ൈͳ ൈ香െͶ ，
整理可得：Δ ㌳香ʹ െͳ䁩香ʹͷ ㌳香െͷ ʹ ≥䁩，
无论香为何实数，方程有实数根；
（2）解：∵方程两根异号且负根的绝对值大，
ݔͳݔʹ ㌳香െͶ < 䁩ͳݔͳ ݔʹ ㌳香െ͵ < 䁩，
Δ > 䁩
香െͶ < 䁩
香െ͵ < 䁩
，
解得：香< ͵，
香的取值范围为香< ͵．
重难点四已知一元二次方程的两根求代数式的值
1.先由韦达定理解出两根和、积；
2.把目标代数式通分、拆分，转化为两根和与积的组合式代入计算.
1．已知方程ݔʹ ʹ䁩ʹ香ݔെ⸸㌳䁩的两根分别是根和݊
，则代数式根ʹ ݊
ʹ䁩ʹ⸸根的值为（
）
A．0
B．െʹ䁩ͳͻ
C．െʹ䁩ʹ香
D．െʹ䁩ʹ⸸
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得
到结果．
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【详解】解：∵根是方程ݔʹ ʹ䁩ʹ香ݔെ⸸㌳䁩的根，
∴根ʹ ʹ䁩ʹ香根െ⸸㌳䁩，
即根ʹ ʹ䁩ʹ香根㌳⸸，
∵根ͳ݊
是方程ݔʹ ʹ䁩ʹ香ݔെ⸸㌳䁩的两根，
∴根݊
㌳െ
ʹ䁩ʹ香
ͳ
㌳െʹ䁩ʹ香，
∴根ʹ ݊
ʹ䁩ʹ⸸根
㌳根ʹ ʹ䁩ʹ香根根݊
㌳⸸െʹ䁩ʹ香
㌳െʹ䁩ͳͻ．
2．若ݔͳ，ݔʹ是方程ݔʹ ͵ݔെʹ ㌳䁩的两个实数根，则ݔͳ
ʹݔʹ ݔͳݔʹ
ʹ的值为（
）
A．െͻ
B．െ͵
C．香
D．െ香
【答案】C
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算
即可．
【详解】解：∵ݔͳ，ݔʹ是方程ݔʹ ͵ݔെʹ ㌳䁩的两个实数根，
∴ݔͳݔʹ ㌳െʹ，ݔͳ ݔʹ ㌳െ͵，
∴ݔͳʹݔʹ ݔͳݔʹʹ ㌳ݔͳݔʹ ݔͳ ݔʹ ㌳െʹ ൈെ͵ ㌳香．
15．已知ݔͳ、ݔʹ是一元二次方程͵ݔʹ ʹݔെ香㌳䁩的两根，则ݔͳ ͳ
ݔʹ ͳ 的值是（
）
A．െ
Ͷ
͵
B．
ͺ
͵
C．െ
ͷ
͵
D．
Ͷ
͵
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得ݔͳ ݔʹ ㌳െ
ʹ
͵，ݔͳݔʹ ㌳െʹ，将所求代数式展开后整体代
入计算即可．
【详解】解：∵ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程͵ݔʹ ʹݔെ香㌳䁩的两根，ܽ
㌳͵，ܾ
㌳ʹ，ܿ㌳െ香，
ݔͳ ݔʹ ㌳െܾܽ
㌳െ
ʹ
͵，ݔͳݔʹ ㌳ܿܽ
㌳
െ香
͵ ㌳െʹ，
ݔͳ ͳ
ݔʹ ͳ ㌳ݔͳݔʹ ݔͳ ݔʹ ͳ ㌳ݔͳݔʹ ݔͳ ݔʹ ͳ ㌳െʹ െ
ʹ
͵ ͳ ㌳െ
ͷ
͵．
3．已知ߙ，ߚ是一元二次方程ݔʹ െʹ䁩ʹͷݔെͳ ㌳䁩的两个实数根，则ߙߚെߙߚ㌳（）
A．ʹ䁩ʹ͵
B．ʹ䁩ʹͶ
C．ʹ䁩ʹͷ
D．ʹ䁩ʹ香
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【答案】D
