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平面向量的数量积及应用
目录
题型一： 平面向量数量积的运算..................................................................................................4
题型二： 求平面向量的模...............................................................................................................6
题型三： 向量积求范围...................................................................................................................9
题型四： 平面向量中的投影.........................................................................................................16
题型五： 求平面向量的夹角.........................................................................................................18
题型六： 平面向量的垂直问题....................................................................................................20
题型七： 平面向量与三角函数....................................................................................................22
1．向量数量积的定义
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b(如图
所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．
(2)向量的平行与垂直：当θ＝0 时，a 与b 同向；当θ＝π 时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹
角是，我们说a 与b 垂直，记作a⊥b.
(3)向量的数量积：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ 叫做
向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b，即a · b ＝
| a || b |cos
θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．向量的投影
知识点总结
1
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(1)定义：如图，设a，b 是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下的变换：过AB的起点A
和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，则称上述变换为向
量a 向向量b 投影，A1B1叫做向量a 在向量b 上的投影向量．
(2)计算：设与b 方向相同的单位向量为e，a 与b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影
向量是| a |cos
θ e .
3．向量数量积的性质
设a，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝| a |cos
θ .
(2)a⊥b⇔a · b ＝
0 .
(3)当a 与b 同向时，a·b＝| a || b | ；当a 与b 反向时，a·b＝－
| a || b | .特别地，a·a＝| a | 2 或|a|＝.
(4)|a·b|≤| a || b | .
4．向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c 和实数λ，有
(1)a·b＝b · a ；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a ·( λ b ) ；
(3)(a＋b)·c＝a · c ＋
b · c .
5．数量积的坐标表示
2
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设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a·b＝x1x2＋
y 1y2；a2＝x ＋
y ；
|a|＝.
(2)a⊥b⇔x1x2＋
y 1y2＝
0 .
(3)|x1x2＋y1y2|≤.
(4)设θ 是a 与b 的夹角，则
cos θ＝＝.
常用结论与知识拓展
1．数量积的有关结论
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a2＋b2＝0⇔a＝0 且b＝0.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a 与b 的夹角为锐角或0.
(2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a 与b 的夹角为钝角或π.
题型一：平面向量数量积的运算
【要点讲解】(1)利用定义：a·b＝| a || b |cos
〈
a ，
b 〉
．
例题精讲
3
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(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋
y 1y2．
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
【例1】若向量
，且
，则
＝（ ）
A．﹣26
B．﹣13
C．26
D．13
【解答】解：由向量
，
因为
，可得x×2﹣（﹣3）×（﹣4）＝0，
解得x＝6，即
，
所以
．
故选：A．
【变式训练1】在△ABC 中，AB ＝2 ，AC ＝3 ，
，M 是BC 中点，则
＝
（ ）
A．
B．5
C．6
D．7
【解答】解：由于M 是BC 中点，则
，
所以
＝
．
故选：A．
【变式训练2】已知
是边长为1 的等边三角形，点
