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专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：求直线方程......................................................................2
题型二：求离心率..........................................................................6
题型三：求弦中点的轨迹方程.....................................................11
题型四：求曲线方程....................................................................17
题型五：处理存在性问题.............................................................21
题型六：确定参数的取值范围.....................................................25
题型七：定值问题........................................................................31
三、专项训练.....................................................................................35
一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后
根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点M (x0, y0)， x0= x1+x2
2
， y0= y1+ y2
2
2、点差法
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
1
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x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0 ；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1；
y
22=2 px 2 ；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两
点，
为坐标原点，以
，
为邻边作平行四边形
，点
恰好在
上．若线段
的中点
在直线
上，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意，利用点差法得到
，根据平行四边形的性质及点
在椭圆上得到
，求出k 和点M 的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】设
，
，
，
则
，两式相减，得
，
2
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故
，即
①．
又四边形
为平行四边形，
为线段
的中点，所以
为线段
的中点，
所以
，又P 在椭圆
上，
所以
，即
②．
由①②，得
，故直线的方程为
，
即
．
故选：B．
2．（23-24 高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4 的椭圆
（
，
，
）被直线方程
截得的弦的中点横坐标为
，则椭圆的标准方程
为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解.
【详解】设直线
与椭圆相交于
两点，弦
的中点坐标是
，则
，
直线
的斜率
.
由
，得
，
3
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得
，所以
，
即
，
，
，
，
，
所以
，
所以椭圆的标准方程为
.
故选：B.
3．（23-24 高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为
，其右焦点为
，过点
的直线交椭圆与
，
两点．若
的中点坐标为
，则椭圆的方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】计算
，设
，
，代入椭圆方程相减得到
，解
得答案.
【详解】
的中点坐标为
，则
，
设
，
，则
，
，
相减得到：
，即
，
，
又
，
，解得
，
，椭圆的方程为
.
故选：C.
4．（23-24 高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线
交于
、
两点，若弦
的
4
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中点为
，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】
利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】若直线
轴，则
的中点在
轴上，不合乎题意，
设点
、
，因为若弦
的中点为
，则
，
因为
，可得
，即
，
所以，
，
因此，直线的方程为
，即
.
联立
可得
，
，
所以，直线
与双曲线
有两个交点，合乎题意，
因此，直线的方程为
，
故答案为：
.
5．（2024 高三·全国·专题练习）以
为中点的双曲线
的弦所在直线的方程
为 .
【答案】
【分析】利用点差法先求得弦所在直线的斜率，再利用点斜式即可求得直线的方程，再验
算一下与双曲线是否有两个交点可保万无一失.
【详解】设
是双曲线
的弦
的中点，且
，
则
，
因为
在双曲线上，所以
，
两式相减，得
，故
，
所以
，故以
中点的双曲线的弦所在的直线方程为
，即
，
5
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联立
，消去
，得
，
因为
，
所以以
为中点的双曲线的弦所在的直线方程为
.
故答案为：
.
6．（23-24 高二上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线
，过点
的直线交抛
物线
于
两点，若
为
的中点，则直线
的方程为 .
【答案】
【分析】设出
，
的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求
出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论.
【详解】设
，
，由题意
，
因为
，
在抛物线上，所以
，
，两式相减得，
，整理得，
，
即直线
的斜率
，
直线
的中点为
，
，
，
所以直线
的方程为
，化简得
.
故答案为：
.
6
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题型二：求离心率
1．（2023 高三·全国·专题练习）设
是椭圆
上不关于坐标轴对称
的两点，
是线段
的中点，
是坐标原点，若直线
与直线
的斜率之积为
，
则椭圆
的离心率为 .
【答案】
/
【分析】
利用点差法即可得到
，最后利用离心率公式即可.
【详解】设点
，则
，
把
，
的坐标代入椭圆方程可得:
，
两式作差可得：
，
即
，
所以
，即
，
所以椭圆的离心率为
，
故答案为：
.
2．（23-24 高二上·云南昭通·期末）斜率为
的直线与椭圆
交于A，B
两点，
为线段
的中点，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】令
，应用点差法及直线斜率、中点坐标得
，即可求离心
率.
7
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【详解】令
，则
，可得
，
所以
，又
为线段
的中点，且直线
斜率为
，
所以
，则
.
故答案为：
3．（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线
与椭圆
相
交于
两点，且线段
的中点在直线
上，则此椭圆的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】
联立
，得到线段
的中点为
，设
与
的交
点分别为
，
，利用点差法能求出椭圆的离心率.
