文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题04 函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类
目录
题型一：奇偶性基础.............................................................................................................................................................1
题型二：单调性基础.............................................................................................................................................................3
题型三：周期性基础.............................................................................................................................................................4
题型四：中心与轴对称应用：左右平移.............................................................................................................................5
题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型.........................................................................................................................6
题型六：中心与轴对称应用：轴对称型.............................................................................................................................7
题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称.........................................................................................................................7
题型八：中心与轴对称应用：中心对称.............................................................................................................................8
题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和.................................................................................................................9
题型十：中心与轴应用：“隐对称点”...........................................................................................................................10
题型十一：双函数型中心、轴互相“传递”...................................................................................................................10
题型十二：函数型不等式：“优函数”型.......................................................................................................................11
题型十三：类周期型函数...................................................................................................................................................12
题型十四：“放大镜”函数类周期性质...........................................................................................................................13
题型一：奇偶性基础
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1.（2023·全国·高三专题练习）若
，
，
分别是定义在R 上的偶函数、奇函数、偶函数，则
下列函数不是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2023·全国·高三专题练习）函数
的定义域为
，
是偶函数，
是奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2023 春·湖北武汉·高三武汉市开发区一中校考阶段练习）已知
是定义域为
的函数，且
是奇函数，
是偶函数，满足
，若对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
判定函数的奇偶性的常见方法：
（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证
货等价形式
是否成立；
（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于
轴对称，可得函数为
偶函数；
（3）性质法：设
的定义域分别为
，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论
（在定义域内）：
1.加减型：
奇+奇→ 奇
偶+偶→ 偶
奇-奇→ 奇
偶-偶→ 偶
奇+偶→ 非
奇-偶→ 非
2.乘除型（乘除经验结论一致）
奇X
奇→ 偶
偶X
偶→ 偶
奇X
偶→ 奇
奇X
偶X
奇→ =偶
简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变
3.上下平移型：
奇+c→ 非
偶+c→ 偶
4.复合函数：
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
D．
4.（2023·吉林延边·高三延边二中校考开学考试）函数
是
的奇函数，
是常数．不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
5.（2023 秋·山西·高三校联考期中）已知函数
为奇函数，则
的值是（ ）
A．0
B．
C．12
D．10
6.（2024 年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
题型二：单调性基础
1.（21-22 高三·全国·课后作业）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2 [
∈a，b](x1≠x2)，下
列结论中不正确的是（ ）
A．
>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)
D．
>0
2.（23-24 高三·福建厦门·模拟）已知定义在
上的奇函数
满足①
；②
，
，且
，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
单调性的运算关系：
①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ；
②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ；
单调性的定义的等价形式：设x1，x2 [
∈a，b]，那么有：
>0
①
⇔f(x)是[a,b]上的
增函数
；
<0
②
⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__；
(3)复合函数单调性结论： 同增异减 ．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
D．
3.（22-23 高一上·重庆沙坪坝·期末）已知
为偶函数，若对任意
，
，总有
成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（22-23 高三·浙江·模拟）设
，
都是
上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（ ）
①若
单调递增，
单调递增，则
单调递增；
②若
单调递增，
单调递减，则
单调递增；
③若
单调递减，
单调递增，则
单调递减；
④若
单调递减，
单调递减，则
单调递减.
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
5.（23-24 高三·河北邢台·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足
，对任意的
，且
，
恒成立，则不等式
的
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：周期性基础
1.（22-23 高三·重庆沙坪坝·模拟）函数
的定义域为
，且
，
.若对任意实数
，
都
有
，则
（ ）
A．
B．-1
C．0
D．1
2.（2023 高三·全国·专题练习）定义在R 上的非常数函数满足：
为偶函数，且
，则
一定是( )
A．是偶函数，也是周期函数
B．是偶函数，但不是周期函数
周期性
①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b.
②常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．是奇函数，也是周期函数
D．是奇函数，但不是周期函数
3.（23-24 高三 ·湖南衡阳·阶段练习）已知函数
满足
，对任意实数x，y 都有
成立，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
4.（22-23 高三 安徽·阶段练习）已知
是定义在
上的函数，
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（21-22 高三·贵州六盘水·）函数
的定义域为
，若
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：中心与轴对称应用：左右平移
1.（2023·四川南充·阆中中学校考模拟预测）设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为
偶函数，当
时，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.．（2023·全国·高三专题练习）已知
为R 上的奇函数，
为R 上的偶函数，且当
时，
，若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移
(1)平移变换：上加下减，左加右减
(2)对称变换
①y＝f(x) ――――――――→y＝－
f ( x ) ；
②y＝f(x) ―――――――――→y＝f ( －
x ) ；
③y＝f(x) ―――――――――→y＝－
f ( －
x ) ；
④y＝ax (a>0 且a≠1) ――――――――→y＝logax ( a >0
且
a ≠1)
．
⑤y＝f(x) ――――――――――――――――→y＝| f ( x )| .
