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专题01 集合（八大题型+模拟精练）
目录：
01 集合的概念
02 元素与集合
03 集合中元素的特性
04 集合的方法、求集合（个数）
05 集合的基本关系
06 Venn 图
07 集合的基本运算
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
01 集合的概念
1．（21-22 高一上·广东广州·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．与定点A，B 等距离的点不能构成集合
B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c 是
的三边长，则
不可能是等边三角形
D．高中学生中的游泳能手能构成集合
【答案】C
【分析】根据集合元素的特征判断可得；
【解析】解：对于A：与定点A，B 等距离的点在线段
的中垂线上，故可以组成集合，即A 错误；
对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B 错误；
对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c 互不相等，故
不可能是等边三角形，即C 正确；
对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D 错误；
故选：C
2．（21-22 高一上·江苏常州·期中）下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①与0 非常接近的全体实数能构成集合；
1
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②
表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为
即可得结果.
【解析】①与0 非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；
②
，正确；
③空集是任何非空集合的真子集，错误；
④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为
，正确.
故选：C
3．（（21-22 高一上·河南商城·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
①
与
表示同一个集合
②由1，2，3 组成的集合可表示为
或
③方程
的所有解的集合可表示为
④集合
可以用列举法表示
A．只有①和④
B．只有②和③
C．只有②
D．以上都对
【答案】C
【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．
【解析】解：对于①，由于“0”是元素，而“
”表示含0 元素的集合，而
不含任何元素，所以①不
正确；
对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.
综上可得只有②正确.
故选：C.
2
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4．（21-22 高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.
【解析】对于A，两个集合都为点集，
与
是不同点，故M、N 为不同集合，故A 错误；
对于B，M 是点集，N 是数集，故M、N 为不同集合，故B 错误；
对于C，M 是数集，N 是点集，故M、N 为不同集合，故C 错误；
对于D，
，
，故M、N 为同一集合，故D 正确.
故选：D.
5．（2020 高三·全国·专题练习）设
，集合
，则
（ ）
A．1
B．－1
C．0
D．－2
【答案】C
【分析】根据集合相等即可得出答案.
【解析】因为
，
，所以
.经检验满足题意
故选：C
【点睛】本题主要考查了由集合相等求参数的值，属于基础题.
02 元素与集合
6．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合
，则
与集合
的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把集合A 用列举法表示出来，利用元素和集合是属于或不属于的关系，就能判断选项.
【解析】
3
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故选：B
7．（2024·四川成都·三模）设全集
，若集合
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.
【解析】全集
，由
，知
，则
，A 错误，B 正确；
不能判断
，也不能判断
，CD 错误.
故选：B
8．（23-24 高三下·四川雅安·阶段练习）若集合
，
，则
中元素的最
大值为（ ）
A．4
B．5
C．7
D．10
【答案】C
【分析】根据B 中元素的特征，只需满足
即可得解.
【解析】由题意，
.
故选：C
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合
，其中
且
，则实数m 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.
【解析】由题意可得
，解得
.
4
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故选：A.
10．（23-24 高三下·重庆大足·阶段练习）已知集合
，
，若
中
有且仅有两个元素，则实数
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
中元素，代入集合
即可.
【解析】因为
中有且仅有两个元素，
则
，
，
所以
，解得
，且
.
故选：D.
11．（23-24 高三上·云南昆明·阶段练习）若集合
有15 个真子集，则实数m 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据真子集的定义可得集合A 中有4 个元素，得解.
【解析】因为集合A 有15 个真子集，所以集合A 中有4 个元素，所以
.
故选：A．
03 集合中元素的特性
12．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
，则满足
的实数a 的个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.
【解析】依题意，
，若
，解得
（
时不满足集合的互异性，舍去），
若
，解得
（
时不满足集合的互异性，舍去），
5
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综上所述，
或
.
故选：B
13．（2024·陕西榆林·二模）设集合
，则
中元素的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
先求出集合
，再求交集即可.
【解析】
依题意可得
，
则
，则
中元素的个数为.
故选：B.
14．（23-24 高三上·福建泉州·阶段练习）若集合
，
，则
的元
素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】结合解不等式以及对数函数的单调性，求得集合
，根据集合的交集运算，即可得答案.