【详解】联立
得：
，
所以直线
与直线
的交点坐标为
，
所以线段
的中点为
，
设
与
的交点分别为
，
，
所以
，
，
则
，
，
分别把
，
代入到椭圆
得：
8
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，两式相减得：
，
因为直线
为：
，所以
，
且
，所以
，
所以
，即
，所以
，
所以
，所以
，所以
.
故答案为：
4．（2024·福建厦门·二模）不与x 轴重合的直线l 过点N（
,0）（xN≠0），双曲线C：
（a＞0，b＞0）上存在两点A、B 关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为
．若
，则C 的离心率为 ．
【答案】2
【分析】由点差法得
，结合
得
，代入斜率公式化简
并利用
可求得离心率.
【详解】设
，
则
，两式相减得
，
即
，
即
，
所以
，
因为是AB 垂直平分线，有
，所以
，
即
，化简得
，故
.
故答案为：2
9
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5．（23-24 高三·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分
别为
，
，过
作直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A，B 两点，设P 为线段AB 的
中点，若
，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】由
可得点P
，求得
,由点差法得
,可求得离心率.
【详解】
如图:
,由
,
,可得点P 的坐标为
，
则直线OP 斜率为
,直线AB 斜率为
，
另一方面，设
则
,
两式相减得
,整理得
,
即
，故
．
故答案为:
6．（23-24 高三下·江苏南京·开学考试）已知F1，F2分别为双曲线C:
10
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的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L 与双曲线C 的渐近线相交
于AB 两点，且点AB 在x 轴的上方，AB 两个点到x 轴的距离之和为
，若
，
则双曲线的离心率
【答案】
【分析】根据
得
为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求
解.
【详解】设
,
，设
的中点为
，
由于
，故
,因此
为直角三角形，故
，
由于
，所以
，进而可得
，故
或
，
由
在双曲线渐近线上，所以
，
进而
，
当
时，
,
，所以
，
当
时，
,
，所以
不符合题意，舍去，
综上：故离心率为
，
故答案为：
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题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2024 高三下·全国·专题练习）求证：椭圆
中斜率为的平行弦的中点轨迹必
过椭圆中心.
【答案】证明见解析.
【分析】根据点差法可求出平行弦的中点的轨迹方程为
，显然
直线经过椭圆中心原点.
【详解】设斜率为1 的直线与椭圆交于点
两点，
.
中点坐标为
，所以
，
，
所以
，
，
作差得，
，
即有
，即
，
因为弦的中点在椭圆内部，所以
，
即
，解得
，
故平行弦的中点的轨迹方程为
，
，过原点，
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所以椭圆
中斜率为1 的平行弦的中点轨迹过椭圆中心.
2．（2024 高三·全国·专题练习）设椭圆方程为
，过点
的直线交椭圆于
点A、B，O 是坐标原点，点P 满足
，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨
迹方程．
【答案】
【分析】
设出直线的方程，A，B 的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出
，利用直线方程表示出
，然后利用
，求得
的坐标，设出
P 的坐标
，然后联立方程消去参数k，求得x 和y 的关系式，即为P 点轨迹方程．
【详解】
直线过点
，设其斜率为k，则的方程为
记
、
，化简得，
，
所以
，
，
于是
设点P 的坐标为
则
，消去参数k 得
③
当k 不存在时，A、B 中点为坐标原点
，也满足方程③，
所以点P 的轨迹方程为
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知曲线
上一动点
到两定点
，
的距离
之和为
，过点
的直线
与曲线
相交于点
，
．
(1)求曲线
的方程；
(2)动弦
满足：
，求点
的轨迹方程；
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【答案】(1)
(2)
；
【分析】(1)根据椭圆的定义，可以直接写出动点P 的轨迹方程
；
(2)由条件可知M 是线段AB 的中点，按照圆锥曲线中点弦的思路，运用点差法即可求解.
【详解】（1）因为动点
到两定点
，
的距离之和为
，
所以曲线
是以
，
为焦点的椭圆，
，
，
所以
，
，所以曲线
的方程为
；
（2）因为
，所以
为
中点，设
，
当
的斜率存在且不为0 时，将
，
代入椭圆方程中得：
两式相减得
，即
，所以
，
即
，
，整理得
；
当
的斜率不存在或为0 时，有
或
，也满足
；
所以点
的轨迹方程是
；
综上，曲线
的方程为
，点
的轨迹方程是
.
