文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题02 同角三角函数基本关系式及诱导公式
目录
题型一： 简单的求值问题...............................................................................................................3
题型二： 弦化切的求值...................................................................................................................4
题型三： 形如
的求值问题......................................................................................6
题型四： 诱导公式及应用.............................................................................................................10
题型五： 综合应用.........................................................................................................................12
知识点一、同角三角函数的基本关系
si n 2 α ＋
cos
2 α ＝1.
＝tan α.
知识点二、诱导公式
公式一
公式二
公式三
公式四
公式五
公式六
角
α＋2kπ
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
与α 终
边关系
相同
关于原
点对称
关于x
轴对称
关于y
轴对称
关于直线
y＝x 对称
正弦
sin α
－sin α
－sin α
si n _α
cos α
cos_α
余弦
cos α
－
cos
_α
cos α
－cos α
si n _α
－sin α
知识点总结
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
正切
tan α
t an
_α
－
t an
_α
－tan α
记忆
规律
函数名不变，符号看象限
函数名改变，
符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
知识点三、同角关系的几种变形
(1)sin2α＝1 －
cos
2 α ＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1
＋
si n _α )(1
－
si n _α ) ．
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝.
(4)cos2α＝＝.
【常用结论与知识拓展】
1．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 三者之间的关系
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
(4)(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
2．诱导公式可推广归结为要求角k·±α 的三角函数值，只需直接求α 的三角函数值，其转
化过程及所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别
是指k 的奇和偶，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α 当成锐角时，原三角函数式中的角所在象
限的三角函数值的符号．
题型一：简单的求值问题
【要点讲解】(1)利用
实现角α 的正弦、余弦的互化.
(2)利用
实现角α 的弦切互化.
【例1】（2023 春•海淀区校级期中）已知
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，且
，
，
，
．
故选：
．
【变式训练1】（2022• 西湖区校级模拟）已知
是第二象限角，且
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
是第二象限角，且
，
则
，
例题精讲
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
．
故选：
．
【变式训练2】（2022•广南县校级学业考试）已知
，且
为第四象限的角，则
的值等于
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
为第四象限的角，
所以
，
所以
．
故选：
．
【变式训练3】（2022 春•和平区校级期末）已知
，且
为第四象限角，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
为第四象限角，
，
，
．
故选：
．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型二：弦化切的求值
【要点讲解】(1)形如
或
的分式,分子、
分母同时除以cos α 或cos2α,将正、余弦转化为正切,从而求值.
(2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α 的式子,将其看成分母为1 的分式,再将分母1 变形为
,转化为形如
的式子求值.
【例2】（2023 春•上饶期末）已知
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
即
，
故
，
整理得
．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•砚山县校级期中）已知
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•顺庆区校级期中）已知
，则
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
或1
D．
或1
【解答】解：因为
，
所以
，
则解得
．
故选：
．
【变式训练3】（2023•山西模拟）已知
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得：
，
整理得
，
且
，可得
，
即
，
，可得
，
因为
，可得
，
所以
．
故选：
．
【变式训练4】（2023 春•海淀区校级期中）已知
，则
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：
，
．
故选：
．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【变式训练5】（2023 春•萍乡期中）已知
，则
A．0
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
．
故选：
．
题型三：形如
的求值问题
【要点讲解】已知sin θ±cos θ 求值的问题涉及的三角恒等式
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ 中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
【例3】（2023
春• 南通月考）已知角
终边上有一点
，则
．
【解答】解：
是角
终边上的一点，
，
则
，
．
故答案为：
．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【变式训练1】（2023 春•重庆月考）已知
，且
为第三象限角，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
，又因为
为第三象限角，
所以
，
则
．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春• 南阳期中）若
为第三象限角且
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
为第三象限角且
，
则
．
故选：
．
【变式训练3】（2023 春•德安县校级期中）已知
，那么
A．
B．
C．
D．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：因为
，
所以
，
因此，
．
故选：
．
【变式训练4】（2023 春• 德安县校级期中）已知
，则
A．2
B．
C．1
D．
【解答】解：由
，可得
，
于是
．
故选：
．
【变式训练5】（2023• 潮州模拟）已知
为第二象限角，且
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
又
，
，
解得
，
又
为第二象限角，
，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
．
故选：
．
【变式训练6】（2023•武侯区校级模拟）如图，
的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
则
，
，
因
，则
，
故
，
，
故选：
．
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型四：诱导公式及应用
【要点讲解】1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正,化大为小,化到锐角为终了.