【分析】若ݔͳͳݔʹ是一元二次方程ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
㌳䁩്ܽ
䁩的两根，则ݔͳ ݔʹ ㌳െܾܽ，ݔͳݔʹ ㌳ܿܽ，求出ߙߚ和
ߙߚ的值后整体代入计算即可．
【详解】解：∵ߙ，ߚ是一元二次方程ݔʹ െʹ䁩ʹͷݔെͳ ㌳䁩的两个实数根，
ߙߚ㌳ʹ䁩ʹͷ，ߙߚ㌳െͳ，
ߙߚെߙߚ㌳ʹ䁩ʹͷ െെͳ ㌳ʹ䁩ʹ香．
4．已知ߙ，ߚ是方程ݔʹ ʹ䁩ʹͷݔͳ ㌳䁩的两个实数根，则代数式ߙʹ ʹ䁩ʹ香ߙʹ
ߚʹ ʹ䁩ʹ香ߚʹ 的值为
（
）
A．െʹ䁩ʹͷ
B．െʹ䁩ʹ͵
C．1
D．2025
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的定义化简所求代数式，再结合根与系数的关系代入求值，掌握一元二次方
程根的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ߙ，ߚ是方程ݔʹ ʹ䁩ʹͷݔͳ ㌳䁩的两个实数根
∴由根的定义得ߙʹ ʹ䁩ʹͷߙͳ ㌳䁩，ߚʹ ʹ䁩ʹͷߚͳ ㌳䁩
由根与系数的关系得ߙߚ㌳െʹ䁩ʹͷ，ߙߚ㌳ͳ
对所求式子变形
ߙʹ ʹ䁩ʹ香ߙʹ ㌳ߙʹ ʹ䁩ʹͷߙͳ ߙͳ ㌳ߙͳ
同理可得ߚʹ ʹ䁩ʹ香ߚʹ ㌳ߚͳ
∴原式㌳ʹߙͳሻʹߚͳሻ㌳ߙߚߙߚͳ
代入得原式㌳ͳ െʹ䁩ʹͷ ͳ ㌳െʹ䁩ʹ͵．
5．已知实数根、݊
分别满足根ʹ െʹ根െͳ ㌳䁩，݊
ʹ െʹ݊
െͳ ㌳䁩，则݊根
根݊的值为（
）
A．െ香
B．2
C．െ香或2
D．6 或2
【答案】C
【分析】分两种情况：当根്݊
时，实数根、݊
是方程ݔʹ െʹݔെͳ ㌳䁩的两个解，由一元二次方程根与系
数的关系可得根݊
㌳ʹ，根݊
㌳െͳ；当根㌳݊
时，分别计算即可得出结果．
【详解】解：当根്݊
时，
∵实数根、݊
分别满足根ʹ െʹ根െͳ ㌳䁩，݊
ʹ െʹ݊
െͳ ㌳䁩，
∴实数根、݊
是方程ݔʹ െʹݔെͳ ㌳䁩的两个解，
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∴根݊
㌳െ
െʹ
ͳ ㌳ʹ，根݊
㌳
െͳ
ͳ ㌳െͳ，
∴݊根
根݊
㌳݊
ʹ 根ʹ
根݊
㌳根݊
ʹ െʹ根݊
根݊
㌳ʹʹ െʹ ൈെͳ
െͳ
㌳െ香；
当根㌳݊
时，݊根
根݊㌳ͳ ͳ ㌳ʹ；
综上所述，݊根
根݊的值为െ香或2．
6．已知一元二次方程
ͳ
͵ ݔʹ െݔ㌳Ͷ 的两个实数根分别为ߙ，ߚ，则
ʹ
ߙ
ʹ
ߚ的值为（
）
A．
ͳ
ʹ
B．െ
ͳ
ʹ
C．
ͳ
Ͷ
D．െ
ͳ
Ͷ
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式化简求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程
的根与系数的关系．
将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再代入所求表达式计算即可．
【详解】解：∵方程
ͳ
͵ ݔʹ െݔ㌳Ͷ，
