重难点04：破解切线问题：导数中的切线
问题难点解构与思维升级
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................4
题型一、求“在”某一点的切线方程............................................................4
题型二、求“过”某一点的切线方程............................................................5
题型三、利用切线求参数................................................................................6
题型四、切线与距离问题................................................................................7
题型五、求“过”某一点切线条数问题........................................................8
题型六、切线平行或垂直问题........................................................................8
题型七、公切线问题........................................................................................9
题型精析・方法突破提能力..............................................................................10
知识点
1 ：求切线方程的解题技巧
一、已知切点P( x0, y0)（y0= f ( x0)）时的步骤
步骤1：求曲线y = f ( x)的导函数：f '( x)
步骤2：计算切线斜率：k = f '( x0)
步骤3：若k存在，代入点斜式：y −y0=k( x−x0)
若k不存在（即f '( x0)无意义），切线方程：x = x0
知识网络・核心根基深扎牢
一、方法技巧
二、已知切线过非切点Q(m,n)（n≠f (m)）时的步骤
步骤1：设切点P( x0, y0)，代入曲线方程得关系式①：y0= f ( x0)；
步骤2：求导得斜率k = f '( x0)，写切线方程：y −y0= f '( x0)( x−x0)；
步骤3：代入Q(m,n)得方程②：n−y0= f '( x0)(m−x0)；
步骤4：联立①②，解出x0（可能多个解），代入①求y0，代入f '( x0)求k；
步骤5：代入点斜式得切线方程：y −y0=k( x−x0)
知识点
2 ：与切线有关参数问题的解题技巧
一、含参数曲线（如y = f ( x ,t )，t为参数）的切线问题
步骤1：确定切线条件：明确切线已知信息（如过定点Q(m,n)、斜率为k）；
步骤2：求曲线导数：对y = f ( x ,t )求导得y ' = f '( x ,t )；
步骤3：设切点与切线方程：设切点P( x0, y0)，则y0= f ( x0,t )①，切线斜率k = f '( x0,t )
，切线方程为y −y0=k( x−x0)②；
步骤4 ：代入切线条件：若过定点Q(m,n)，将(m,n)代入②得
n−f ( x0,t )= f '( x0,t )(m−x0)③；
步骤5：联立方程求参数：联立①③，结合 “相切时方程有唯一解”；
步骤6：验证与整理：将参数t代入切线方程，得到最终结果。
二、含参数切线（如y =kx +b(t )，t为参数）与定曲线的问题
步骤1：明确定曲线方程：设定曲线为F( x , y)=0；
步骤2：利用相切条件：将切线方程代入定曲线方程，整理为关于x（或y ）的方程
G( x ,t )=0；
步骤3：列相切约束：根据 “相切时方程有唯一解”，列条件，得关于参数t的方程；
步骤4：求解参数t：解关于t的方程，得到参数值（可能多个）；
步骤5：代入切线方程：将参数t代入含参切线方程，得到具体切线方程。
三、切线与参数范围问题（求参数t的取值范围）
步骤1：建立参数关系：按上述步骤 1-4，得到参数t与变量（如切点横坐标x0）的关系式
t =ℎ( x0)；
步骤2：确定变量范围：根据曲线定义域、导数存在性等，确定变量x0的取值范围D；
步骤3：求参数范围：根据t =ℎ( x0)及x0∈D，利用函数单调性、最值等求t的取值范
围。
知识点
3 ：切线条数问题的解题技巧
步骤1：判断点Q(m,n)是否在曲线上
代入曲线方程验证：若n= f (m)，则Q在曲线上；若n≠f (m)，则Q在曲线外。
步骤2：分情况设切点与切线方程
情况 1：Q在曲线上（n= f (m)）
1.求导得切线斜率：对f ( x)求导，得f '( x)，切线斜率k = f '(m)。
2.判断切线条数：若f '(m)存在（即导数在x =m处有定义），则切线条数为1 条；若
f '(m)不存在（如f ( x)=| x|在x =0处），需结合图形判断。