4．（23-24 高二·全国·课后作业）已知椭圆
．
(1)过椭圆的左焦点
引椭圆的割线，求截得的弦的中点
的轨迹方程；
(2)求斜率为2 的平行弦的中点
的轨迹方程；
【答案】(1)
（在椭圆内部分）
(2)
（在椭圆内部分）
【分析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为
、
，设
，进而分
和
，结合点差法求解即可；
（2）结合（1）中(*)式，代入
，
，
整理即可；
【详解】（1）解：设弦与椭圆两交点坐标分别为
、
，
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设
，当
时，
．
当
时，
，
两式相减得
，即
(*)，
因为
，
，
，
所以，代入上式并化简得
，显然
满足方程.
所以点P 的轨迹方程为
（在椭圆内部分）．
（2）解：设
，在（1）中式子
里，
将
，
，
代入上式并化简得点Q 的轨迹方程为
（在椭圆内部分）．
所以，点
的轨迹方程
（在椭圆内部分）.
5．（23-24 高三上·上海宝山·开学考试）已知曲线
上一动点
到两定点
，
的距离之和为
，过点
的直线
与曲线
相交于点
，
．
(1)求曲线
的方程；
(2)动弦
满足：
，求点
的轨迹方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，
（2）根据点差法和中点弦即可根据斜率关系进行求解，
【详解】（1）因为动点
到两定点
，
的距离之和为
，
所以曲线
是以
，
为焦点的椭圆，
，
，
所以
，
，所以曲线
的方程为
；
（2）因为
，所以
为
中点，设
，
当
的斜率存在且不为0 时，将
，
代入椭圆方程中得：
15
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两式相减得
，故
故得
，
所以
，所以
，整理得
；
当
的斜率不存在或为0 时，
或
，出满足
；
所以点
的轨迹方程是
；
6．（2024 高三下·全国·专题练习）已知
为抛物线
的焦点，点
在该抛物线上且
位于
轴的两侧，
（其中
为坐标原点）.直线
在绕着定点转动的过程中，
求弦
中点
的轨迹方程.
【答案】
【分析】求出直线
过的定点，设出
三点的坐标，利用点差法求得三个坐标之间
的关系将定点坐标代入化简可得中点
的轨迹方程.
【详解】设直线
为
，设
，
由
，得
，
因为点
在抛物线上，
所以
，
所以
，解得
或
（舍去），
由
，得
，
由
，得
，
则
，得
，
所以直线
恒过定点
，
设
，则
，
因为点
在抛物线上，
所以
，
两式相减得
，
当
时，
，即
，
因为直线
恒过定点
，所以
，
16
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所以
，所以
，
当
，
亦满足上式
所以所求为
.
7．（23-24 高二上·全国·课前预习）已知抛物线
，过点
作一条直线交抛物线
于
，
两点，试求弦
的中点轨迹方程.
【答案】
.
【分析】方法1：利用点差法，设点作差，要考虑斜率不存在的情况；方法2：可设出直线
的方程，将其与抛物线方程联立，可得一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公
式，消参即可得轨迹方程，同时要考虑斜率不存在的情况.
【详解】方法1：设
，
，弦
的中点为
，则
，
当直线
的斜率存在时，
.
因为
两式相减，得
.
所以
，即
，
即
.
当直线
斜率不存在，即
轴时，
的中点为
，适合上式，
故所求轨迹方程为
.
方法2：当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
（
），由
得
.
所以
17
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所以
.
设
，
，
的中点为
，
则
，
.
所以
.
所以
消去参数
，得
.
当直线
的斜率不存在时，即
轴时，
的中点为
，适合上式，
故所求轨迹方程为
.
题型四：求曲线方程
1．（23-24 高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C 的中心为坐标原点，一个焦点为
，
过F 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．若
的中点为
，则椭圆C 的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意涉及到中点弦，采用点差法求解即可.
【详解】不妨设椭圆方程为
，由题意得：
，
两式作差得：
，整理得：
，
18
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因为AB 的中点为
，
，
所以
，
所以
，所以
，
又因为
，所以
.
故选：A．
2．（23-24 高三上·天津西青·阶段练习）已知双曲线
的中心为原点，
是
的焦
点，过
的直线与
相交于
，
两点，且
的中点为
，则
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出直线的方程，并设出双曲线
的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作
答.
【详解】直线的方程为：
，即
，
设双曲线
的方程为：
，由
消去y 并整理得：
，
，因弦
的中点为
，
于是得
，即
，而
，解得
，满足
，
所以双曲线
的方程为
，即
.