∴两边乘以͵，得ݔʹ െ͵ݔ㌳ͳʹ，
即ݔʹ െ͵ݔെͳʹ ㌳䁩．
∵ߙ、ߚ分别为方程的两个实数根，
∴ߙߚ㌳െ
െ͵
ͳ ㌳͵，ߙߚ㌳
െͳʹ
ͳ ㌳െͳʹ．
∴
ʹ
ߙ
ʹ
ߚ㌳
ʹߙʹߚ
ߙߚ
㌳
ʹ ߙߚ
ߙߚ
㌳
ʹൈ͵
െͳʹ ㌳െ
ͳ
ʹ．
故选：B．
7．已知关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ͵香ݔͶ ㌳䁩的两个根为ݔͳ，ݔʹ，且满足ݔͳ ݔʹ ㌳ݔͳ ڄ ݔʹ，则香的值为
（
）
A．
Ͷ
͵
B．െ
Ͷ
͵
C．
͵
Ͷ
D．െ
͵
Ͷ
【答案】A
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【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合题目给出的等量关系求解香，再
验证方程存在两个实根即可得到结果．
【详解】解：∵一元二次方程ݔʹ െ͵香ݔͶ ㌳䁩中，ܽ
㌳ͳ，ܾ
㌳െ͵香，ܿ㌳Ͷ，方程有两个根ݔͳ，ݔʹ，
∴ݔͳ ݔʹ ㌳͵香，ݔͳݔʹ ㌳Ͷ，
又∵ݔͳ ݔʹ ㌳ݔͳݔʹ，
∴͵香㌳Ͷ，解得：香㌳
Ͷ
͵，
验证判别式：Δ ㌳െ͵香ʹ െͶ ൈͳ ൈͶ ㌳䁩，符合要求，
故香的值为
Ͷ
͵．
8．已知方程ݔʹ Ͷݔെͷ ㌳䁩的两根分别为a 和b，则ܽ
ͳܾ
ͳ 的值是________．
【答案】െͺ
【分析】若ݔͳ，ݔʹ为方程ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
㌳䁩ʹ്ܽ
䁩ሻ的两个根，则有ݔͳ ݔʹ ㌳െܾܽ，ݔͳݔʹ ㌳ܿܽ，先根据根与系
数的关系得到ܽ
ܾ
与ܾܽ
的值，再展开所求代数式，代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵方程ݔʹ Ͷݔെͷ ㌳䁩的两根分别为ܽ
和ܾ
，
由根与系数的关系可得ܽ
ܾ
㌳െͶ，ܾܽ
㌳െͷ，
ܽ
ͳܾ
ͳ ㌳ܾܽ
ܽ
ܾ
ͳ ㌳െͷ െͶ ͳ ㌳െͺ．
9．已知关于ݔ的一元二次方程ݔʹ ʹܽݔ㌳ʹܽ
െͳ 有两个实数根ݔͳ，ݔʹ，且满足ݔͳ ݔʹ ㌳ͺ，则ݔͳ
ʹ െͷݔͳݔʹ
ͺݔʹ的值为______．
【答案】4
【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数
的关系求出ܽ
的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果．
【详解】解：将原方程ݔʹ ʹܽݔ㌳ʹܽ
െͳ 整理为一般形式得ݔʹ ʹܽݔെʹܽʹ ㌳䁩，
∵方程的两个实数根为ݔͳ，ݔʹ，
根据根与系数的关系可得ݔͳ ݔʹ ㌳െʹܽ，ݔͳݔʹ ㌳െʹܽʹ，
已知ݔͳ ݔʹ ㌳ͺ，
∴െʹܽ
㌳ͺ，
解得ܽ
㌳െͶ，
∴ݔͳݔʹ ㌳െʹ ൈെͶ ʹ ㌳ͳ䁩，
∵ݔͳ是方程的根，将ݔͳ代入原方程得ݔͳ
ʹ ʹܽݔͳ ㌳ʹܽ
െͳ ，