情况 2：Q在曲线外（n≠f (m)）
1.设切点：设切点为P( x0, y0)，代入曲线方程得y0= f ( x0)①。
2.求切线斜率与方程：对f ( x)求导得f '( x)，切线斜率k = f '( x0)，切线方程为
y −y0= f '( x0)( x−x0)②。
3.代入定点列方程：将Q(m,n)代入②，得n−f ( x0)= f '( x0)(m−x0)③。
4.化简方程：整理③为关于x0的一元方程g( x0)=0（如整式方程、分式方程等）。
5.判断解的个数：通过分析g( x0)的单调性、极值、零点存在定理等，统计\( x_0 \)的
不同实数解个数。
6.确定切线条数：x0的实数解个数即为过Q的切线条数（一个x0对应一条切线）。
知识点
4 ：公切线的解题技巧
针对两条曲线C1: y = f ( x)（f ( x)可导）与C2: y = g( x)（g( x)可导），或曲
线与定直线，求它们的公切线条数或公切线方程，核心是利用 “公切线斜率相等”“切线
过两切点” 列方程。
步骤1：设公切线与C1切于P( x1, y1)，与C2切于Q( x2, y2)（x1≠x2，若x1= x2则为
同一点切线，需单独判断）。代入曲线方程得：y1= f ( x1)①，y2= g( x2)②。
步骤2：对f ( x)求导得f '( x)，切线在P 点斜率k = f '( x1)；对g( x)求导得g'( x)，
切线在Q点斜率k = g'( x2)，故f '( x1)= g'( x2)=k③。
步骤3 ：公切线方程可表示为y −y1=k( x−x1)，因Q( x2, y2)在切线上，代入得
y2−y1=k( x2−x1)④
步骤4 ：将①②③代入④，消去y1，y2与k，得到关于x1，x2的方程
ℎ( x1, x2)=0（方程组）。
求解该方程，统计x1，x2的不同实数解组数，每组解对应一条公切线。
步骤5 ：解的组数即为公切线条数；将每组x1，x2代入③求k，再代入切线方程
y −y1=k( x−x1)，得到具体公切线方程。
知识点
5 ：切线的距离问题的解题技巧
一、动定距离最小值问题（曲线上动点到定直线距离）
已知曲线上动点到到定直线的距离（曲线与直线无交点）：设切线与直线平行，找到
切点坐标，用点到直线距离公式求解。
二、动动距离最小值问题（曲线上动点到另一曲线上动点距离）
已知曲线上动点到另一条曲线上动点的距离（如图）：分别设平行的切线，找到切点
坐标（含参数），，要求距离最小值，则需要两切点所在直线与切线垂直，求出参数，再
利用距离公式求解。
【1-1】曲线y = 2 x−1
x +2
在点(1,f (1))处的切线方程为（ ）
A．5 x−9 y −2=0
B．5 x +9 y −8=0
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、求“在”某一点的切线方程
典例探究
【典型例题】曲线y =cos x
x
在点M(
π
2 ,0)处的切线方程是（ ）
A．x +π y +π=0 B．x + πy −π =0
C．2 x +π y −π=0 D．x +π
2 y −π=0
举一反三
C．6 x−3 y −5=0
D．6 x +3 y −7 =0
【1-2】已知f ( x)为奇函数，当x<0时，f ( x)= ln(−x)+3 x，则曲线y = f ( x)在点(1,3)
处的切线方程是（ ）
A．2 x−y −5=0
B．2 x−y +1=0
C．2 x + y +1=0
D．2 x + y +5=0
【1-3】若f (e
x)= x +1
，则函数f ( x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程为（ ）
A．y =e x
B．y =e x +1
C．y = x
D．y = x +1
【典型例题】过点(1,6)且与曲线y =2 x
3+ 4相切的直线方程为（ ）
A．6 x−y =0
B．9 x−y −3=0
C．6 x−y =0或3 x−2 y +9=0
D．9 x−y −3=0或3 x +2 y −15=0
【2-1】过点P(0,−1)作曲线y =ln x的切线，则切点坐标为（ ）
A．(e,1)
B．(1,−1)
C．(1,0)
D．(
1
e ,−1)
【2-2】过点P(−1,0)作曲线y = ❑√x的切线l，则l 的斜率为（ ）
A．1
B．
❑√2
2
C．1
2
D．1
4
题型二、求“过”某一点的切线方程
典例探究
举一反三
【2-3】已知函数f (x)= x ln x，过点(0,−1)作该函数曲线的切线，则该切线方程为（ ）．
A．2 x−y −1=0
B．x + y +1=0
C．x +2 y +2=0
D．x−y −1=0
【3-1】已知函数f (x)=e
mx−x ln x + x (m>0)，若曲线y = f (x)上任意一点P 处切线的斜率
非负，则m 的最小值为（ ）
A．1
2
B．1
e
C．1
D．e
【3-2】若曲线y =e
x+ x在点(0,1)处的切线也是曲线y =ln( x +1)+a的切线，则a=（ ）
A．ln2
B．1
C．ln3
D．2ln2
【3-3】曲线y = x
