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专题02 导数切线应用培优归类
题型1 导数基础：两个计算
导数基础计算技巧：
1.任何导数值f（x0），都是具体的数，求导时候，可以作为常数对待。
2.复杂多项式形式的函数求导，可以利用整体代换法来换元对待。
1.（23-24 高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数
，则
（ ）
A．
11520
B．
23040
C．11520
D．23040
【答案】A
【分析】令
，则
，对函数
求导后结合导数的定义可得结果.
【详解】令
，
则
，则
，
所以
.
故选：A
1
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2.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
，则函数在
处的切线方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
求导，注意
是常数，令
代入导函数中，可求得
，进而可求
，可
得
在
处的切线方程.
【详解】
，令
，可得
，
，
所以
在
处的切线方程为
.
故选：B
3.（23-24 高二下·甘肃定西·阶段练习）已知
是
的导函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求导数，再分别计算
后可求解答案.
【详解】因为
，所以
，
故
，即
，
，即
，
故
．
故选：A
4.（2025 高三·全国·专题练习）在等比数列
中，
，若函数
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
,则
，可得
，而
，利用等比数列的项的性质即可求得.
【详解】设
，
则
，
，
所以，
.
因为
是等比数列，且
，
，
于是，
故
，
所以，
.
2
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故选：A.
题型2 导数基础：切割意义
导数的几何意义，直观结果，就是对应点处的切线斜率，而在实际做题思维中，有两个方向：
1. 定义方向：导数就是切线斜率。需要注意的是原函数增减，不仅仅对应着导函数正负，还要适当的对
比，原函数的上凸下凹，还对应着导函数函数值的绝对值大小，可以适当借鉴物理学中的加速度来让学
生理解。
2. 切割线极限方向：导函数作为切线斜率，还要用极限思想，对应着割线的斜率。注意对应的极限逼近
数值逼近思维。
1.（23-24 高二下·吉林·阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，
为
的导函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接由导数的几何意义结合函数图象即可求解.
【详解】由导数的几何意义可知，
表示曲线
在
处的切线斜率，
表示曲线
在
处的切线斜率，
表示
，
两点连线的斜率，
由图可知，当
从0 变化到1 时，
切线斜率越来越大，
所以
，对比选项可知，D 正确.
故选：D.
2.（23-24 高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数
的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
3
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【分析】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到.
【详解】
如图，设函数
的图象上有两点
，经过点
的切线分别为
,
则直线
的斜率依次为
，
由图知直线
的倾斜角
满足，
，
因函数
在
上递增，故
，
即
.
故选：B.
3.（24-25 高二下·全国·课后作业）已知函数
的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别作曲线在
，
，
三处的切线，
，
，然后根据切线的斜率的大小可得答案.
【详解】如图，分别作曲线在
，
，
三处的切线，
，
，
设切线的斜率分别为
，
，
，易知
，又
，
，
，
所以
．故选：A
4.（24-25 高二下·全国·课后作业）已知函数
，它们在平面直角坐标系中的图象如图
所示，则
的大小关系是（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依次作出
在
处的切线，根据切线倾斜角的大小进行判断即可.
【详解】依次作出
在
处的切线，
如图所示．根据图形中切线的斜率可知
．
故选：A．
题型3 “在点”型切线：求双参
“在点”型切线，列方程求参
1．（24-25 高二下·北京延庆·期末）已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
值
为（ ）
A．0
B．－1
C．1
D．2
【答案】B
5
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【分析】求导，根据导数的几何意义列方程，解方程即可.
【详解】由已知
，
则
，
且
，
，
由曲线
在点
处的切线方程为
，
则
，解得
，故选：B.
2．（24-25 高二下·重庆·期中）已知直线
为
的一条切线，将
的图象向右平移
个单位，向上平移1 个单位后仍与直线相切，则
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
【答案】B
【分析】由题意知
的一条切线的斜率为
，根据导数的几何意义求得切点，进而求得切线方程，
即可求得
.
【详解】由
得
由题意，直线
的斜率为
，则
，解得
.
∴
，∴切点为
∴切线方程为
，即
.
所以
，
.故选：B.
3．（2024·山西·模拟预测）已知函数
，若
的图象在
处的切线方程
为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义，列方程组求解即可.
【详解】由题意知
，
所以
，解得
，
又
，
所以
，解得
，所以
.
故选：C.
4．（2023·河南郑州·二模）已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
（ ）
A．－1
B．－2
C．－3
D．0
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义可知切线斜率为
，可得
，计算出切点代入切线方程即可得
.
【详解】由题意可得
，
根据导数的几何意义可知，在点
处的切线斜率为
，解得
；
所以切点为
，代入切线方程可得
，解得
.