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整理得ݔͳ
ʹ ㌳െʹܽݔͳ ʹܽ
െʹ，
将ܽ
㌳െͶ 代入得ݔͳ
ʹ ㌳ͺݔͳ െͳ䁩，
将ݔͳ
ʹ ㌳ͺݔͳ െͳ䁩，ݔͳݔʹ ㌳ͳ䁩，ݔͳ ݔʹ ㌳ͺ 代入所求代数式得
ݔͳ
ʹ െͷݔͳݔʹ ͺݔʹ，
㌳ͺݔͳ െͳ䁩െͷ ൈͳ䁩ͺݔʹ
㌳ͺ ൈݔͳ ݔʹ െͳ䁩െͷ ൈͳ䁩
㌳ͺ ൈͺ െͳ䁩െͷ ൈͳ䁩
㌳Ͷ．
重难点五已知一元二次方程的一根求另一根
1.优先用韦达定理两根和，直接减法算另一根；
2.复杂题可代入已知根求参数，再解方程求剩余根。
1．已知ݔ㌳ͳ 是关于x 的一元二次方程͵ݔʹ െ⸸根ݔെʹ ㌳䁩的一个根，则方程的另一个根为（
）
A．2
B．
͵
ʹ
C．1
D．െ
ʹ
͵
【答案】D
【详解】解：设方程的另一个根为ݔʹ，
∵ݔ㌳ͳ 是关于x 的一元二次方程͵ݔʹ െ⸸根ݔെʹ ㌳䁩的一个根，
∴ͳ ൈݔʹ ㌳
െʹ
͵ ，
解得：ݔʹ ㌳െ
ʹ
͵．
2．已知ݔ㌳ʹ 是关于x 的方程ݔʹ െ͵ݔ根㌳䁩的一个根，则方程的另一个根为（
）
A．െͷ
B．1
C．2
D．െͳ
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得ݔͳ ݔʹ ㌳െܾܽ，由此即可求解．
【详解】解：∵ݔ㌳ʹ 是关于ݔ的方程ݔʹ െ͵ݔ根㌳䁩的一个根，
∴设另一个根为ݔʹ，
∴ʹ ݔʹ ㌳െ
െ͵
ͳ ㌳͵，
∴ݔʹ ㌳ͳ．
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3．已知方程ݔʹ െ͵ݔ香㌳䁩的一个根是另一个根的2 倍，则香的值是（
）
A．1
B．െͳ
C．2
D．െʹ
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；设方程的两个根为r 和ʹݎ，利用根与系数的关系求和与
积，解出r 后求k.
【详解】解：设方程ݔʹ െ͵ݔ香㌳䁩的两个根为r 和ʹݎ，
∴两根之和ݎʹݎ㌳െ
െ͵
ͳ ㌳͵，
∴͵ݎ㌳͵，
∴ݎ㌳ͳ，
∴另一个根为ʹ ൈͳ ㌳ʹ，
∵两根之积ݎൈʹݎ㌳ʹݎʹ ㌳
香
ͳ ㌳香，
∴香㌳ʹ ൈͳʹ ㌳ʹ.
故选：C.
4．若ݔ㌳ͳ 是一元二次方程ݔʹ െݔെ͵根ʹ 根㌳䁩的一个根，则方程的另一根为____________．
【答案】ݔ㌳䁩
【分析】设方程的另一个根为ݔ㌳ܽ
，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：设方程的另一个根为ݔ㌳ܽ
，
由于ݔ㌳ͳ 是一元二次方程ݔʹ െݔെ͵根ʹ 根㌳䁩的根，
则根据根与系数的关系得：ͳ ܽ
㌳െ
െͳ
ͳ ㌳ͳ
解得：ܽ
㌳䁩，
即方程的另一个根为ݔ㌳䁩．
重难点六利用一元二次方程的两根关系求解
1.先限定a ≠䁩、Δ ≥䁩锁定参数范围；
2.根据一元二次方程的两根关系互为相反数、倒数、之积为多少、平方和等列出关于参数的等式；
3.结合题干根的数量关系列方程求参，最后回代Δ剔除无效解.