故选：C
3．（23-24 高二下·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
，
直线
与其相交于M，N 两点，若MN 中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设双曲线的方程为
，
，
，
，
，运用点差法，以及中点
坐标公式和直线的斜率公式，可得
，
的方程，结合
，
，的关系，解方程可得
，
，进而得到所求双曲线的方程．
【详解】解：设双曲线的方程为
，
由题意可得
，①
设
，
，
，
，
可得
，
，
两式相减可得
，
由题意可得
的中点坐标为
，直线
的斜率为
，
则
，②
由①②解得
，
，
所以双曲线的方程为
．
故选：A．
4 ．（2024 高三下· 江苏· 专题练习）已知O 为坐标原点，点
在椭圆C ：
上，直线l：
与C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点为M，直
线OM 的斜率为
，则C 的方程为 .
【答案】
【分析】
根据点差法，结合斜率公式可得
，进而根据椭圆经过点
，即可求解.
【详解】
设
，则
20
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∵
在椭圆上，则
两式相减得
，整理得
∴
，即
，则
又∵点
在椭圆C：
上，则
联立解得
∴椭圆C 的方程为
故答案为：
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆
与直线
交于
两
点，且线段
的中点为
，则椭圆
的方程为 .
【答案】
【分析】
代入直线
，求得直线斜率，然后利用点差法化简计算即可
得出结果．
【详解】
代入直线
，可得：
，
，
所以直线方程为：
.
设
，代入椭圆方程得
，
21
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两式相减得：
，
即
,又
，
所以
，
又因为直线的斜率为
，所以
，解得：
.
所以椭圆
的方程为
.
故答案为：
.
6．（2024·上海杨浦·一模）已知抛物线
的焦点为
，第一象限的
、
两
点在抛物线上，且满足
，
.若线段
中点的纵坐标为4，则抛物线
的方程为 .
【答案】
【分析】先根据焦半径公式得到
的关系，然后根据弦长公式求解出
，结合两点间
斜率公式以及点在抛物线上求解出
的值，则抛物线方程可求.
【详解】设
，
因为
，
所以
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
都在第一象限，所以
，
22
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又因为
且
，
所以
，所以
，所以抛物线方程为
，
故答案为：
.
题型五：处理存在性问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知
，直线不过原点
且不平行
于坐标轴，与
有两个交点
，线段
中点为
.
（1）若
，点
在椭圆
上，
分别为椭圆的两个焦点，求
的取值范
围；
（2）若过点
，射线
与椭圆
交于点
，四边形
能否为平行四边形？若
能，求出此时直线的斜率；若不能，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）能，
.
【分析】（1）求得焦点坐标，设
，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范
围，可得所求范围；
（2）设A，B 的坐标分别为
运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率
公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率.
【详解】（1）当
时，椭圆
，椭圆的两个焦点
.
设
，则
，即
，
所以
，
所以
因为
，所以
所以
的范围是
.
（2）设A，B 的坐标分别为
可得
.则
，
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两式相减可得
，即
.
又设
，直线
，
即直线的方程为
，
从而
代入椭圆方程可得，
.
由
与
联立得
.
若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以
，即
，整理可得
，解得
.
经检验满足题意，所以当
时，四边形OAPB 为平行四边形.
2．（23-24 高二下·安徽宿州·期末）已知椭圆
：
的左、右焦点为
，
，点
在椭圆
上，且
面积的最大值为
，周长为6.
（1）求椭圆
的方程，并求椭圆
的离心率；
（2）已知直线：
与椭圆
交于不同的两点
，若在
轴上存在点
，使得
与
中点的连线与直线垂直，求实数
的取值范围
【答案】（1）
，椭圆的离心率
（2）
【分析】（1）利用基本量法，列方程
，求解即可．
（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出
的中点
的坐标，根据
与
中点的连
线与直线垂直得出
点横坐标
的表达式，利用基本不等式得出
的取值范围．
【详解】（1）由题意得
，解之得
，
，
，
所以椭圆
的方程为
，
椭圆的离心率
；
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（2）由
得
，
设
，
，则
，
，
所以线段
中点的坐标为
，
则
，整理得
，
因为
，所以
，当且仅当
，即
时上式取得等号，
此时
取得最小值
，
因为
，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
【点睛】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
3．（23-24 高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线
.