故选：C
6
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题型4 “过点”型切线：判断切线条数
“过点”型切线，核心在于先设切点
“过点”型判断切线条数，最终需要转化为关于切点横坐标的方程求根，大致有
如下构造方程求根的思路：
方法一：直接因式分解解；
方法二：构造函数求导再判断交点个数
1.（24-25 高三上·河北承德·开学考试）过点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可.
【详解】由
，
当点
是切点时，此时切线的斜率为
，此时有一条切线；
当点
不是切点时，设切点为
，则切线的斜率为
，
切线方程为：
，该切线过点
，
于是有
或
（舍去），
综上所述：过点
可作曲线
的切线条数为
，
故选：B
2.2．（22-23 高三上·四川内江·阶段练习）已知曲线
，则过点
可向引切线，其切线条
数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点为
，利用导数求出曲线在切点
处的切线方程，再将点
的坐标代入切
线方程，可得出关于的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.
【详解】设在曲线上的切点为
，
，则
，
所以，曲线在点
处的切线方程为
，
7
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将点
的坐标代入切线方程得
，即
，
解得
，
，
.
因此，过点
可向引切线，有三条.
故选：C.
【点睛】本题考查过点引曲线的切线的条数，一般转化为切点个数来求解，考查化归与转化思想的应用，
属于中等题.
3．（19-20 高三·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数
，则曲线
过点
的切线条数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设出切点坐标
,利用导数求出过切点的切线方程，代入点
，再利用导数求解关
于
的方程的解的个数，即可求解.
【详解】设切点坐标
,由
，得
，
切线斜率
，
所以过
的切线方程为
，即
，
切线过点
，故
，令
,则
，由
，解得
或
，
当
时，
，当
时，
，
所以
的极大值极小值分别为
，
，故其图像与x 轴交点2 个，
也就是切线条数为2.故选：B
【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点个数的判断，属于中档
题.
4.（2023·全国·模拟预测）已知函数
，过点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】求出
的导函数，设切点坐标为
，写出切线方程，把
代入，得到关于
的方
程，根据方程解的个数即可得出切线的条数．
【详解】解法一 由
，得
．设切点坐标为
，
则切线方程为
，
把
代入可得
，即
，
因为
，所以该方程有2 个不同的实数解，故切线有2 条．
解法二 由
，得
，令
，得
．
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的极小值为
，且
，则点
在曲线
的下方，
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数形结合可知，过点
可作曲线
的2 条切线．
故选：B
题型5 “过点”型切线：求参
若已知函数
过平面上一点
，且
或点
其中一项含有参数，但已知过该点切线
数量，可参考考向四，设切点
，此时
,由切点
与斜率
写出切线方程
，再将点
代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
1．（2023·全国·模拟预测）若过点
可作函数
图象的两条切线，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点为
，
，求导，根据导数的几何意义可得
有两个正根，
利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.
【详解】设切点为
，
，又
，所以切线斜率
，
所以切线方程为
，又切线过点
，
则
，
，即
，
由过点
可作两条切线，所以
有两个正根，
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即
，整理可得
，故选：C.
2．（22-23 高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数
，若经过点
且与曲线
相切
的直线有三条，则（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【分析】设切点为
，再根据导数的几何意义结合两点间的斜率公式可得
有3 个解，构造函数
，求导分析单调性与极值可得
的取值范围.
【详解】
，设经过点
且与曲线
相切的切点为
，则
.又切线经过
，故由题意
有3 个解.
化简有
，即
有3 个解.
设
，则
，令
有
或
，故当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
又
，
，且
，
，故要
有3 个解，
则
.
故选：A
3．（21-22 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线
上一点
可以作曲线
的两条切线，则
点
横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程
的根的个数问题转化为函数
与
函数
的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
【详解】解：由题意得
，设切点为
，
，
，
，
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则过点
的切线方程为
，整理得
，
由点
在切线上，则
，即
，
因为过直线
上一点
可以作曲线
两条切线，
所以关于
的方程
有两个不等的实数根，
即函数
与函数
的图象有两个交点，
，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
时，
；
时，
，
则函数
与函数
的图象如下图所示：
由图可知，
，
故选：C.
4．（2022·山东潍坊·三模）过点
有
条直线与函数
的图像相切，当
取最大值时，
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求导分析
的图象可得
，再设切点坐标为
，由题可得
有
三根，再构造函数
求导分析图象单调性与最值即可
【详解】由
，
，故当
时，
，
单调递减，且
；当
时，
，
单调递增，结合图象易得，过点
至多有3 条直线与函数
的图像相切，故
.