1．若关于ݔ的方程ݔʹ 根ʹ െ͵ ݔ根ͳ ㌳䁩的两根互为相反数，则根的值是（
）
A．േ
͵
B．͵
C．െ
͵
D．െͳ
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【答案】C
【分析】先求出根的可能取值，再根据方程有两个实根要求判别式非负，筛选出符合条件的根的值即可．
【详解】解：设方程两根为ݔͳ，ݔʹ，
∵方程两根互为相反数，
∴ݔͳ ݔʹ ㌳䁩，
对于一元二次方程ݔʹ 根ʹ െ͵ ݔ根ͳ ㌳䁩，由根与系数的关系得：ݔͳ ݔʹ ㌳െ根ʹ െ͵ ，
∴െ根ʹ െ͵ ㌳䁩，
解得：根ʹ ㌳͵，即根㌳േ
͵，
∵要使方程有两个实根，
∴判别式Δ ≥䁩，即Δ ㌳根ʹ െ͵ ʹ െͶ ൈͳ ൈ根ͳ ，
代入根ʹ ㌳͵ 得：Δ ㌳䁩െͶ 根ͳ ㌳െͶ 根ͳ ≥䁩，
∴根ͳ 䁩，即根െͳ，
∵͵ > 䁩，െ
͵ <െͳ，
∴根㌳െ
͵．
2．若关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െܽ
ݔെʹܽ
㌳䁩的两根之积为Ͷܽെ͵，则a 的值为（
）
A．
ͳ
ʹ
B．
͵
ʹ
C．2
D．1
【答案】A
【详解】解：由题意得െʹܽ
㌳Ͷܽ
െ͵，
解得ܽ
㌳
ͳ
ʹ．
3．关于x 的一元二次方程
香െͳ ݔʹ െͺݔͶ ㌳䁩有两个正实数根，则k 的取值范围为（
）
A．香ͷ 且香്
ͳ B．ͳ < 香< ͷ
C．ͳ 香ͷ
D．ͳ < 香ͷ
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，根据方程有两个正实数根，
需满足二次项系数非零、判别式非负、根的和与积均为正，进行解答即可．
【详解】解：∵方程有两个正实数根，
∴香െͳ്
䁩，即香്
ͳ，
Δ ㌳െͺ ʹ െͶ 香െͳ ൈͶ ㌳香Ͷ െͳ香香െͳ ≥䁩，
解得：香ͷ，
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两根之和ݔͳ ݔʹ ㌳െ
െͺ
香െͳ ㌳
ͺ
香െͳ > 䁩，两根之积ݔͳݔʹ ㌳
Ͷ
香െͳ > 䁩，
∵分子均为正，
∴香െͳ > 䁩，即香> ͳ，
综上，ͳ < 香ͷ，
故选：D．
4．关于ݔ的方程ݔʹ െܽ
ݔʹܽ
㌳䁩的两个根的平方和是ͳʹ，则ܽ
的值是（
）
A．െʹ 或6
B．2
C．6
D．െʹ
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．设方程