(1)若离心率为
，求b 的值，
的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若
，是否存在被点
平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
，顶点坐标
，渐近线
；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】(1)根据离心率和a、b、c 的关系即可求出b，根据双曲线的性质可求其顶点坐标
和渐近线方程；
(2)假设存在被M 平分的弦，利用点差法求出弦的斜率和方程，将弦的方程代入双曲线方程
判断是否有两个解即可．
【详解】（1）
，
a＝1，故双曲线顶点为
，渐近线方程为
；
（2）当
时，双曲线为
，
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假设双曲线存在被点
平分的弦，设弦的两个端点为
，
，
则
，
，
∵A、B 在双曲线上，∴
，
①－②得：
，
则
，
∴弦AB 所在直线方程为：
，
代入双曲线方程得
，
∵
，故AB 与双曲线无交点，假设不成立．
故不存在被点
平分的弦．
4．（23-24 高二上·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线M 与椭圆
有相同的焦
点，且M 与圆
相切．
(1)求M 的虚轴长．
(2)是否存在直线l，使得l 与M 交于A，B 两点，且弦AB 的中点为
？若存在，求l
的斜率；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，2
【分析】（1）根据题意得出双曲线方程后求解；
（2）中点弦问题，可用点差法，化简后得到斜率，然后代回检验.
【详解】（1）因为椭圆
的焦点坐标为
所以可设M 的方程为
．
因为M 与圆
相切，所以
，
则
，故M 的虚轴长
．
（2）由（1）知，M 的方程为
．
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设A，B 两点的坐标分别为
，
，则
两式相减得
，
假设存在直线l 满足题意．则
所以
，
因此l 的方程为
，代入M 的方程，整理得
，
，l 与M 相
交，
故存在直线l 满足题意，且l 的斜率为2．
题型六：确定参数的取值范围
1．（23-24 高二上·安徽合肥·期末）设圆
与两圆
中的
一个内切，另一个外切．
(1)求圆心
的轨迹
的方程；
(2)已知直线
与轨迹
交于不同的两点
，且线段
的中点在圆
上，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）联立方程结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）圆
的圆心为
，半径为1，圆
的
圆心为
，半径为1，
设圆
的半径为，
若圆
与圆
内切，与圆
外切，则
，
可得
；
若圆
与圆
内切，与圆
外切，则
，
可得
；
综上所述：
，
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可知：圆心
的轨迹
是以
、
为焦点的双曲线，且
，
可得
，所以圆心
的轨迹
的方程
.
（2）联立方程
，消去y 得
，
则
，可知直线与双曲线相交，
设
，线段
的中点为
，
可得
，即
，
且
在圆
上，则
，解得
，
所以实数
的值为
.
2．（23-24 高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 和圆
：
内切，且与圆
：
外切，记动圆P 的圆心轨迹为
E．
(1)求轨迹E 的方程；
(2)若直线l：
与E 交于不同的两点M、N，线段MN 的中点记为A，且线段
MN 的垂直平分线过定点
，求k 的取值范围．
【答案】(1)
;
(2)
或
.
【分析】（1）由圆的内切，外切位置关系可得
，
，即
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，由椭圆的定义，分析即得解；
（2）联立直线与椭圆，结合韦达定理求解弦中点坐标，用斜率表示直线的垂直关系可得
，代入
，求解即可.
【详解】（1）由题意，圆
的标准方程为：
，圆心
，
圆
的标准方程为
，圆心
，
不妨设动圆P 的半径为，
动圆P 和圆
内切，故
；动圆P 和圆
外切，故
，
即
，又
，
故动圆P 的圆心轨迹是以
为焦点的椭圆，
，
即轨迹E 的方程是：
.
（2）由题意，联立直线与椭圆：
，可得
，
不妨设
，则
，
即
，
，
线段MN 的中点横坐标
，纵坐标
，
线段MN 的垂直平分线过定点
，故
，
即
，代入
可得，
，即
即
，解得
或
.
3．（23-24 高二上·河南·阶段练习）已知椭圆
的离心率为
，点
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在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知直线
与椭圆C 交于P，Q 两点，点M 是线段PQ 的中点，直线
过点M，且与直线l 垂直.记直线
与y 轴的交点为N，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出
后可得椭圆的方程.
（2）联立直线的方程和椭圆方程，消去
后利用韦达定理可用
表示
，利用换元法
和二次函数的性质可求
的取值范围.
【详解】（1）由题意可得
，解得
，
.
故椭圆C 的标准方程为
.
（2）设
，
，
.
联立
，整理得
，
则
，解得
，
从而
，
.