此时，设切点坐标为
，则切线斜率
，所以切线方程为
，
将
代入得
，存在三条切线即函数
有三个不同的根，又
，易得在
上，
，
单调递增；在
和
上，
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，
单调递减，画出图象可得当
，即
时符合题意
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定
根的个数与参数取值范围的问题，属于难题
题型6 分段型函数切线
分段型函数切线，多是符合以下这些图形所表示的类型
1．（24-25 高三上·北京朝阳·期中）已知函数
若直线
与函数
的图象
有且只有一个公共点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过导数求出直线
与分段函数各段相切对应的
值，并结合图象即可求解.
【详解】当
时，函数
，则
，
令
，解得
，
故直线
与
相切，即
.
当
时，函数
，则
，
令
，解得
，
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故直线
与
相切，即
.
如图所示，当
或
时，直线
与分段函数
有且仅有一个公共点.
故实数
的取值范围为
或
.
故选：B.
2．（23-24 高二上·福建漳州·阶段练习）已知函数
（
，且
）在
上单
调递增，且关于
的方程
恰有两个不相等的实数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分段函数在
上单调递增，则在x＝0 左右两侧均递增，且在分界线x＝0 处，左边函数值小于或
等于右边函数值，得
的取值范围，再将方程的根的个数转化为两个函数图像的交点个数进行求解．
【详解】当
时，
，因为该函数在
上单调递增，所以
，
若要
在
上单调递增，还需满足
，即
，所以
.
当
时，易知直线
与曲线
一定只有一个公共点，故只需直线
与曲线
只有一个公共点即可；
由
，得
，令
，得
，代入
，得
，由
，得
，此时直线
与曲线
相切，有且只有一个公共点；
当
，即
时，直线
与曲线
有且只有一个公共点．
又
，所以
.
综上可知，
的取值范围是
.
故选：D.
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3．（22-23 高二下·福建泉州·期中）已知函数
，若
的图像
与
轴有3 个不同的交点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先将题意等价于
与
有3 个交点，分别画出
和
的
图象，再利用导数的几何意义，即可得到答案.
【详解】
的图像与
轴有3 个不同的交点，
等价于
与
有3 个交点.
画出
和
的图象，如图所示：
因为
过
，
当
与
在
相切时，
，设切点为
，
，切线
，即
，
因为切线过
，
所以
，解得
此时
，此时
与
有2 个交点.
当
时，
，即
，
当
过
时，
，解得
，
设
，
，
，
，
为增函数，所以
，即
此时
与
有三个交点.
因为
与
有3 个交点，
所以
.
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故选：A
4．（24-25 高三下·河北·阶段练习）已知函数
，若方程
恰有四
个不同实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，作出函数
的图象，然后求得
与
相切时
的值，然后分
，
以及
讨论两函数图像交点个数，即可得到结果.
【详解】如图所示，作出函数
的图象，
易知
，
先求
与
相切时
的值，
设切点为
，则切线方程为
，
将
代入，化简得
，易知函数
单调递增，
，所以
，
所以当
时，
与
有两个交点；
当
时，
与
有一个交点，
当
时，
与
没有交点.
易知两函数图象均关于
对称，可联立
得
，
，则
，
此时切点横坐标为
，
当
过点
时，
，
所以当
时，
与
有两个交点；
当
时，
与
没有交点；
15
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当
时，
与
有三个交点.
综上，若
与
有四个交点，
则
，故选：D.
题型7 公切线：公切线基础型
交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）
对函数
，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令
，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
1．（24-25 高二下·福建·阶段练习）函数
与函数
公切线的斜率为（ ）
A．或
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率.
【详解】不妨设公切线与函数
的切点为
，与函数
的切点为
，
易知
，
，
因此公切线斜率为
，因此
，
可得
，即
，
又易知
，整理可得
，
即
，即
，解得
或
，
因此可得斜率为
或
，
故选：C.
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2．（24-25 高三上·海南·开学考试）函数
与函数
公切线的纵截距为（ ）
A．1 或0
B．-1 或0
C．1 或
D．-1 或
【答案】B
【分析】先设切点分别为
，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得
，最后计算
值即可.
【详解】设切点分别为
，
,且导数为
，所以切斜方程为既为
，也为
，所以
，
所以
，所以
，所以
或
，
所以公切线的纵截距为
或
.故选：B.
【点睛】本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数
上设不同切点并求切线方程，根据两
切线方程一样来求解公切线斜率.
3．（23-24 高二下·河北·期末）若直线是曲线
与
的公切线，则直线的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设出直线与曲线
和
的切点分别为
和
，由公切线得
到方程解出切点坐标，计算求解即可.