(2)角中含有加减π
2 的整数倍时,用诱导公式去掉π
2 的整数倍.
2.常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角:π
3 -α 与π
6 + α ;π
3 +α 与π
6 - α ;π
4 +α 与π
4 - α 等.
(2)常见的互补的角:π
3 +θ 与2π
3 - θ ;π
4 +θ 与3 π
4 - θ 等.
3.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π 的性质进行转化.
【例4】（2023 春•播州区校级月考）已知角
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴的正半
轴重合，终边过点
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【解答】（1）解：因为角
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴的正半轴重合，终边过点
，
由三角函数的定义，可得
．
（2）方法1：由（1）知
，
则
．
方法2：由角
终边过点
，可得
，则
，
，
所以
．
【变式训练1】（
2023
春
•
朝
阳
区
校
级
月
考
）
已
知
函
数
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
．
（1）化简函数
的解析式；
（2）若
，
，求
的值．
【解答】解：（1）
；
（2）由题意
，
因为
，所以
，
由
得
，
所以
，
所以
．
【变式训练2】（2023 春•红花岗区期中）已知
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【解答】解：（1）依题意得，
，
解得
；
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）
．
【变式训练3】（
2023
春
•
谯
城
区
校
级
期
中
）
已
知
．
（1）化简
；
（2）若
是第三象限角，且
，求
的值；
【解答】解：（1）
；
（2）因为
，又
，
所以
，又
是第三象限的角，
所以
，
所以
．
题型五：综合应用
【要点讲解】利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简的方法
(1)对于含有根号的,常把被开方数(式)化成完全平方数(式),然后去根号达到化简的目的;
(2)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目
的;
(3)化简含高次的三角函数式,常借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到
化简的目的.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【例5】（2022 秋•花都区校级期末）黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的
黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为
的等腰三角形（另一种是顶角为
的等腰三角形），例如，正五角星由5 个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在
一个黄金三角形
中，
，根据这些信息，可得
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由图可知，
，且
．
．
则
．
故选：
．
【变式训练1】（
2023
春
•
辽
宁
月
考
）
若
，
，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
，
，
．
故选：
．
【变式训练2】（2023
春• 海安市校级期中）设
，则
．
【
解
答
】
解
：
因
为
，
即
，
令
，可得
；
令
，可得
；
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，可得
；
所以
．
故答案为：
．
【变式训练3】（
2023•
崇
川
区
校
级
开
学
）
已
知
函
数
．
（1）化简
；
（2）若
，且
，求
的值；
（3）若
，求
的值．
【解答】解：（1）
；
（2）
，
因为
，
所以
，
可得
，
结合
，
，
所以
．
（3）由（2）得
，即为
，联立
，解得
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
所以：
．
一．选择题（共6 小题）
1．（2023•广西模拟）
的值所在的范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
且
，所以
，
所以
，
所以
的值所在的范围是
，
．
故选：
．
2．（2023 春•李沧区校级月考）已知
，则下列描述中正确的是
A．函数周期是
B．
为锐角，函数最大值是
C．直线
不是函数的一条对称轴
D．
为钝角，函数没有最小值
课后练习
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【
解
答
】
解
：
函数
周期是
，故
错误；
当
，所以
，
，所以函数最大值是
，
故
正确；
当
时，
，此时函数取到最大值，故直线