、
分别是边
、
的中点，
连接
并延长到点
，使得
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，
4
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、
分别是边
、
的中点，且
，
．
故选：
．
【变式训练3】如图，在平行四边形
中，已知
，
，
，
，则
的值是 ．
【解答】解：
，
，
，
又
，
，
，
故
，
故答案为：22．
5
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【变式训练4】在等腰梯形
中，已知
，
，
，
，
点
和
分别在线段
和
上，且
，
，则
的值为
．
【解答】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
题型二：求平面向量的模
【要点讲解】(1)定义法：|a|＝；
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝．
【例2】若向量
，
满足
，
，
，则
．
【解答】解：由题意，可得
，
6
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因为
，
，所以
，
所以
．
故答案为：
．
【变式训练1】已知向量
，
的夹角为
，
，
，则
．
【解答】解：【解法一】向量
，
的夹角为
，且
，
，
，
．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形
；
在
中，由余弦定理得
，
即
．
故答案为：
．
【变式训练2】已知向量
，
，则
7
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A．
B．2
C．
D．50
【解答】解：
，
，
，
，
，
，
．
故选：
．
【变式训练3】已知正方形
的边长为2，点
满足
，则
；
．
【解答】解：由
，可得
为
的中点，
则
，
，
，
故答案为：
，
．
【变式训练4】平面向量
与
的夹角为
，
，
，则
A．
B．
C．4
D．12
【解答】解：由已知
，
，
．
故选：
．
【变式训练5】已知向量
，
满足
，
，且
，则
8
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．
【解答】解：设
．
向量
，
满足
，
，且
，
，
，
，
，
，化为
．
解得
．
故答案为：
．
【变式训练6】设
，
，向量
，
，
，且
，
，则
A．
B．
C．
D．10
【解答】解：
，且
，
，解得
．
又
，且
，
，解之得
，
由此可得
，
，
，
可得
．
故选：
．
9
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题型三：向量积求范围
【例3】已知边长为2 的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足
，
，则
的最大值为（ ）
A．0
B．
C．
D．3
【解答】解：由
，可得
，
设∠DAB＝θ，
可得
＝
＝
＝
＝cosθ﹣1
＝
，
所以
，
因为θ∈[0，π]，
所以
，
以AC 与BD 交点O 为原点，以AC，BD 所在的直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标
系，
如图所示，
则
，
，B（0，﹣1），
设F（0，t），且﹣1≤t≤1，
则
，
，
，
当t＝1 时，
．
故选：D．
10
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【变式训练1】已知
是边长为2 的等边三角形，
为平面
内一点，则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，以
中点为坐标原点，
则
，
，
，
设
，则
，
，
，
则
当
，
时，取得最小值
，
方法2：取
的中点
，
的中点
，
则，
，
当且仅当
与
重合时，取得等号．
故选：
．
11
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【变式训练2】如图，在平面四边形
中，
，
，
，
．若点
为边
上的动点，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．3
【解答】解：如图所示，以
为原点，以
所在的直线为
轴，
以
所在的直线为
轴，
过点
做
轴，过点
做
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
12
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，
，
，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
当
时，取得最小值为
．
故选：
．
【变式训练3】如图，在四边形
中，
，
，
，且
，
，则实数
的值为 ，若
，
是线段
上的动点，且
，
则
的最小值为 ．
13
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【解答】解：以
为原点，以
为
轴建立如图所示的直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，解得
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，其中
，
14
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，
，
，
，
，当
时取得最小值，最小
值为
，
故答案为：
，
．
【变式训练4】已知
是边长为2 的正六边形
内的一点，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：画出图形如图，
，它的几何意义是
的长度与
在
向量的投影的
乘积，显然，
在
处时，取得最大值，
，可得
，最大值为6，
在
处取得最小值，
，最小值为
，
是边长为2 的正六边形
内的一点，
所以
的取值范围是
．
故选：
．
15
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【变式训练5】已知直角梯形
中，
，
，
，
，
是腰
上的动点，则
的最小值为 ．
【解答】解：如图，以直线
，
分别为
，
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
设
，
则
，
，
．
故答案为5．