【详解】由
，得
，由
，得
.
设直线与曲线
相切于点
，
与曲线
相切于点
，
则
，故
.又
，
解得
，所以直线过点
，斜率为1，
即直线的方程为
.
故选：A
4．（23-24 高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
是
图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线
上的切点，继而求出
t 的值，结合切线方程，即可求得答案.
【详解】由题意知直线
是曲线
与曲线
的公切线，
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设
是
图象上的切点，
，
所以
在点
处的切线方程为
，即
①
令
，解得
，
即直线
与曲线
的切点为
，
所以
，即
，解得
或
，
当
时，①为
，不符合题意，舍去，
所以
，此时①可化为
，所以
，
故选：A
题型8 公切线：函数解析式有参
求函数
和
的公切线.
1：设函数
的切点为
，设函数
的切点为
；
2：求导数
与
，得函数
的斜率
，函数
的斜率
；
3：函数
的切线
，函数
的切线
；
4：化简得
，
；
5：对比得
，联立解方程得公切线.
1.（22-23 高三下·浙江·开学考试）已知曲线
与
的两条公切线的夹角正切值为
，则
．
【答案】
【分析】由两曲线互为反函数，结合反函数性质及正切函数倍角公式，可求得两条公切线的夹角一半的正
切值，即可求得直线AD 的斜率.设点A 的横坐标为
，切点D 的横坐标为
，由导数法分别就A、D 两点
求同一条切线方程，从而建立方程，化简求值.
【详解】
与
互为反函数，图像关于直线
对称，如图所示，
18
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由题意，两条公切线的夹角正切值为
，解得
或
，又
为锐角，所
以
.
由对称性，不妨取AD 直线进行研究，则直线AD 的倾斜角
，
.
设点A 的横坐标为
，切点D 的横坐标为
，
则
，
，∴
，即
.
所以
，
，
，即
.
∴
，则
，即
，则
，所以
，即
，所以
.故答案为：
.
【点睛】方法点睛：公切线问题，一般可在两曲线上设出切点，分别求出切线，利用两切线为同一条切线
得出方程，从而进一步求解.
2.（23-24 高二上·重庆·期末）若函数
与函数
的图象存在公切线，则实数t 的取值范围
为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关系式，
进而求出t 的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.
【详解】由题意得
，
，设公切线与曲线
切于点
，与曲线
切于点
，则
，则
，
，
当
时，
，函数
与
的图象存在公切线
，符合题意；
当
时，
，即
，故
，
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，当
时，
，
在
上单调
递减，
故
，故
，综合得实数t 的取值范围为
，
19
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故答案为：
【点睛】关键点睛：解答时要设出曲线与公切线的切点，利用导数的几何意义，求得切点坐标之间关系，
关键在于由此结合该关系求得参数t 的表达式，进而构造函数，利用导数解决问题.
3.（2023·山东日照·二模）已知曲线
与
的两条公切线的夹角余弦值为
，则
．
【答案】
【分析】根据已知条件作出图象，利用反函数的性质及二倍角的正切公式，利用导数的几何意义及直线的
点斜式方程，结合指数对数的运算性质即可求解.
【详解】曲线
与
互为反函数，图象关于
对称，如图所示，
由题意可知，
，所以
，
解得
或
，因为
为锐角，所以
由对称性，不妨取直线
进行研究，则直线
的
倾斜角为
，
，设切点
的横坐标为
，切点
的横坐标为
，则
，
，
，所以
，所以直线
的方程为
即
，所以
，所以直线
的方程为
即
所以
即
所以
即
，
所以
，即
，于是有
，
所以
.故答案为：.
【点睛】解决此题的关键是根据已知条件作出图象及两曲线互为反函数，利用反函数的性质解决曲线的公
切线问题，充分利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解.
4.（2024·广东江门·二模）若曲线
与曲线
存在公切线，则a 的最大值 ．
【答案】
【分析】设公切线与曲线
切与点
，与曲线
切与点
，由题意可得
，
化简可得
，则
，构造函数
，利用导数求出其最大值即可.
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【详解】设公切线与曲线
切与点
，与曲线
切与点
，由
，得
；由
得
.
则
，所以
，所以
，即
.
设
，则
.由
；由
.
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.所以函数
.
即
的最大值为
.故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是设出两切点的
坐标，由切线为两曲线的公切线列方程组求解，考查数学转化思想和计算能力.
题型9 公切线：公切线条数判断
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和
过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关
的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上；
③切点在曲线上
而解答方程根的问题最常见的方法是转化为函数交点后，利用数形结合解答：
1. 转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就
是函数零点的个数。
2. 转化为
的交点个数的图象的交点个数问题.