的两根为ݔͳ，ݔʹ，根据根与系数的关系得ݔͳ ݔʹ ㌳ܽ
，ݔͳ ڄ ݔʹ ㌳ʹܽ，利用ݔͳʹ ݔʹʹ ㌳ݔͳ ݔʹ ʹ െʹݔͳݔʹ ㌳ͳʹ
得到关于ܽ
的方程，解方程后验证判别式是否非负．
【详解】解：∵ݔͳ ݔʹ ㌳ܽ
，ݔͳ ڄ ݔʹ ㌳ʹܽ，且ݔͳʹ ݔʹʹ ㌳ͳʹ，
∴ݔͳʹ ݔʹʹ ㌳ݔͳ ݔʹ ʹ െʹݔͳݔʹ ㌳ͳʹ，
即ܽ
ʹ െͶܽ
㌳ͳʹ，
∴ܽ
ʹ െͶܽെͳʹ ㌳䁩，
解得ܽ
㌳香或ܽ
㌳െʹ．
又∵方程有实数根，
∴Δ ㌳െܽ
ʹ െͶ ൈͳ ൈʹܽ
㌳ܽ
ʹ െͺܽ
≥䁩．
当ܽ
㌳香时，Δ ㌳͵香െͶͺ ㌳െͳʹ < 䁩，舍去；
当ܽ
㌳െʹ 时，Δ ㌳Ͷ ͳ香㌳ʹ䁩> 䁩，
∴ܽ
㌳െʹ．
故选：D．
5．已知方程ݔʹ െ香ݔെ香㌳䁩的两个根都是整数，则香的值有（
）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
利用根与系数的关系，列出所有整数根对，计算对应的k 值．
【详解】解：∵方程ݔʹ െ香ݔെ香㌳䁩的两个根都是整数，且积为െ香，设两个根分别为，ݍ
∴所有可能的整数根的组合ͳݍ为：ͳͳ െ香ͳ െͳͳ香ͳ ʹͳ െ͵ ͳ െʹͳ͵ ͳ ͵ͳ െʹ ͳ െ͵ͳʹ ͳ 香ͳ െͳ ͳ െ香ͳͳ ．
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又∵根的和ݍ㌳香，
∴计算各对的和：
ͳͳ െ香ǣ香㌳ͳ െ香㌳െͷ
െͳͳ香ǣ香㌳െͳ 香㌳ͷ
ʹͳ െ͵ ǣ香㌳ʹ െ͵ ㌳െͳ
െʹͳ͵ ǣ香㌳െʹ ͵ ㌳ͳ
其余对的和与上述重复，
∴不同的香值为െͷͳͷͳ െͳͳͳ，共4 个．
故选：D．
6．已知方程ܽ
ݔʹ ܾݔͳ ㌳䁩（a，b 为常数，്ܽ
䁩）的两根之和等于两根之积，则b 的值为________．
【答案】െͳ
【分析】根据题意得到方程两根之和与两根之积的表达式，再结合题干给出的等量关系列等式求解ܾ
即可．
【详解】解：∵ܽݔʹ ܾݔͳ ㌳䁩ʹ്ܽ
䁩ሻ，
∴两根之和为െܾܽ，两根之积为
ͳܽ，
根据题意，两根之和等于两根之积，可得：െܾܽ
㌳
ͳܽ，
∵്ܽ
䁩，等式两边同乘ܽ
得：െܾ
㌳ͳ ，
∴ܾ
㌳െͳ．
重难点七根与系数的关系与完全平方公式综合求解
1.牢记变形公式xͳ
ʹ xʹ
ʹ ㌳ʹxͳ xʹሻʹ െʹxͳxʹ、ʹxͳ െxʹሻʹ ㌳ʹxͳ xʹሻʹ െͶxͳxʹ；
2.所有平方类、差值类式子统一凑完全平方后代入和、积计算.