【变式训练6】在边长为1 的等边三角形
中，
为线段
上的动点，
且交
于点
，
且交
于点
，则
的值为 ；
的最小值为 ．
【解答】解：如图，设
，
16
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是边长为1 等边三角形，
，
，
，
，
，
，
是边长为
等边三角形，
，
，
则
，
，
，
的最小值为
．
故答案为：1，
．
【变式训练7】如图，在矩形
中，
，
，点
为
的中点，点
在
边
上，若
，则
的值是 ．
【解答】解：
，
17
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，
，
，
，
故答案为：
题型四：平面向量中的投影
【例4】已知点A（﹣2，3），B（1，﹣1），则
在
方向上的数量投影为 ．
【解答】解：点A（﹣2，3），B（1，﹣1），
则
，
，
，|
|＝
，
在
方向上的数量投影为
．
故答案为：
．
【变式训练1】已知
，
，
，则
在
方向上的投影是 ．
【解答】解：
在
方向上的投影是
．
故答案为：
．
设向量
，
，则
在
上的投影为
A．
B．
C．1
D．2
【解答】解：
，
，
，
，
在
上的投影为
．
18
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故选：
．
【变式训练2】已知向量
，则向量在向量上的投影向
量为
．
【
解
答
】
解
：
由
题
意
，
，
故向量在向量上的投影向量为
．
故答案为：
．
【变式训练3】已知
的外接圆圆心为
，且
，
，则向量
在向量
上的投影向量为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
是
的中点，
即
是
的外接圆的直径，
，
是等边三角形，
则
，则
，
则向量
在向量
上的投影为
，
则对应的投影向量为
，
故选：
．
19
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题型五：求平面向量的夹角
【要点讲解】(1)定义法：cos θ＝，θ 的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
【例5】已知向量
，
满足
，
，
，则
，
A．
B．
C．
D．
【解答】解：向量
，
满足
，
，
，
可得
，
，
．
故选：
．
【变式训练1】已知
，
为单位向量，且
，若
，则
，
．
【解答】解：
，
，
，
，
．
20
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故答案为：
【变式训练2】若向量
，
的夹角为
，且
，
，则
与
的夹角为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
向量
，
的夹角为
，且
，
，
．
，
．
两向量的夹角
的取值范围是
，
，
，
与
的夹角为
．
故选：
．
【变式训练3】已知向量
，
满足
，
，则向量
，
的夹角为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，设向量
，
的夹角为
，
若
，则
，
，
若
，则
，
解可得
，
21
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又由
，故
，
故选：
．
【变式训练4】已知
，
，
．
（1）求
的值；
（2）求
与
的夹角．
【解答】解
，
，
，
，解得
．
（1）
；
（
2
）
设
与
的
夹
角
，
则
，
又
，
，
．
题型六：平面向量的垂直问题
【要点讲解】(1)依据：非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(2)方法：根据两个向量垂直的充要条件判断或列出相应的关系式，求解参数．
【例6】已知两个单位向量
的夹角为
，且满足
，则实数
的值为
A．1
B．
C．
D．2
【解答】解：由单位向量
的夹角为
，
22
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则
，
由
，
可得，
，
即
，
则
，
解得
．
故选：
．
【变式训练1】若非零向量
、
满足
，且
，则
与
的夹角为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，设
与
的夹角为
，
非零向量
、
满足
，则有
，变形可得
，
又由
，则有
，即
，即
，
则有
，
又由
，则
，
故选：
．
【变式训练2】已知向量
，
，则
的最大值是
A．7
B．5
C．4
D．1
【解答】解：向量
，
，
23
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则
，其中
．
，
的最大值是5．
故选：
．
【变式训练3】已知非零向量
，
满足
，且
，则
与
的夹
角为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，设
与
的夹角为
，
因为
，
，
所以
，变形可得
．
则
．
又由
，
，所以
．
故选：
．
【变式训练4】已知平面向量
，
，且
，则
A．2
B．3
C．4
D．5
【解答】解：由平面向量
，可得
，
由
，可得
，
即
，
则
，
，
故选：
．
24
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题型七：平面向量与三角函数
【要点讲解】向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，解决三角函数问题，要注
意向量夹角与三角形内角的区别与联系．
【例7】在
中，
，
，
为线段
上的动点
且
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
由正弦定理可得，
，
再由余弦定理可得，
，整理得
，即
，
又
，
，即
，得
，
，得
，从而
．
以
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，
可得
，
，
，
，
为线段
上的一点，则存在实数
使得
，
，
，
设
，
，
，
，
，
25
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由
，
，
，
，
得
，
，则
，
求
的最小值，则
，
均不为0，
则
．
当且仅当
时等号成立．
故选：
．
【例8】在平面直角坐标系
中，已知向量
，
，
，
．
（1）若
，求
的值；
（2）若
与
的夹角为
，求
的值．
【解答】解：（1）若
，
则
，
，
，
即
，即