1．（2024·重庆·模拟）若函数
与函数
有两个公切线，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点,得到切线的斜率,再由两点的斜率公式，结合切点满足曲
线方程,可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程,借助于函数的极值和最值，即可得到
的范围
【详解】解：设公切线在函数
与函数
的切点为
，
则由
，所以
，
消去
可得
，
21
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由于函数
与函数
有两个公切线，所以
有两个不同的正根，
令
，则
，
令
，
当
时，
，
递减；当
时，
，
递增，
所以
，当
趋向于0 时，
趋向于正无穷；当
趋向于正无穷时，
趋向于正
无穷，
所以
，
故选：D.
2．（2025·山东·模拟）已知曲线
与
恰好存在两条公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
的导数
的导数为
，设与曲线
相切的切点为
相切
的切点为
，则有公共切线斜率为
，又
，即有
，即为
，即有
，则有
，即为
，恰好存在两条公切线，
即有两解，
令
，则
，当
时，
递减，当
时，
递增，即有
处
取得极大值，也为最大值，且为
，由恰好存在两条公切线
可得
与
有两个交点，结合函数的图象与单调性可得
的范围是
，故选D.
3.（2024·海南·模拟预测）若函数
与
的图象有且只有一条公切线，则
实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】设公切线与函数
,
的图象分别切于点
，求出
，
，
可得公切线方程为
和
，则有
，可得
，令
，利用导数可得
，则
，即可解得实数
的值.
【详解】设公切线与函数
,
的图象分别切于点
，
因为
，所以
，所以公切线方程为
，即
，
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因为
，所以
，所以公切线方程为
，即
，
因为函数
与
的图象有且只有一条公切线，所以
，由
得
,
代入
，则
，
整理得
，令
，则
，
当
时，
，则函数
单调递增，当
时，
，则函数
单调递减，
所以
时，
，则当
时，函数
与
的图象有且只有一条公切线，即
，解得
.故选：B.
【点睛】关键点点睛：因为函数
与
的图象有且只有一条公切线，设切点分别为
，分别得出
与
的公切线后，通过斜率，纵截距相等得到方程组，得到
关于
和
的关系后，利用导数得到关于
的函数的最大值，即可得到
的值.
4.（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知函数
其中
，当两函数图象对应
曲线存在2 条公切线时则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据反函数的性质，先求解
两曲线相切时的临界情况时
的值，
利用相切和导数可得
，构造函数
，即可根据函数单调性求解.
【详解】令
则
，令
，则
，
由于函数
互为反函数，故图象关于
对称，
因此只需要考虑
两曲线相切时的临界情况，设切点横坐标为
，
由
故
，即
，
所以
，设
，则
，
，故有
，两边取对并移项
，记函数
，易知
在
上单调递增,
因为
，所以
，此时
，所以
的取值范围是
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【点睛】关键点点睛：根据两函数在相切的临界情况，设出切点横坐标为
，得
，
求解
.
题型10 切线法：距离型
距离型试题，多是曲线上一点，到一条直线的距离最值，可以转化为与直线平行的切线，这两条直线
之间的距离，如下图所示的解题转化思想
1.（22-23 高三·河北石家庄·阶段练习）已知实数
满足
，其中是自然对数的底数，
则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知得点
在直线
上，点
在曲线
上，
的几何意义就
是直线
到曲线
上点的距离最小值的平方，由此能求出
的最小值.
【详解】
实数
满足
，
，
点
在直线
上，点
在曲线
上，
的几何意义就是直线
到曲线
上点的距离最小值的平方，
考查曲线
平行于直线
的切线，
，令
，
解得
，切点为
，该切点到直线
的距离
，就是所求的直线与曲线间
的最小距离，故
的最小值为
.故选：D
【点睛】本题主要考查了代数式最小值的求法，曲线的切线，导数的几何意义，点到直线的距离，两点间
距离公式，属于难题.
2.（2024·湖北·模拟预测）设
，其中
，则
的最小值为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，
，则
可转化为曲线
上的点
与曲线
上的点
之间的距离与
到直线
的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求
解.
【详解】令
，
，则点
在函数
图象上，
在函数
的图象上，
容易知道
图象是抛物线
图象的上半部分，
记抛物线焦点为
，过
作抛物线的准线
的垂线，垂足为
，如图所示：
则
，
当且仅当
在线段
上时，取最小值.
设这时
点坐标为
，又
，
所以有
，解得
，即该点为
，
所以
，因此
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，将
的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的
问题.