1．已知ݔͳͳݔʹ是一元二次方程ݔʹ െͷݔ͵ ㌳䁩的两个实数根，则代数式ݔͳ
ʹ ݔʹ
ʹ െݔͳݔʹ的值为（
）
A．ͺ
B．ͳ香
C．ʹͶ
D．ʹͺ
【答案】B
【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可．
【详解】解：∵ݔͳͳݔʹ是一元二次方程ݔʹ െͷݔ͵ ㌳䁩的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得ݔͳ ݔʹ ㌳ͷ，ݔͳݔʹ ㌳͵，
∴ݔͳ
ʹ ݔʹ
ʹ െݔͳݔʹ ㌳ݔͳ ݔʹ ʹ െʹݔͳݔʹ െݔͳݔʹ ㌳ݔͳ ݔʹ ʹ െ͵ݔͳݔʹ，
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将ݔͳ ݔʹ ㌳ͷ，ݔͳݔʹ ㌳͵ 代入上式，原式㌳ͷʹ െ͵ ൈ͵ ㌳ʹͷ െͻ ㌳ͳ香，
故选B．
2．已知ݔͳ，ݔʹ是关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ根͵ ݔʹ根ͳ ㌳䁩的两个实数根，若ݔͳ
ʹ ݔʹ
ʹ ㌳ͳ䁩，则根
的值为（
）
A．1
B．െ͵
C．1 或െ͵
D．不存在
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式变形求解，最后结合判别式验证所得根是否符
合要求．
【详解】解：∵ݔͳ，ݔʹ是关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ根͵ ݔʹ根ͳ ㌳䁩的两个实数根，
判别式Δ ㌳െ根͵
ʹ െͶ ൈͳ ൈʹ根ͳ ㌳根െͳ ʹ Ͷ > 䁩，
对于任意实数根，方程ݔʹ െ根͵ ݔʹ根ͳ ㌳䁩都有两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得ݔͳ ݔʹ ㌳根͵, ݔͳݔʹ ㌳ʹ根ͳ，
∵ݔͳ
ʹ ݔʹ
ʹ ㌳ݔͳ ݔʹ ʹ െʹݔͳݔʹ ㌳ͳ䁩，
根͵ ʹ െʹ ʹ根ͳ ㌳ͳ䁩，
整理得：根ʹ ʹ根െ͵ ㌳䁩，
解得：根㌳െ͵ 或根㌳ͳ，
根的值为െ͵ 或1．
3．已知Rt ᇞܣ䳌䁨的两条直角边ܽ
，ܾ分别是一元二次方程ݔʹ ݔݍ㌳䁩的两个根，且ܽʹ ܾ
ʹ ㌳ʹͷ，ܽെܾ
㌳ͳ，则和ݍ的值分别为（
）
A．െͳ，ͷ
B．െ⸸，ͳʹ
C．͵，Ͷ
D．⸸，െͳʹ
【答案】B
【分析】利用完全平方公式，结合已知条件求出两直角边的和与积，再根据一元二次方程根与系数的关系
即可求出和ݍ的值．
【详解】解：∵ܽ，ܾ是直角三角形的直角边，
ܽ
> 䁩，ܾ
> 䁩．
由ܽ
െܾ
㌳ͳ，两边平方得：ʹܽെܾሻʹ ㌳ܽ
ʹ െʹܾܽ
ܾ
ʹ ㌳ͳ．
将ܽʹ ܾ
ʹ ㌳ʹͷ 代入上式，得ʹͷ െʹܾܽ
㌳ͳ，
解得ܾܽ
㌳ͳʹ．
∵ʹܾܽሻʹ ㌳ܽ
ʹ ʹܾܽ
ܾ
ʹ ㌳ʹͷ ʹ ൈͳʹ ㌳Ͷͻ，且ܽ
ܾ
> 䁩，
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ܽ
ܾ
㌳⸸．
∵ܽ
，ܾ是一元二次方程ݔʹ ݔݍ㌳䁩的两个根，
∴ܾܽ
㌳െ，ܾܽ
㌳ݍ．
代入得⸸㌳െ，ͳʹ ㌳ݍ，
即㌳െ⸸，ݍ㌳ͳʹ．
4．已知a，b 是方程ݔʹ ݔെ͵ ㌳䁩的两根，则ܽʹ ܾ
ʹ的值为（