因为M 是线段PQ 的中点，所以
，
则
，故
.
直线
的方程为
，即
.
30
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令
，得
，则
，
所以
.
设
，则
，
故
.
因为
，所以
，所以
.
4．（23-24 高二上·广东·阶段练习）已知中心在原点的双曲线
的右焦点为
，右顶点
为
．
（）求双曲线
的方程；
（
）若直线
与双曲线
交于不同的两点
，
，且线段
的垂
直平分线过点
，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
.
【详解】试题分析：（1）由双曲线
的右焦点为
，右顶点为
求出
和,进而
根据
求得
,则双曲线方程可得；（2）把直线方程与双曲线方程联立，消去
，
利用判别式大于求得
和
的不等式关系，设
的中点为
，根据韦达定理表示出
和
，根据
，可知
的斜率为
，进而求得
和
的关系，最后综合可求得
的范围.
试题解析：（）设双曲线方程为
．
由已知得
，
，
，
∴
．
故双曲线
的方程为
．
（
）联立
，
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整理得
．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴
，
可得
．（）
设
、
，
的中点为
．
则
，
，
．
由题意，
，∴
．
整理得
．（
）
将（
）代入（），得
，
∴
或
．
又
，即
．
∴
的取值范围是
．
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.
用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在
轴上，还
是在
轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程
或
；③找关系：根据已知条件，建立关于
、
、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
题型七：定值问题
1．（23-24 高二上·陕西西安·期末）已知椭圆
的一个顶点为
，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在实数m，使直线
与椭圆有两个不同的交点M、N，并使
，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
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【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）结合椭圆的定义，结合顶点坐标，即可求椭圆方程；
（2）首先求线段
的中垂线方程，根据点
在中垂线上，求
，并判断是否满足
.
【详解】（1）椭圆
的一个顶点为
得
椭圆上任一点到两个焦点的距离之和
得
即
所以椭圆的方程为
（2）设直线l 与椭圆C 两个不同的交点
∵
所以，点A 在线段
的中垂线
，下面求
的方程
联立方程
去y，可得
由
，解得
设
的中点为
，有
则
的方程为
即
由于点A 在直线
的中垂线
上，解得
又∵
所以不存在实数m 满足题意．
2．（23-24 高二上·辽宁盘锦·期中）已知椭圆
的焦距为4，且离心
率为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线
与椭圆C 交于不同的两点M，N，且线段MN 的中点P 在圆
上，求m 的值．
【答案】(1)
33
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(2)
【分析】(1)由题列出关于a、b、c 的方程组即可求椭圆方程；
(2)联立直线方程和椭圆方程，根据根与系数的关系求得P 的坐标，代入圆的方程即可求得
m.
【详解】（1）由题意，得
，解得
，所以椭圆C 的方程为
．
（2）设点M，N 的坐标分别为
，
，线段MN 的中点为
，
由
消y，得
，
，解得
．
所以
，
，所以
，
，
因为点
在圆
上，所以
，解得
，满足
．
∴
．
3．（2024·云南·模拟预测）设圆
与两圆
中的一个内
切，另一个外切.
(1)求圆心
的轨迹
的方程；
(2)已知直线
与轨迹
交于不同的两点
，且线段
的中点在圆
上，求实数
的值.
【答案】(1)
；
(2)7.
【分析】
（1）根据给定信息，结合两圆内切、外切的定义列式求出轨迹
即可得解.
（2）联立直线与轨迹
的方程，并求出线段
的中点坐标即可求解.
【详解】（1）圆
的圆心为
，半径为1，
圆
的圆心为
，半径为1，
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设圆
的半径为，
若圆
与圆
内切，与圆
外切，则
，得
；
若圆
与圆
内切，与圆
外切，则
，得
，
因此
，则圆心
的轨迹
是以
为焦点的双曲线，
且实半轴长
，半焦距
，虚半轴长
，
所以圆心
的轨迹
的方程为
.
（2）由
消去
得：
，
显然
，设
，线段
的中点
，
于是
，即
，
由
在圆
上，得
，解得
，又
，
所以实数
的值为7.
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知倾斜角为45°的直线l 过点A(1,-2)和点B，B 在第一象
限，
.
（1）求点B 的坐标；
（2）若直线与双曲线
相交于E,F 两点，且线段EF 的中点坐标为
，求a 的值.
【答案】（1）(4,1).（2）2
【分析】（1）根据直线的倾斜角、
点坐标以及
，求得
点的坐标.