3.（21-22 高二下·贵州遵义·阶段练习）若x、a、b 为任意实数，若
，则
最小值为( )
A．
B．9
C．
D．
【答案】C
【分析】由题可知，问题可转化为圆
上动点到函数y＝lnx 图像上动点距离的最小值，
即求函数y＝lnx 上动点到圆心
距离的最小值，数形结合可知当y＝lnx 在
处的切线与
和
连线垂直时为最小值，据此求出m 的值，即可得到答案．
【详解】由
可得
在以
为圆心，1 为半径的圆上，
表示点
与点
的距离的平方，
即表示圆
上动点到函数y＝lnx 图像上动点距离的平方．
设
为y＝lnx 上一点，且在
处的y＝lnx 的切线与
和
连线垂直，可得
，
即有
，
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由
在
时递增，且
，可得m＝1，即切点为
，
圆心与切点的距离为
，
由此可得
的最小值为
．
故选：C．
4.（2015·贵州·二模）实数
满足
，则
的最小值是
【答案】
【分析】根据已知条件得出
，
，进而问题
转化为求直线
上的点到曲线
的最小距离的平方的问题，再利用曲线上的点到直线的距离的最
小值问题及导数的几何意义和点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意可知，
，
.点
满足方程
，点
满足方程
，
从而
的最小值可转化为直线
上的点到曲线
的最小距离的平方.
要使直线
上的点到曲线
的距离的最小值，只需过曲线
作曲线的
切线使得与直线
平行即可，令
，则
。设曲线
上的切点
，则
，解得
或
（舍），
，
所以点
到直线
的距离为
所以直线
上的点到曲线
的最小值为
，所以
的最小值
为.
故答案为：.
【点睛】解决此类题的关键就是将问题转为直线
上的点到曲线
的最小距离的平
方，然后利用再利用曲线上的点到直线的距离的最小值问题即可求解.
题型11 切线法：切线分隔法求零点
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
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(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
函数零点个数求法，可以通过“分涵”，转化为直线与曲线交点的问题。直线与曲线的交点问题，借助切
线寻找分界情况。要注意函数凸凹的情况。如下图的极端情况，要注意区分
1．（23-24 高三·湖南长沙·阶段练习）函数
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，当
时，
，若函数
恰有一个零点，则实数
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件判断函数周期为
，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为
与直线
只有一个交点，结合函数图像，即可求解.
【详解】函数
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，
，
，即
，
的周期为
.
时，
，
，
，
，
周期为4，
，
当
，当
，
做出函数
图像，如下图所示：令
，当
，
，
，两边平方得
，
，
此时直线与
在
函数图像相切，与函数有两个交点，
同理
，直线与
在
函数图像相切，与函数有两个交点，
则要使函数
在
内与直线
只有一个交点，则
满足
，
周期为4，
范围也表示为
，所以所有
的取值范围是
.故选:D.
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【点睛】本题考查函数零点的应用，根据函数的性质求出函数的周期性和对称性，利用数形结合思想是解
决问题的关键，综合性较强，属于难题.
2．（2024 河南·模拟）若函数
，函数
有两个零点，则
的值是
A．0 或
B．
C．0
D．
【答案】A
【详解】函数
有两个零点，即函数
和函数
有两个不同
的交点，做出两函数的图像（如图所示），显然当
时，符合题意；当
时，由图像得两函数在区
间
上有一个交点，则另一交点应是函数
与函数
的切点，设切点坐标为
，则
，解得
，即
；综上所述，
的值是0 或
；故选A.
点睛：本题考查函数的零点和图像交点间的关系，体现了数形结合思想的应用，在处理直线和曲线相切时，
利用导数的几何意义进行求解.
3.（22-23 高三上·山东菏泽·模拟）已知
，若方程
有一个零点，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，按
分别分段探讨方程
的零点情况作答.
【详解】当
时，若
，方程
化为
，
，显然
有异号两个根，而
，
即方程
在
有一个根，
若
，方程
化为
，显然函数
在
上单调递增，
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，因此
在
上有一个零点，
于是得方程
有两个根，不符合题意，
当
时，因
恒成立，即方程
在
上无零点，而
，
因此方程
在
上有一个零点2，则
，
当
时，若方程
在
上有一个零点，即方程
有两个相等的正根，
于是得
，解得
，此时直线
在函数
图象上方，
如图，
即方程
在
上无零点，则
，
显然当
时，方程
在
上无零点，
当
时，令
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，则函数
在
上递减，在
上递增，
，当
，即
时，
，
则函数
在
上单调递减，
，即函数
在
上有唯一零点，
而当
时，方程
等价于
，因此当
时，方程
在
上
有一个零点，当且仅当
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：B
【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考
查所有零点是解决问题的关键.