是函数的一条对称轴，故
错误；
当
，所以
，
，所以函数最小值是
，
故
错误．
故选：
．
3．（2023 春•德阳期末）已知函数
的最小正周期为
，则下列说
法正确的是
A．
在
上单调递增
B．
在
上单调递减
C．若
在
上恰有两个极值点，则
的取值范围是
D．若
在
上恰有两个极值点，则
的取值范围是
【解答】解：因为
的最小正周期为
，
所以
，解得
，
所以
，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，
，
由正弦函数的性质可知
在
，
上不单调，所以
，
错误；
当
时，
，
，
当
在
上恰有两个极值点时，
则有
，解得
，
所以
的取值范围是
，故
正确，
错误．
故选：
．
4．（2023 春•西城区校级期中）下列函数中，周期为
且在区间
上单调递增的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由
，各项函数单调性如下：
由
，
，
，故
在
上递增，且周期为
；
由
，
，
，故
在
上不单调；
由
定义域为
，而
不满足定义域；
由
，
，则
在
上递增，且周期为
．
故选：
．
5．（2022 秋•宁波期末）已知
，则
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．
故选：
．
6 ．（2023 春• 龙华区校级月考）已知角
的终边过点
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
角
的终边过点
，
，
，
又
，
．
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
7．（2023 春•成都期中）下列大小关系正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于
，
在
上单调递减，
，
又
，
，
正确；
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对于
，
在
上单调递减，
，
，
正确；
对于
，当
时，
；当
时，
；
，
错误；
对于
，
，
，
，
正确．
故选：
．
8．（2022•江门一模）在平面直角坐标系中，对任意角
，设
的终边上异于原点的任意
一点
，它与原点的距离是
，我们规定：比值
、
、
分别叫做角
的正割、余
割、余切，分别记作
、
、
，把
、
、
分别叫做正割
函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是
A．
B．
的定义域为
，
C．
D．
【解答】解：
根据
、
、
的定义，可得
，
，
，
可能为负数，故
不一定成立，故排除
；
的定义域为
，
，故排除
；
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，而
，故
一定成立，故
正确；
，故
成立，
故选：
．
三．填空题（共4 小题）
9．（2023•上海模拟）已知
为角
终边上一点，则
．
【解答】解：（1）
点
为角
终边上一点，
，
则
，
，
．
故答案为：
．
10．（2023 春•青浦区校级期中）已知
，则
．
【解答】解：
．
故答案为：
．
11．（2023 春•运城期中）已知角
的终边上有一点
，
，则
的值是
．
【解答】解：
角
的终边上有一点
，
，
，
，
．
故答案为：
．
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
12．（2023 春•安徽月考）若函数
的最小正周期为
，则
1
．
【解答】解：
，
函数
的最小正周期为
，
，解得
．
故答案为：1．
四．解答题（共3 小题）
13．（2023•长宁区二模）（1）求简谐振动
的振幅、周期和初相位
；
（2）若函数
在区间
上有唯一的极大值点，求实数
的取值范围；
（3）设
，
，若函数
在区间
上是严格增函数，求实
数
的取值范围．
【解答】解：（1）
，
所以振幅为
，周期为
，初相为
．
（2）
，
设
，则
，
当
时，
取得极大值
，
由题意，方程
在区间
上有唯一解，
所以
，得
，
故
的取值范围为
；
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（3）
，
当
时，
因为
，
所以
，
进而
，
，
此时，
在区间
上是严格增函数，
当
时，
，不是严格增函数；
当
时，设
，则
，进而
，
，
此时，
在区间
上是严格减函数，
综上，若函数
在区间
上是严格增函数，则
，
故
的取值范围为
．
14．（2023 春•伊犁州期中）设
是一个任意角，它的终边上任意一点
（不与原点
重
合）的坐标为
．
（1）求
，
的值；
（2）求
的值．
【解答】解：（1）由三角函数的定义可得
，
，
当
时，
，当
时，
；
（2）
．
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
15．（2023 春•安徽期中）已知角
的顶点为坐标原点
，始边为
轴的非负半轴，终边
与单位圆相交于点
，若点
位于
轴上方且
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【解答】解：（1）
角
的顶点为坐标原点
，始边为
轴的非负半轴，终边与单位圆相
交于点
，
，
，
点
位于
轴上方且
，
，且
，
，
，
，故
是第二象限角．
．
（2）
．
25