（2）利用点差法列方程，解方程求得
的值.
【详解】(1)依题意
，所以点B 的坐标为(4,1).
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(2)设直线
与曲线
交于两点
，
的中点为
，则有E、F 既在直线上又在曲线上，则
；
；
（1）-（2）并化简得：
，即
，代入点(4,1)，得
，因
为
，可得a=2.
【点睛】本小题主要考查双曲线中的中点弦问题求解，属于基础题.
5．（2024·全国·模拟预测）已知长为
的线段
的中点为原点
，圆
经过
两点
且与直线
相切，圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
且互相垂直的直线
分别与曲线
交于点
和点
，且
，四边形
的面积为
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接写出圆心
符合的等量关系式，进而得到曲线
的方程；
（2）先用点差法求出方程，再联立曲线
，用弦长公式求
，根据垂直，同理可求
，再表示面积即可求出实数
的值.
【详解】（1）由题意知圆心
在线段
的垂直平分线上，则
,设
，圆
的半径为，
则
，
又圆
与直线
相切，故
，
于是
，化简得
，
所以曲线
的方程为
.
（2）设
，根据
可得
为
的中点，
则
，得
，
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即
，所以直线
.
联立方程，得
，得
，
由
，得
，
所以
，
所以
.
设
，因为
互相垂直，易知直线
，
联立方程，得
，
得
，
由
，得
，
所以
，
所以
.
则四边形
的面积为
.
令
，
化简得
，
解得
（舍）或
，符合
，所以
.
三、专项训练
一、单选题
1．（23-24 高二上·安徽六安·期末）已知椭圆
的右焦点为
，
过点
的直线交椭圆
于
两点，若
的中点坐标为
，则椭圆
的方程为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】点差法得到
，从而得到
，结合
，
求出
，得到椭圆方程.
【详解】由题意，设
，代入椭圆方程
，
可得
两式相减可
，
变形可得
，
又过点
的直线交椭圆
于
两点，且
的中点
为
，
所以
，
代入上式可得，
，又
，
解得
，所以椭圆
的方程为
.
故选：C
2．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆
，
是椭圆
的一条弦
的中点，点
在直线
上，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出直线
的方程，与椭圆
的方程联立结合韦达定理求出
的关系计算即得.
【详解】依题意，直线
的斜率
，直线
的方程为
，即
，
38
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由
消去
并整理得：
，
则
，即
，
设
，则
，而弦
的中点为
，即
，
于是
，解得
，此时
所以椭圆
的离心率
.
故选：C
3．（23-24 高二上·山西太原·期末）在椭圆
中，以点
为中点的弦所在的
直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先确定点
在椭圆内部，设交点为
，代入椭圆方程做差，然后整理可得
直线斜率，利用点斜式可得直线方程.
【详解】因为
，故点
在椭圆内部，过点
的直线恒与椭圆有
两个交点，设交点为
，则
，
又
，两式相减得
，
整理得
，
所以以点
为中点的弦所在的直线方程为
，
即
.
故选：C.
4．（23-24 高二上·湖南衡阳·期末）已知斜率为2 的直线与椭圆
交
于
两点，
为线段
的中点，
为坐标原点，若
的斜率为
，则
的离心率为
39
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用点差法求解.
【详解】设
，则
，两式作差可得
，
因为
，又
，
所以
，所以
的离心率为
.
故选：D
5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线
与双曲线
交
于
两点，点
是弦
的中点，则双曲线
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】利用点差法可求
的关系，从而可求双曲线的离心率.
【详解】设
，则
，且
，
所以
，整理得到：
，
因为
是弦
的中点，
所以
，所以
即
所以
，
故选：A.
6．（23-24 高三下·全国·阶段练习）设直线
与双曲线
分别交于
两点，若线段
的中点横坐标是
，则该双曲线的离
心率是（ ）
40
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A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，联立直线与双曲线方程，借助中点横坐标列式求解即得.
【详解】由线段
的中点横坐标是
，得线段
的中点纵坐标是
，设
，
由
消去x 得
，
，
因此
，整理得
，显然
成立，
所以该双曲线的离心率
.
故选：A
7．（23-24 高二上·天津和平·期末）直线l 与双曲线
交于A，B 两点，线段AB 的
中点为点
，则直线l 的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，代入双曲线方程，两式相减可得
，由题
目条件经整理后可得答案.
【详解】设
，
，则直线l 的斜率为
代入
，得
，两式相减得：
.
又线段AB 的中点为点
，则
.