）
A．1
B．െͷ
C．7
D．13
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式及求代数式的值，由根与系数的关
系可得ܽ
ܾ
㌳െͳ，ܾܽ
㌳െ͵，再将ܽʹ ܾ
ʹ变形，整体代入计算即可．
【详解】解：∵ܽ，ܾ是方程ݔʹ ݔെ͵ ㌳䁩的两根
∴ܾܽ
㌳െͳ，ܾܽ
㌳െ͵，
∴ܽʹ ܾ
ʹ ㌳ʹܾܽ
ሻʹ െʹܾܽ
㌳െͳ ʹ െʹ ൈെ͵ ㌳⸸．
5．已知m，n 是关于x 的一元二次方程ݔʹ െ香െͳ ݔ
香ʹ
Ͷ ㌳䁩的两个实数根，且满足等式根ʹ ݊
ʹ െʹ根݊
㌳Ͷ，
则k 的值为________．
【答案】
െ
͵
ʹ/െͳ灙ͷ
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，先根据方程有两个实数根得到判别式的取
值范围，再利用完全平方公式变形已知等式，结合根与系数的关系代入计算，最后验证得到符合条件的香
的值．
【详解】解：∵根，݊
是关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ香െͳ ݔ
香ʹ
Ͷ ㌳䁩的两个实数根，
∴方程的根的判别式Δ ≥䁩，由根与系数的关系得
根݊
㌳香െͳ，根݊
㌳
香ʹ
Ͷ ，
计算判别式得：
Δ
㌳െ香െͳ
ʹ െͶ ൈͳ ൈ
香ʹ
Ͷ ㌳香ʹ െʹ香ͳ െ香ʹ ㌳െʹ香ͳ ≥䁩，
解得香
ͳ
ʹ，
对已知等式变形得：
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根ʹ ݊
ʹ െʹ根݊
㌳根െ݊
ʹ ㌳Ͷ，
由完全平方公式得根െ݊
ʹ ㌳根݊
ʹ െͶ根݊，代入得：
香െͳ ʹ െͶ ൈ
香ʹ
Ͷ ㌳Ͷ，
展开整理得：香ʹ െʹ香ͳ െ香ʹ ㌳Ͷ，
∴െʹ香ͳ ㌳Ͷ，
∴െʹ香㌳͵，
解得香㌳െ
͵
ʹ，
经检验，香㌳െ
͵
ʹ
ͳ
ʹ，符合题意．
6．已知一元二次方程ݔʹ െʹݔെʹ ㌳䁩的两根分别为ݔͳ、ݔʹ．
（1）ݔͳ
ʹ ݔʹ
ʹ值为_________；
（2）写出一个以ݔͳ
ʹ、ݔʹ
ʹ为根的一元二次方程：_________．
【答案】
ͺ
ݔʹ െͺݔͶ ㌳䁩（答案不唯一）
【分析】（1）由根与系数的关系可得ݔͳ ݔʹ，ݔͳݔʹ的值，再根据完全平方公式对所求代数式进行变形，再
将ݔͳ ݔʹ，ݔͳݔʹ的值整体代入计算即可；
（2）设符合条件的方程为ݔʹ ܽ
ݔܾ
㌳䁩，由根与系数的关系可得ܽ
，ܾ的值，答案不唯一，也可以设二
次项的系数为其他值，同样方法求解即可．
【详解】解：（1）∵一元二次方程ݔʹ െʹݔെʹ ㌳䁩的两根分别为ݔͳ、ݔʹ，
ݔͳ ݔʹ ㌳െ
െʹ
ͳ ㌳ʹ，ݔͳݔʹ ㌳
െʹ
ͳ ㌳െʹ，
ݔͳʹ ݔʹʹ
㌳ݔͳ ݔʹ ʹ െʹݔͳݔʹ
㌳ʹʹ െʹ ൈെʹ
㌳Ͷ Ͷ
㌳ͺ；
（2）由（1）可知，ݔͳʹ ݔʹʹ ㌳ͺ，ݔͳʹݔʹʹ ㌳ݔͳݔʹ ʹ ㌳െʹ ʹ ㌳Ͷ，
设符合条件的方程为ݔʹ ܽ
ݔܾ
㌳䁩，
ݔͳʹ ݔʹʹ ㌳െܽͳ ㌳ͺ，ݔͳʹݔʹʹ ㌳ܾͳ ㌳Ͷ，
ܽ
㌳െͺ，ܾ
㌳Ͷ，
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符合条件的方程可以为ݔʹ െͺݔͶ ㌳䁩（答案不唯一）．
