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重难点专题01 一元二次方程的解法
重难点一利用直接开平方法解一元二次方程
1. 先将方程整理为(mx + n)2 = p 形式；
2. 根据p > 0 有两个不等的实数根，p = 0 有两个相等的实数根，p < 0 无实根进行求解；
3.开方必带±，不漏负根。
1．方程ݔെ2 2 = 0 的根为（
）
A．ݔ= 0
B．ݔ=േ2
C．ݔͳ = ݔ2 =െ2
D．ݔͳ = ݔ2 = 2
2．方程ݔ2 = ͵ 的解是______．
3．方程ݔെ͵ 2 = ͳ䁕的根是__________．
4．用直接开平方法解下列方程．
(1)(2ݔെͳ)2 െͶ = 0；
(2)Ͷ(ݔ+ ͳ)2 െͺ = 0．
5．解下列方程：
(1) ݔെͳ 2 = Ͷ䁕
(2) 2ݕെ͵ 2 = ͳ䁕
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6．求下列各式中的ݔ的值：
(1)Ͷݔ2 = 䁕Ͷ；
(2)2 ݔ+ 2 2 = ͳͺ
重难点二利用配方法解一元二次方程
1.先将常数项移到方程的右侧，将二次项系数化为1；
2.等号两边同时加上一次项系数一半的平方；
3.写成平方式后开方，进行求解，写出两个解.
1．用配方法解一元二次方程ݔ2 െ䁕ݔ= Ͷ，配方正确的是（
）
A．ݔ+ ͵ 2 = ͳ͵
B．ݔെ͵ 2 = ͳ͵
C．ݔ+ ͵ 2 = Ͷ
D．ݔെ͵ 2 = Ͷ
2．若将一元二次方程ݔ2 െ䁕ݔെ20ͳ = 0 转化为(ݔ+ )2 =ܾ
的形式，则ܾ
的值为（
）
A．202͵
B．202Ͷ
C．202⸶
D．202䁕
3．用配方法
．．．解方程：ݔ2 + 䁕ݔ+ ͵ = 0．
4．解方程：ݔ2 െ2ݔ= ͺ．
5．解方程：
(1) ݔ+ ͵
ݔെ⸶= ͳ；
(2)ݔ(ݔെ䁕) = 2(ݔെͺ)．
重难点三利用公式法解一元二次方程
1.先将方程整理为标准形式，确定a、b、c 的值；
2.先算Δ，当Δ＜0 时，直接判定方程无实数根；
3.当Δ≥0 时，将a、b、c 的值代入求根公式进行计算，结果进行约分化简。
1．用公式法解െݔ2 + ͵ݔ= ͳ 时，先求出、ܾ、ܿ的值，则、ܾ、ܿ依次为（
）
A．െͳ，͵，െͳ
B．ͳ，െ͵，െͳ
C．െͳ，െ͵，െͳ
D．ͳ，െ͵，ͳ
2．用公式法解关于ݔ的一元二次方程，得ݔ=
െ䁕േ䁕2െͶൈͶൈͳ
2ൈͶ
，则该一元二次方程是（
）
A．2ݔ2 െ䁕ݔ+ Ͷ = 0
B．Ͷݔ2 െ䁕ݔ+ Ͷ = 0
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C．Ͷݔ2 + 䁕ݔ+ ͳ = 0
D．2ݔ2 + 䁕ݔ+ ͳ = 0
3．使用“公式法”解一元二次方程
(1)ݔ2 െ
2ݔെ
ͳ
Ͷ = 0；
(2)2ݔ2 െ2 2ݔ+ ͳ = 0；
(3)͵ݔ2 + 20 = 2ݔ2 + ͺݔ．
4．解方程：͵ݔ(ݔെ⸶) = ͳ0 െ2ݔ
16．解下列方程：͵ݔ2 െ⸶ݔ+ 2 = 0（用公式法）；
重难点四利用因式分解解一元二次方程
1.有公因式先提取进行因式分解，不可直接除公因式防漏根；
2.十字相乘拆系数，看常数正负定分解数字符号；
3.平方差、完全平方整体分解，不用全部展开；
4.最重要一点就是利用因式分解法将方程化为ab=0 的形式；
5.根据ab=0 得a=0 或b=0 解出方程的解。
1．方程ݔ2 = 202䁕ݔ的解是（
）
A．ݔ= 0
B．ݔ= 202䁕