4.（24-25 高三上·山东德州·期中）已知函数
，若函数
有三个不同
的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
29
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【分析】将问题转化为“
的图象有三个交点”，然后作出
的图象，根据
经过点
以及
与
相切分析出
的临界值，则
的范围可求.
【详解】因为
有三个不同零点，所以
有三个不同实根，
所以
的图象有三个交点，在同一平面直角坐标系中作出
的图象，当
经过点
时，
代入坐标
可得
，解得
；
当
与
的图象相切时，
设切点为
，因为此时
，所以
，
所以切线方程为
，即
，所以
，可得
；
结合图象可知，若
的图象有三个交点，则
，故选：B.
题型12 切线法：切线逼近整数解型
对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。
转化目标：
1. 一侧是可求导画图的函数
2. 一侧是含参型动直线。
3. 通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围
4. 要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。
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1.（2023·四川内江·三模）若关于x 的不等式
有且只有一个整数解，则正实数a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】原不等式可化简为
，设
，
，作出函数
的图象，
由图象可知函数
的图象应介于直线
与直线
之间（可以为直线
，进而求得答案．
【详解】原不等式可化简为
，设
，
，
由
得，
，令
可得
，
时，
，
时，
，
易知函数
在
单调递减，在
单调递增，且
，作出
的图象如下图所示，
而函数
恒过点
，要使关于
的不等式
有且只有一个整数解，则函数
的图象应介于直线
与直线
之间（可以为直线
），
又
，
，
∴
，
，∴
，∴
．故选：
A．
2.（2023·全国·模拟预测）已知函数
，若不等式
恰有3 个整数解，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
B．
31
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C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意将不等式等价转化为
恰有3 个整数解．利用导数研究函数的性质并
画出草图，结合图形列出关于a 的不等式组，解之即可.
【详解】函数
的定义域为
．由
，得
，则不等式
恰有3 个
整数解．
设
，则
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，又
，所以当
时，
，当
时，
，
易知
的图象恒过点
，在同一直角坐标系中，分别作出
与函数
的图象，如图所示．
由图象可知
，要使不等式
恰有3 个整数解，
则
，解得
，故选：A．
3.（21-22 高三下·山东德州·阶段练习）已知不等式
恰有2 个整数解，求实数k 的取值范
围（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】D
【分析】原不等式
等价于，
，设
，
，然后转化
为函数的交点结合图象可求.
【详解】原不等式
等价于，
，设
，
，所以
，得
．当
时，
，所以在
上单调递增，当
时，
，所
以在
上单调递减，
又
，且
时，
，因此
与
的图象如下，
32
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当
时，显然不满足条件，
当
时，若0，1 是不等式的解，只需要满足
，即
，解得
．
当
的切线过点
时，设切点为
，则切线方程为
，该直线
过点
，
，解得
，若
是原不等式的解，则
，
解得
；
所以k 的范围为
.故选：D．
4.（2021·安徽淮北·二模）若关于
的不等式
有且只有两个整数解，则正实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】原不等式可化简为
，设
，
，作出函数
的图象，由图
象可知函数
的图象应介于直线
与直线
之间（可以为直线
，进而求得答案．
【详解】解：原不等式可化简为
，设
，
，
由
得，
，易知函数
在
单调递减，在
单调递增，
作出
的图象如下图所示，
而函数
恒过点
，要使关于
的不等式
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有且只有两个整数解，则函数
的图象应介于直线
与直线
之间（可以为直线
），又
，
，
∴
，
，∴
，∴
．
故选：C．
题型13 切线法：两根型
1.（21-22 高三上·北京昌平·期末）已知函数
，
，曲线
上总存
在两点
，
，使曲线
在
两点处的切线互相平行，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题设可知
且
，令
即总存在
在
上有两个不同的解
，则
，利用基本不等
式求
的范围即可.
【详解】由题设，
且
，令
，
要使
上总存在两点
，
，使曲线
在
两点处的切线互相平行，
∴若
，
，
∴在
上总存在
有两个解分别为
、
，而
的对称轴
，
故
，而
，
∴
，整理得
，
上
，
∴
即可.故选：B
2.（23-24 高二下·河北张家口·期末）过点
作两条直线与曲线
（e 是自然对数的底数）相切，
切点的横坐标分别为
，
，则
的值为（ ）
A．e
B．e
C．3
D．3
【答案】C
【分析】根据过一点作函数图象的切线问题，设切点，得切线方程，再代入定点求解即可.
【详解】由
，得
，
设切点坐标为
，则切线斜率为
，所以切线方程为
.