；
26
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（2 ）
，
，
，
，
，
若
与
的夹角为
，
则
，
即
，
则
，
．
，
．
则
即
．
【变式训练1】已知
，
，
．
（1）若
，求证：
；
（2）设
，若
，求
，
的值．
【解答】解：（1）由
，
，
则
，
由
，
得
．
27
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所以
．即
；
（2）由
得
，①
②得：
．
因为
，所以
．
所以
，
，
代入②得：
．
因为
．所以
．
所以，
．
【变式训练2】设向量
，
，
．
（1）若
，求
的值；
（2）设函数
，求
的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得
，
，
由
，可得
，即
．
，
，
，即
．
（
2
）
函
数
，
，
．
，
，
，
，
28
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当
，
取得最大值为
．
【变式训练3】已知向量
，
，
，
设函数
的图象关于直线
对称，其中
，
为常数，且
，
．
（1）求函数
的最小正周期；
（2）若
的图象经过点
，
求函数
在区间
，
上的取值范围．
【
解
答
】
解
：
（
1
）
图象关于直线
对称，
，
，又
，
时，
函数
的最小正周期为
（2）
29
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由
，
，
，
，
故函数
在区间
，
上的取值范围为
，
一．选择题（共6 小题）
1．已知向量
，
的夹角为
，
，
，则
A．2
B．3
C．6
D．12
【解答】解：根据题意可得
．
故选：
．
2．已知向量
，
满足
，则向量
在向量
上的投影向量为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，向量
，
满足
，则有
，
变形可得
，则有
，
故向量
在向量
上的投影向量为
．
故选：
．
3．已知正方形
的边长为2，点
满足
，则
的值为
课后练习
30
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A．2
B．
C．4
D．
【解答】解：以
为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知可得
，
，
，
，
又
，所以
，
故
，
．
故选：
．
4．若
，
，向量
与向量
的夹角为
，则向量
在向量
上的投影向量为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
在
上的投影向量为：
．
故选：
．
5．已知向量
，
满足
，
，且
，则
与
的夹角是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，设
与
的夹角为
，
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向
量
，
满
足
，
，
若
，
则
，
解可得：
，
又由
，则
，
故选：
．
6．若向量
，
满足
，
，
，则
A．2
B．3
C．4
D．5
【解答】解：因为
，
，
，
所以
，
所以
，解得
．
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
7．对于任意向量
，
，
，下列命题中正确的是
A．若
，则
与
中至少有一个为
B．向量
与向量
夹角的范围是
，
C．若
，则
D．
【解答】解：
，当
为非零向量，且
时，
，所以
选项错误．
，向量
与向量
夹角的范围是
，
，所以
选项错误．
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，若
，则
，
选项正确．
，
，
选项正确．
故选：
．
8．已知平面向量
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
．
所以
，解得：
，
错误；
所以
，
，
正确；
则
，
正确；
因为
，所以
，
正确；
故选：
．
三．填空题（共4 小题）
9．已知
，
，向量
在
方向上的投影向量是
是与
方向相同的单位向
量），则
12
．
【解答】解：由题意知，
在
方向上的投影向量为
，
所以
．
故答案为：12．
10．已知
，则
21
．
【解答】解：因为
，
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所以
，
所以
．
故答案为：21．
11．在矩形
中
，
，点
为边
的中点，点
为线段
上的动点，
则
的取值范围是
，
．
【解答】解：以
为坐标原点，
，
分别为
，
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，
，
，
，其中
，
，
所以
，
，
所以
，
．
故答案为：
，
．
12．向量
在向量
方向上的投影坐标为 （﹣
1 ，﹣
2 ）
．
【解答】解：cos＜，＞＝
＝﹣
，| |＝
，
与同向的单位向量为
＝（
，
），
所以向量
在向量
方向上的投影坐标为| |cos＜，＞•
＝
（﹣1，﹣2）．
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故答案为：（﹣1，﹣2）．
四．解答题（共3 小题）
13．已知向量
，
，
．
（1）当
时，求
的值；
（2）求
的取值范围．
【解答】解：（1）因为
，
所以
，
得
，
又因为
，
所以
．
（2）
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
故
的取值范围为
，
．
14．（1）已知向量
，
．若
，求
的值；
（2）已知
，
，
，判断
与
是否共线？如果共线，它们的方向
相同还是相反？
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【解答】解：（1）根据题意，向量
，
．
则
，
，
若
，则有
，
解可得
．
（2）因为
，
，
，
，
，
，
易得
，所以
与
共线且方向相同．
15．已知平面内的三个向量
，
，
．
（1）若
，求
的值；
（2）若向量
与向量
共线，求实数
的值．
【解答】解：（1）根据题意，向量
，
，
．
若
，则
，
，
，
，
则有
，解可得
，故
；
（2）根据题意，
，
，
若向量
与向量
共线，则有
，
解可得：
．
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