则
.经检验满足题意.
故选：D
二、填空题
41
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8．（23-24 高二上·福建福州·期末）已知椭圆
的右焦点为
，离心率
为
，过点
的直线交椭圆于
两点，若
的中点为
，则直线的斜率为
．
【答案】
【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】设
，
，则
的中点坐标为
，
由题意可得
，
，
将
，
的坐标的代入椭圆的方程：
，
作差可得
，
所以
，
又因为离心率
，
，所以
，
所以
，即直线的斜率为
，
故答案为：
.
9．（23-24 高二上·北京平谷·期末）已知圆
内有一点
，经
过点
的直线与圆
交于
两点，当弦
恰被点
平分时，直线的方程为 .
【答案】
【分析】求得圆心坐标为
，易知
，利用斜率之间的关系可得
，即
可求得直线的方程.
【详解】易知
可表示为
，
可知圆
的圆心坐标为
，半径为
，如下图所示：
42
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根据题意由圆的性质可知
，易知
，所以
；
由直线的点斜式方程可得直线的方程为
，即
.
故答案为：
10．（2024 高二·全国）
与
的左支交于
两点，直线过
及
中点，则在
轴上截距范围为 ．
【答案】
【分析】先联立两个方程，再由韦达定理表达直线的方程，再求截距范围即可.
【详解】设
，
把
代入
整理得
因为直线与双曲线左支交于两点，故方程有两负根．
所以
，所以
.
又因为
中点为
，
所以直线方程为
，令
，截距
，
由
得
．
故答案为：
11．（23-24 高二上·广西河池·阶段练习）过点
的直线l 与双曲线
交于A、
B 两点，若M 恰好是线段AB 的中点，则直线l 的斜率为 ．
【答案】6
【分析】设
，根据题意利用点差法运算求解.
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【详解】设
，则
，
由题意可知：直线l 的斜率存在，则
，
因为A、B 在双曲线
上，则
，
两式相减得
，则
，
即
，整理得
，
此时直线
，即
，
联立方程
，消去y 得
，
则
，即直线l 与双曲线
有两个交点，
符合题意，所以直线l 的斜率为6.
故答案为：6.
三、解答题
12．（23-24 高二下·北京·开学考试）已知椭圆
的离心率
，椭圆
上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点
，且与椭圆相交于不同的
两点
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段
中点的纵坐标
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据已知条件及椭圆的简单几何性质即可求解；
（2）根据已知条件设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立方程组，利用韦达
定理及中点坐标公式，结合线段
中点在直线上即可求解.
【详解】（1）由题意可知
,解得
，
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因为
，
所以
，
所以
，解得
.
所以椭圆的方程为
.
（2）由题意可知直线斜率存在，如图所示
设
，设
，
消
得，
，
所以
，解得
.
,
设线段
中点的坐标为
，
所以
,
又因为线段
中点的纵坐标
，
所以
，解得
，
所以直线方程为
，即
.
13．（23-24 高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线E：
的左、右焦
点分别为
，
，斜率为2 的直线l 与E 的一条渐近线垂直，且交E 于A，B 两点，
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.
(1)求E 的方程；
(2)设点P 为线段AB 的中点，求直线OP 的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线中
，求得
，再由双曲线的渐近线方程及斜
率，求出
，即可得到E 的方程；
（2）设
，
，可表示出直线AB 和直线OP 的斜率，再用点差法求出直线
OP 的斜率，即可得到直线OP 的方程.
【详解】（1）因为在双曲线E：
中，
，
所以
，即
.
双曲线E：
的渐近线方程为
，
因为斜率为2 的直线l 与E 的一条渐近线垂直，所以
，所以
所以E 的方程为
.
（2）设
，
，则
.
线段AB 的中点P 的坐标为
，则
，
又点A，B 在双曲线E 上，所以
，
②－①得，
，
两边同时除以
并整理，得
.
又
，
，
，所以
.
所以直线OP 的方程为：
.
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14．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，点
在
抛物线
上，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)已知直线交抛物线
于
两点，且点
为线段
的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义可求得
，即可求出抛物线
的方程；
（2）由弦中点坐标为
并利用点差法即可求得直线的斜率为
，便可得直线方程.
【详解】（1）点
在抛物线
上，
由抛物线定义可得
，解得
，
故抛物线
的标准方程为
．
（2）设
，如下图所示：
则
，两式相减可得
，
即
，
又线段
的中点为
，可得
；
则
，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为
，
即直线的方程为．
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