3+ax在x =1处的切线斜率为2，则a=（ ）
A．−1
B．1
C．0
D．e
题型三、利用切线求参数
典例探究
【典型例题】已知函数f (x)= x
3−2 x
2+(a−1) x的图象与x轴相切，则实数a的所有可能的
值之积为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
举一反三
【4-1】已知函数f (x)= ln x−x +2，直线l: x +2 y −4−2ln2=0，点P 是曲线y = f (x)上
任意一点，点Q 是直线l 上任意一点．设点P，Q 间的距离为d，则下列说法正确的是（
）．
A．d 的最大值为4
5
B．d 的最大值为2❑√5
5
C．d 的最小值为4
5
D．d 的最小值为2❑√5
5
【4-2】若点M是曲线y = 3
2 x
2−2ln x上任意一点，则M到直线x−y −2=0的距离的最小
值为（ ）
A．5 ❑√2
2
B．3 ❑√2
4
C．5 ❑√2
4
D．3 ❑√2
2
【4-3】已知点P是曲线y = x
2−3ln x上任一点，则P到直线x + y + 3
2 =0的距离的最小值是
（ ）
题型四、切线与距离问题
典例探究
【典型例题】已知点P为曲线y = x + 9
x 上的动点，则点P到直线x + y =0的距离的最小值为
（ ）
A．3 ❑√2
B．6
C．9 ❑√2
2
D．9
举一反三
A．7
4
B．7 ❑√2
4
C．3 ❑√2
2
D．7
8
【5-1】过坐标原点作曲线y =(x−a)e
x(a≠0)的切线，若切线有且只有一条，那么a=
（ ）
A．-2
B．-4
C．2
D．4
【5-2】若曲线y =(x−a)e
x有两条过坐标原点的切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A．(−∞,0)∪(4 ,+∞)
B．(−∞,0)∪[4 ,+∞)
C．(−∞,0)∪(4 ,+ ∞)
D．(−∞,0)∪[4 ,+∞)
【5-3】从点A (1,a)可向曲线y = x−x
3引三条不同切线，则a 的取值范围为（ ）
A．−1<a<0
B．0<a<1
C．1<a<2
D．2<a<3
题型五、求“过”某一点切线条数问题
典例探究
【典型例题】若过点P(1,0)可作曲线f ( x)= x
3−ax +3的三条切线，则a 的取值范围为
（ ）
A．(3,4) B．(2,3) C．(−∞,3)∪(4 ,+ ∞) D．(−∞,2)∪(3,+∞)
举一反三
【6-1】曲线y =e
ax+ x在点(0,1)处的切线与直线x−y +2=0垂直，则a=（ ）
A．2
B．0
C．−1
D．−2
【6-2】设曲线f (x)=a ❑√x +2
x在点(1,f (1))处的切线与直线xln2−y +3=0平行，则实数
a=（ ）
A．ln2−2
B．−ln2
C．−2ln2
D．−3ln2
【6-3】函数f (x)=e
x+ax在x =0处的切线与直线2 x−y −5=0平行，则实数a=（ ）
A．−1
B．1
C．1
2
D．1
4
题型六、切线平行或垂直问题
典例探究
【典型例题】已知函数f (x)=ae
x−1+ ln x的图像在点(1,f (1))处的切线与直线
x−2 y −3=0垂直，则实数a的值为（ ）
A．−3
2
B．−2
C．−3
D．1
举一反三
题型七、公切线问题
【6-1】可与曲线y =e
x+1和y =e
x +1的公切线l垂直的直线方程为（ ）
A．x +e y +7 =0
B．e x + y −7 =0
C．x−y +1=0
D．x + y −1=0
【6-2】曲线y =ln(2 x)与曲线y =ln(x +2)的公切线的斜率为（ ）
A．ln2
2
B．ln2
C．1
D．2
【6-3】已知函数f (x)=e
x−1,g(x)= 1
4 e x
2，若直线l是曲线y = f (x)与曲线y = g(x)的公切
线，则l的方程为（ ）
A．e x−y =0
B．e x−y −e=0
C．x−y =0
D．x−y −1=0
【突破提升训练・1】已知函数f (x)=e
x+ x
2，则曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程为
（ ）
A．y = x
B．y = x +1
C．y =2 x
D．y =3 x−2
典例探究
【典型例题】函数f (x)=2+ln x与函数g(x)=e
x公切线的斜率为（ ）
A．1或−e
2
B．±e
C．1或e
D．1或e
2
举一反三
题型精析・方法突破提能力
【突破提升训练・2】过点A(0,1)且与曲线f ( x)= x
3+2 x −1相切的直线方程是（ ）
A．y =5 x +1
B．y =2 x +1
C．y = x +1
D．y =−2 x +1
【突破提升训练・3】过坐标原点作曲线y =e
x−2+1的切线，则切线方程为（ ）
A．y = x
B．y =2 x
C．y = 1
e
2 x
D．y =e x
【突破提升训练・4】曲线y =2 x ln x +3过点(−1
2 ,0)
的切线方程是（ ）
A．2 x + y +1=0
B．2 x−y +1=0
C．2 x + 4 y +1=0