因为点
在切线上，所以
，即
，
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结合题意，则
，
是上述方程的根，所以根据韦达定理得
.
故选：
.
3.（20-21 高三下·四川南充·阶段练习）关于函数
，下列说法错误的是（ ）
A．
是
的极小值点；
B．函数
有且只有1 个零点；
C．存在正整数
，使得
恒成立；
D．对任意两个正实数
，且
，若
，则
.
【答案】C
【分析】由导数求极值最值可知A 正确，由函数单调性和零点存在性定理可知B 正确，构造
，利用导数判断单调性可知D 正确.
【详解】
（
），
，当
时，
，函数
单调递
减；
时，
，函数
单调递增；所以
是
的极小值点，A 正确；
所以
极小值为
，
图像如下图所示：
设
，因为
是正整数，最小值为1，如上图所示，当
时，有
，
故不满足
恒成立，当
时，由图像可知，
与
的图像必有交点，
故不存在正整数
，使得
恒成立.C 错误；
设
（
），
，因为
，
所以
，
所以
在
上单调递减，
，所以
，使得
，
即函数
有且只有1 个零点，B 正确；
要证
，即证
，不妨设
，由
知，
，
.
设
，
，
，
在
上单调递减，所以
，所以
，即
，
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又因为
，
，
，又因为
在
上单调递增，
所以有
，即
，D 正确.故选：C
4.（23-24 高二下·湖南·期中）已知
，过点
可作曲线
的两条切线，切点为
，
．求
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先设切点坐标，利用导数的几何意义确定切线方程，参变分离得方程
有两不同
解
，构造函数
，判定其单调性求其最小值，化为解
，构造函数
，判定其单调性从而解得
化简待求式得
，即可得结果.
【详解】因为
，设切点坐标为
，
则曲线在该点处的切线方程为：
，
又
在切线上，即
，
则方程
有两不同解
，
令
，
易知
时，
单调递增不合理，故
．
当
时，
，当
时，
单调递减，
时，
单调递增，故
为极小值；
要使
有两解，则
，即
，
令
在
上单调递增，
又因为
，所以
易知
，
又因为
为方程
的解，故有
，
代入可得
，故所求取值范围为
．
故选：A
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题型14 切线法：双切线存在型
1.（22-23 高三·湖北·模拟）若以曲线
上任意一点
为切点作切线，曲线上总存在异于
的
点
，以点
为切点作线，且
，则称曲线
具有“可平行性”，下列曲线具有可平行性
的编号为 ．（写出所有的满足条件的函数的编号）
①
②
③
④
【答案】①③
【详解】因为
；
因为
不存在异于
的点
；
因为
总存在异于
的点
满足条件；
因为
，
不存在异于
的点
；所以选①③
2.（2023·湖北荆州·模拟）在函数
的图像上任意一点处的切线为，若总存在函数
的图像上一点，使得在该点处的切线
满足
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，
∵ex+1＞1，∴
∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，
又﹣2sinx∈[﹣2，2]，
∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，
要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x 上任意一点的切线为l1，
总存在过曲线g（x）=ax+2cosx 上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，
则
，解得﹣1≤a≤2．即a 的取值范围为﹣1≤a≤2．故选D．
点睛：设函数
、
，对任意的
，存在
，使得
，设f(x)在区间
[a,b]上的值域为A，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则AB.
3.（2020·辽宁辽阳·二模）若对函数
的图象上任意一点处的切线，函数
的图象上总存在一点处的切线
，使得
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导得到
范围A，再分
，
，
三种情况讨论得
范围B，最后根据条件
得A 与B 包含关系，计算得到答案.
【详解】由
，得
，所以
，
由
，得
，设该导函数值域为B，
(1)当
时，导函数单调递增，
，
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由题意得
故
，解得
；
(2)当
时，导函数单调递减，
，同理可得
，与
矛盾，舍去；
（3）当
时，不符合题意.
综上所述：
的取值范围为
.故选：
.
4.（2024 湖南·模拟）若对于函数
图象上任意一点处的切线，在函数
的图象上总存在一条切线
，使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导后求出的斜率为
的取值范围，根据两直线垂直关系得到斜率乘积为-1，
从而得到
，再结合l2的斜率
，得到
，比较
端点值得到不等式组，求出
.
【详解】设切线的斜率为
，则
，
当且仅当
时等号成立.设切线l2的斜率为k2，则
，
由于总存在l2，使得
，即总存在k2，使得
，故
，显然
，且
.
则：
，即：
，解得：
，据此有：
.
即实数
的取值范围为
.故选：D.
结束
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