C．ݔͳ = 0，ݔ2 = 202䁕D．无实数根
2．一元二次方程ݔݔെ⸶= ͵ ⸶െݔ的解是（
）
A．ݔ=െ͵
B．ݔͳ = ͵，ݔ2 =െ⸶
C．ݔͳ = ͵，ݔ2 = ⸶
D．ݔͳ =െ͵，ݔ2 = ⸶
3．解方程：ݔ2 െͶݔ+ ͵ = 0
4．解方程：ݔ2ݔ+ ͵ െͶݔെ䁕= 0．
5．解方程：ݔെͳ = ݔെͳ
2ݔ+ ͵ ．
6．用因式分解法解下列方程：
(1)͵ݔ2 െ䁕ݔ= 0；
(2)ݔ2ݔ+ ͵ െͶݔ= 0．
重难点五利用换元法解一元二次方程
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1.把公共部分代数式设为t，标注t 取值范围；
2.换元将方程转一元二次方程解出t 的值；
3.逐个回代求x 的值；
4.分式、根式换元必须验根，舍去超范围解。
1．解方程
ݔ2െͳ
ݔ2 െ
͵ݔ2
ݔ2െͳ = 2 时，令
ݔ2െͳ
ݔ2 = ݕ，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（
）
A．ݕ2 െ2ݕെ͵ = 0
B．ݕ2 െ2ݕ+ ͵ = 0
C．ݕ2 + 2ݕെ͵ = 0
D．ݕ2 + 2ݕ+ ͵ = 0
2．已知关于ݔ的方程ݔ+ 䁞2 +ܾ
= 0 的解ݔͳ =െ2ǡݔ2 = ͳ 是（，䁞，ܾ均为常数，്
0），则方程͵ݔ+
䁞+ ͳ 2 +ܾ
= 0 的解是（
）
A．ݔͳ =െ⸶ǡݔ2 = Ͷ
B．ݔͳ =െͳǡݔ2 = 0
C．ݔͳ =െ2ǡݔ2 = ͳ
D．无法求解
3．已知方程ݔ2 + 2ݔെ͵ = 0 的解是ݔͳ = ͳ，ݔ2 =െ͵，则方程Ͷݔ+ ͳ 2 + 2 Ͷݔ+ ͳ െ͵ = 0 的解是
___________．
26．解方程：Ͷݔെͳ 2 െͳ0 Ͷݔെͳ െ2Ͷ = 0
4．降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程ݔͶ െݔ2 െͳ2 = 0
时，可以将ݔ2看成一个整体，设ݔ2 = ݕ，则ݔͶ = ݕ2，原方程可化为ݕ2 െݕെͳ2 = 0，解得ݕͳ = Ͷ，ݕ2 =െ͵．当
ݕ= Ͷ 时，ݔ2 = Ͷ，ݔ + 2
ݔെ2 = 0，所以ݔͳ =െ2，ݔ2 = 2；当ݕ= െ͵ 时，此方程没有实数根，所以原
方程的根为ݔͳ =െ2，ݔ2 = 2．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程：
(1)ݕͶ െͳ䁕ݕ2 = 0；
(2) ݕ2 െ͵ݕെ͵
ݕ2 െ͵ݕ+ ͳ = ⸶．
5．【阅读材料】方程ݔ2 െͳ 2 െ⸶ݔ2 െͳ + Ͷ = 0 是一个一元四次方程，我们可以把ݔ2 െͳ 看成一个整体，
设ݔ2 െͳ = ݕ，则原方程可化为ݕ2 െ⸶ݕ+ Ͷ = 0①，
解方程①可得ݕͳ = ͳ，ݕ2 = Ͷ；
当ݕ= ͳ 时，ݔ2 െͳ = ͳ，即ݔ2 = 2， ݔ=േ
2；
当ݕ= Ͷ 时，ݔ2 െͳ = Ͷ，即ݔ2 = ⸶， ݔ=േ
⸶；
原方程的解为ݔͳ =
2，ݔ2 =െ
2，ݔ͵ =
⸶，ݔͶ =െ
⸶．
【解决问题】
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(1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数
学的转化思想；
(2)已知ݔ2 + ݕ2 + ͳ
ݔ2 + ݕ2 + ͵ = ͺ，求ݔ2 + ݕ2的值；
(3)请仿照材料中的方法，解方程：ݔ2 െ2ݔ2 െͶ ݔ2 െ2ݔ= 0．