D．2 x−4 y +1=0
【突破提升训练・5】已知曲线y = x
2
4 −3ln x +1的一条切线的斜率为1
2，则切点的横坐标
为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．3 或−2
【突破提升训练・6】已知曲线y =ax + ln x在点(1,f (1))处的切线方程为y =2 x +b，则b值
为（ ）
A．0
B．−1
C．1
D．2
【突破提升训练・7】若直线y =2 x +1是曲线y = ln x + x−a的切线，则实数a=（ ）
A．−1
B．1
C．−2
D．2
【突破提升训练・8】设点P 是曲线f (x)=(x +1)
2−ln x上的任意一点，则点P 到直线
3 x−y −4 =0的距离的最小值为（ ）
A．
❑√10
2
B．
❑√10
4
C．
❑√5
3
D．
❑√5
2
【突破提升训练・9】曲线y = x
4上的点到直线8 x−16 y −7=0的距离的最小值为（ ）
A．
❑√5
20
B．
❑√5
10
C．
❑√5
40
D．
❑√5
5
【突破提升训练・10】点P是曲线y = x
2−ln x上任意一点，则点P到直线y = x−4的距离
的最小值是（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．2❑√2
【突破提升训练・11】过点P(1, −1)作曲线y = x
3−x的切线，不同的切线条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【突破提升训练・12】过点P(1,0)且与抛物线C : x
2= y有且仅有1 个公共点的直线l的条数
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【突破提升训练・13】已知 f (x)= x + a
x
，若 y = f (x) 存在两条过(2,0)的切线，则 a
的取值范围为（ ）
A．(−∞,−4)∪(0,+∞)
B．(−4,0)
C．(−∞,−8)∪(0,+ ∞)
D．(−8,0)
【突破提升训练・14】函数f (x)= x
2−a ln x (a∈R)在x =1处的切线与直线y =−6 x +10
平行，则a的值为（ ）
A．-4
B．-5
C．7
D．8
【突破提升训练・15】若曲线y = x
2−a ln x在点P(1,1)处的切线与直线y = x−2垂直，则
实数a 的值为（ ）
A．1
B．❑√5
C．2
D．3
【突破提升训练・16】若曲线y =−❑√x +1在点(0,−1)处的切线与曲线y = ln x在点P处的
切线垂直，则点P的坐标为（ ）
A．(e,1)
B．(1,0)
C．(2,ln 2)
D．(
1
2 ,−ln 2)
【突破提升训练・17】已知函数f (x)= ln x +ax．
(1)若a=1，求f (x)的图象在x =1处的切线方程；
(2)讨论f (x)在(0,+∞)上的单调性．
【突破提升训练・18】已知函数f (x)= 4 aln x +2 x
2−1(a∈R)．
(1)若a=−3
4
，求函数f (x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)讨论函数f (x)的单调性．
【突破提升训练・19】已知函数f (x)=e
x−x−1，g(x)=ln x−x +1.证明：f (x)和g(x)的
图象有两条公切线.
【突破提升训练・20】已知函数f (x)=e
x和g(x)= ln (x +m)
(1)若m≤2，证明：f (x)−g(x)>0
(2)若m=0，试判断f (x)和g(x)的公切线条数
【突破提升训练・21】已知函数f ( x)= ln x , g( x)=−1
4 ( x−1)
2−1．求曲线y = f ( x)与
y = g( x)的公切线方程．
【突破提升训练・22】已知函数f (x)=ae
x，g(x)= ln x +b(a,b∈R).
(1)当b=1时，f (x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)证明：当a=e
−1，b<1时，曲线y = f (x)与曲线y = g(x)总存在两条公切线；
(3)若直线l1，l2是曲线y = f (x)与y = g(x)的两条公切线，且l1，l2的斜率之积为1，求
a，b 的关系式.
【突破提升训练・23】已知函数f (x)= x
2与g(x)=−x
2+2 x +a的图象有两条公切线，求实
数a的取值范围.
【突破提升训练・24】已知函数f (x)=e
x+ x , g(x)=a x
2+2 x +1.
(1)当a= 1
2
时，讨论函数F (x)= f (x)−g(x)的单调性；
(2)当a<0时，求曲线y = f (x)与y = g(x)的公切线方程.
【突破提升训练・25】已知函数f ( x)=e
x−1.
（1）设函数ℎ( x)= xf ( x)，求ℎ( x)的单调区间；
（2）判断函数y = f ( x)与g( x)= ln x的图象是否存在公切线，若存在，这样的切线有
几条，为什么？若不存在，请说明理由.