【解析】由题意得
，
，
故
，即
的元素的个数是1 个，
故选：A
15．（23-24 高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列
的公差为
，集合
.则
（ ）
A．
不可能有无数个元素
B．当且仅当
时，
只有1 个元素
6
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C．当
只有2 个元素时，这2 个元素的乘积有可能为
D．当
时，
最多有
个元素，且这
个元素的和为0
【答案】D
【分析】对于
，
选项，可取特殊数列验证即可；对于
可假设成立，结合图象推出与已知矛盾；对于
，结合正弦函数的周期，即可判断.
【解析】选项
，取
，则
，由
，因为
是无穷等差数列，正弦函数是周期为
的函
数，所以
在每个周期上的值不相同，故
错误；
选项
，取
，即
，则
，只有一个元素，故
错误；
选项
，假设
只有2 个元素
，
，这2 个元素的乘积为
，如图可知当等于
或
时，显然
不是
等差数列，与已知矛盾，故
错误；
选项
，当
时,
，
，
，
，
，
，
，所以
最多有
个元素，
7
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又因为正弦函数的周期为
，数列
的公差为
，
所以
把周期
平均分成
份，所以
个元素的和为0，故
正确.
故选:
.
【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方法判断.
04 集合的方法、求集合（个数）
16．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合
，若
，则实数m=（ ）
A．0
B．
C．0 或
D．0 或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论
和
两种情况，求解
并检验集合的互异性，
可得到答案.
【解析】设集合
，若
，
，
或
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
所以
或.
故选：C
17．（2024·山东聊城·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由交集的定义求解.
【解析】集合
，则
.
故选：D
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18．（2024·山东济南·二模）已知集合
的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为
（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{－1，1}
D．{0,-1，1}
【答案】D
【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出
的取值集合.
【解析】因为集合
的元素之和为1，
所以一元二次方程
有等根时，可得
，即
，
当方程有两不相等实根时，
，即
，
综上，实数a 所有取值的集合为
.
故选：D
19．（23-24 高三下·黑龙江·阶段练习）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合
的定义可得集合
.
【解析】因为集合
，
，则
.
故选：A.
20．（2023·新疆·一模）已知集合
，则集合
的元素个数为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．5
【答案】A
【分析】将
的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合
，即可得集合
的元素个数.
【解析】当
时，
，
当
时，
，
9
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当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
故
，共三个元素.
故选：A.
05 集合的基本关系
21．（22-23 高一上·江苏南京·阶段练习）下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合空集的定义，即可判断各选项的正误.
【解析】
，
，
，
.
故选：D.
22．（2024·全国·模拟预测）设集合
，则集合M 的真子集个数为（ ）
A．8
B．7
C．32
D．31
【答案】B
【分析】根据不等式的解法，求得集合
，结合集合真子集的求法，即可求解.
【解析】由不等式
，解得
，
因为
，所以
，
所以集合M 的真子集个数为
.
故选：B．
23．（23-24 高三上·福建龙岩·阶段练习）给出下列关系：①高三（22）班的所有高个子同学可以构成一个
10
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集合；②
；③
，其中正确的个数为（ ）
A．3
B．2
C．0
D．1
【答案】D
【分析】利用集合的意义判断①；元素与集合、集合与集合的关系判断②③.
【解析】对于①，高个子同学的身高没有界定，即研究的对象不确定，①错误；
对于②，
，②正确；
对于③，集合
的元素是有序数对，而
的元素是两个单实数，③错误，
所以正确命题的个数为1.
故选：D
24．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，则集合
的子集个数
为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】根据题意，结合正弦函数的性质，分别
依次代入
，确定
的取值，
结合交集的运算和子集的个数的计算方法，即可求解.
【解析】根据题意，将
依次代入
，
可得
，
所以只有
时，满足不等式
，
所以
，则集合
的子集个数为
.
故选：B.
25．（2024·四川德阳·三模）已知集合
，
，若
，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.
【解析】集合
，
，又
，则
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：B
26．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
．若
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性求集合A，由题意可知
，即可得结果.
【解析】由题意可得
，
因为
，则
，所以
．
故选：D．
06 Venn 图
27．（2024·全国·模拟预测）已知全集
，集合
，则图中阴影部分
表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
12
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【分析】根据Venn 图可知图中阴影部分表示的集合为
，结合交集与补集运算的概念与运算即可求
解.
【解析】由题意，图中阴影部分表示的集合为
，
因为
，所以
，
又
，所以题图中阴影部分表示的集合为
.
故选：B．
28．（2024 高三·全国·专题练习）已知全集
，集合
，
，则图中
阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为
，再根据补集和交集的定义即可得解.
【解析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为
，
因为
，
，
，
所以
，则
.
故选：A．
29．（2024·江苏·一模）已知全集U 与集合A，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.
【解析】
观察韦恩图知，阴影部分在集合A 中，不在集合B 中，所以所求集合为
.
故选：A
30．（23-24 高三下·湖南岳阳·开学考试）如图，
是全集，
是
的3 个子集，则阴影部分所表示
的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
直接根据阴影部分的位置得答案.
【解析】图中阴影部分不在集合中，在集合
中，
故阴影部分所表示的集合是
.
故选：C.
二、填空题
31．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
，则
.
【答案】
【分析】根据题意解一元二次不等式可求得集合
，再利用交集运算可得答案.
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【解析】由题知
，
或
，
于是
.
故答案为：
32．（2024·全国·模拟预测）已知
，
，
，则
．
【答案】
【分析】根据根号下大于等于0 得到集合
，再根据指数函数值域得到集合
，再结合集合交并补运算即
可.
【解析】由题意可得
或
，
，所以
，所以
．
故答案为：
.
33．（2024·江苏南通·模拟预测）已知集合
，
，则
.
【答案】
【分析】求出集合
中元素范围，然后求交集即可.
【解析】
，
，
则
.
故答案为：
15
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34．（2024·全国·模拟预测）设集合
，若
，则实
数
的值为 ．
【答案】
【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，分别求得
和
，再结合
，列出方程，即可求解.
【解析】由不等式
，解得
，所以
，
又由
，可得
，所以
，所以
，
因为
，所以
，解得
．
故答案为：.
三、解答题
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
35．（2024·北京西城·二模）已知数列
，从
中选取第项、第
项、…、第
项
构成数列
，
称为
的
项子列．记数列
的所有项的和为
．当
时，若
满足：对
任意
，
，则称
具有性质
．规定：
的任意一项都是
的项子列，且具有性质
．
(1)当
时，比较
的具有性质
的子列个数与不具有性质
的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列
．
（ⅰ）给定正整数
，对
的
项子列
，求所有
的算术平均值；
（ⅱ）若
有
个不同的具有性质
的子列
，满足：
，
与
都有公共项，且公
共项构成
的具有性质
的子列，求
的最大值．
【答案】(1)
的具有性质
的子列个数大于不具有性质
的子列个数；理由见解析
16
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(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
【分析】（1）根据定义得出
时，
共有
个子列，结合性质
的内容即可判断；
（2）（ⅰ）根据
是
的
项子列，
也是
的
项子列，
可得
，又
有
个
项子列，即可求出结果；
（ⅱ）设
的首项为
，末项为
，记
，则可得对任意
，都有
，故共有
种不同的情况，又
，所以分
为奇数或者偶数两种情况进行
分析即可.
【解析】（1）当
时，
共有
个子列，
其中具有性质
的子列有
个，
故不具有性质
的子列有个，
所以
的具有性质
的子列个数大于不具有性质
的子列个数．
（2）（ⅰ）若
是
的
项子列，
则
也是
的
项子列．
所以
．
因为给定正整数
，
有
个
项子列，
所以所有
的算术平均值为
．
（ⅱ）设
的首项为
，末项为
，记
．
若存在
，使
，则
与
没有公共项，与已知矛盾．
所以，对任意
，都有
．
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因为对于
，
，
，
所以共有
种不同的情况．
因为
互不相同，
所以对于不同的子列
，
与
中至多一个等式成立．
所以
．
当
是奇数时，取
，
，
共有
个满足条件的子列．
当
是偶数时，取
，
，
共有
个满足条件的子列．
综上，
为奇数时，
的最大值为
；
为偶数时，
的最大值为
．
【点睛】方法点睛：（1）阅读理解能力考查；（2）分类讨论思想；（3）数列和集合概念的理解.
36．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A 与B，存在对应关系f，使A 中的每一个元素a，B 中总有唯一
的元素b 与它对应，则称这种对应为从A 到B 的映射，记作f：A→B．
设集合
，
（
，
），且
．设有序四元数集合
且
，
．对于给定的集合B，定义映射
f：P→Q，记为
，按映射f，若
（
），则
；若
（
），则
．记
．
(1)若
，
，写出Y，并求
；
(2)若
，
，求所有
的总和；
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(3)对于给定的
，记
，求所有
的总和（用含m 的式子表示）．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对1，
，5 是否属于B 进行分类讨论，求出对应所有Y 中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射f 下得到的所有
的和，同理求出在映射f 下得到的所有
（
）的和，
即可求解.
【解析】（1）由题意知，
，
所以
．
（2）对1，
，5 是否属于B 进行讨论：
①含1 的B 的个数为
，此时在映射f 下，
；
不含1 的B 的个数为
，此时在映射f 下，
；
所以所有Y 中2 的总个数和1 的总个数均为10；
②含5 的B 的个数为
，此时在映射f 下，
；
不含5 的B 的个数为
，此时在映射f 下，
；
所以所有Y 中6 的总个数和5 的总个数均为10；
②含
的B 的个数为
，此时在映射f 下，
，
；
不含
的B 的个数为
，此时在映射f 下，
，
；
所以所有y 中
的总个数和
的总个数均为20．
综上，所有
的总和为
．
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（3）对于给定的
，考虑
在映射f 下的变化．
由于在A 的所有非空子集中，含有
的子集B 共
个，
所以在映射f 下
变为
；
不含
的子集B 共
个，在映射f 下
变为
；
所以在映射f 下得到的所有
的和为
．
同理，在映射f 下得到的所有
（
）的和
．
所以所有
的总和为
．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解
决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落
脚点仍然是集合的有关知识点.
一、单选题
1．（2024·北京海淀·一模）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
3．（2024·全国·二模）已知集合
，集合
，则满足
的实数
20
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的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
，则满足
的实数a 的个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知全集
，集合
，则图中阴
影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
7．（2024·青海·二模）已知
表示集合A 中整数元素的个数，若集合
，集合
，以下选项错误的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
8．（2023·全国·模拟预测）已知集合
和集合
满足：
有2 个元素，
有6 个元素，且集合
的
元素个数比集合
的元素个数多2 个，则集合
的所有子集个数比集合
的所有子集个数多（ ）
A．22
B．23
C．24
D．25
【答案】C
二、多选题
9．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
10．（2024·甘肃定西·一模）设集合
，则（ ）
A．
B．
的元素个数为16
C．
D．
的子集个数为64
【答案】BCD
11．（2024·全国·模拟预测）设
，
，
，
为集合
的
个不同子集，为了表示这
些子集，作
行
列的数阵，规定第行第
列的数为
．则下列说法中正确的是（ ）
A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当
B．数阵中第
列的数全是1，当且仅当
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C．数阵中第
行的数字和表明集合
含有几个元素
D．数阵中所有的
个数字之和不超过
【答案】ABD
三、填空题
12．（2023·河南驻马店·一模）设全集
，集合
，则
.
【答案】
13．（2024·河北沧州·一模）已知全集
，集合
，集合
，则
．
【答案】
14．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合
的子集
为
的第
个子集，其
中
，则
的第211 个子集是 ．
【答案】
四、解答题
15．（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合
，定义：当
时，把集合
中所有的数从小到大排列成数列
，数列
的前
项和为
.例如：
时，
，
.
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(1)写出
，并求
；
(2)判断88 是否为数列
中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若2024 是数列
中的某一项
，求
及
的值.
【答案】(1)
，
；
(2)88 是数列
的第30 项；
(3)
，
，
【分析】当
时，此时
，由集合新定义中的规则代入计算即可；
根据集合新定义，由
，再列举出比它小的项即可；
方法一：由
可得
，再列举出比它小的项分别有以下7 种情况，再求
和；方法二：由
可得
，求得集合
中的元素个数和最大的一个，可
得
，再求和可得
.
【解析】（1）因为
，此时
，
，
.
（2）当
时，
，
是数列
中的项，
比它小的项分别有
个，
有
个，
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有
个，
所以比88 小的项共有
个，故88 是数列
的第30 项.
（3）
是数列
中的项，故
，
则当
时，
，
方法一：比它小的项分别有以下7 种情况：
①
个数字任取7 个得
个，
②
，得
个，
③
，得
个，
④
，得
个，
⑤
，得
个，
⑥
，得
个，
⑦
，得
个，
所以比2024 小的项共有
个，
其中
故2024 是数列
的第329 项，即
.
方法二：
共有元素
个，
25
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最大的是
，其次为
，
所以2024 是数列
的第
项，即
.
在总共
项中，含有
的项共有
个，同理
都各有
个，所以
，则
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于解读集合
的定义计算，并联想到
和
辅助思考.
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