⑥y＝f(x) ――――――――――→y＝f (| x |) ．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2023·陕西·统考二模）已知
是定义在
上的奇函数，若
为偶函数且
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．6
5.（2022 秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数
的定义域为
，若
为奇函数，
为偶
函数．设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型
1.（2023·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知
是定义域为
的函数，
为奇函数，
为偶函
数，则有①
为奇函数，②
关于
对称，③
关于点
对称，④
，则上述推
断正确的是（ ）
A．②③
B．①④
C．②③④
D．①②④
2.（2022 秋·河北·高三校联考阶段练习）设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶
函数，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2023 春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知定义域为R 的函数
满足
是奇函数，
是偶函数，则下列结论错误的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
的图象关于点
对称
C．
D．
的一个周期为8
4.（2023 秋·湖北恩施·高三校联考模拟）已知函数
及其导函数
的定义域都为
，且
为
带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移
平移变换：左右或者上下
左加右减
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
偶函数，
为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2022 秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知
及其导函数
的定义域均为
，若
为奇函数，
为偶函数．设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：中心与轴对称应用：轴对称型
1.（2023 上·山东济宁·高三统考期中）已知函数
关于直线
对称，则
．
2.（2023 上·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知定义在
上的函数
满足
，
若方程
有且仅有三个根，且
为其一个根，则其它两根为 .
3.（2023 下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）已知函数
满足
，且当
时，
，设
，则
的大小关系是 ．
4.（广东省七校联合体2020-2021 学年高二下学期2 月联考数学试题）若函数
有
且只有一个零点，又点
在动直线
上的投影为点
若点
，那么
的最
小值为__________.
5（四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试2021 届高三第一学期11 月月考）.已知
，
，
，则实数m 的取值范
围是（ ）
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称
1.（2023 上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数
的图像与函数
的图像关于
直线
对称，则函数
的单调递增区间是 .
2.（2023·高三单元测试）函数
与
的图象关于直线
对称,
,则
．
3.（2022 下·辽宁·高二瓦房店市高级中学校联考模拟）已知函数
是定义在
上的奇函数，函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
．
4.（2023 上·上海闵行·高三校联考期中）设曲线
与函数
的图像关于直线
对
称，设曲线
仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是 .
5.（2022·湖南永州·统考三模）已知直线:
，函数
，若
存在切线与关于直
线
对称，则
．
题型八：中心与轴对称应用：中心对称
轴变换，又叫直线镜面变换：
1、
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1. （湖北省武汉二中2022-2023 学年高三下学期4 月第三次测试数学试题）已知函数
，不等式
对
恒成立，则
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
2. （四川省达州市大竹县大竹中学2020-2021 学年高一下学期5 月月考数学试题）已知函数
，
，
若
使
关
于
的
不
等
式
成立，则实数
的范围为___________.
3.函数
，若
最大值为
，最小值为
，
，则
的取值
范围是______.
4.（广东省深圳市人大附中学深圳学校2022-2023 学年高三数学试题）已知函数
满足
，若函数
与
图像的交点为
，则
____________.
5.（江苏省南京师范大学附属中学2022-2023 学年高三模拟检测2 数学试题）已知函数
．
若存在
使得不等式
成立，则实数
的取值范围是________．
题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和
中心对称：
（1）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（2）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（3）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
.
函数变换，又叫原点变换：
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1.（2022·广东惠州·模拟）已知
是定义在
上的奇函数， 且
， 若
，则
（ ）
A．3
B．0
C．3
D．2018
2.（2022·广西南宁·一模）定义在
上的偶函数
满足：对任意的实数
都有
，且
，
．则
的值为（ ）
A．2017
B．1010
C．1008
D．2
3.（2023·山东·一模）已知
是定义在
上的奇函数,且
为偶函数,若
,则
（ ）
A．4
B．2
C．0
D．-2
4.（22-23 高三上·湖南永州·阶段练习）已知定义在
上的奇函数
满足
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．2020
5.（2023·广东梅州·三模）已知函数
是定义在
上的奇函数，
为偶函数，且
，则
（ ）
A．10
B．20
C．15
D．5
题型十：中心与轴应用：“隐对称点”
1.（21-22 高三·云南红河·模拟）对于函数
，若存在
，使得
，则称点
与点
是函数
的一对“隐对称点”，若函数
，存在“隐对称点”，
则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
类比正弦：
①两中心
②两垂直轴
③一个中心
一条轴
两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解，
具有综合性，难度较大．
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2.（2022 广西柳州·一模）已知函数
与
的图像上存在关于
轴对称的对称点，则
实数
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
3.（2022 辽宁沈阳·模拟预测）函数
与
的图象上存在关于
轴的对称点，则实数
的
取值范围为（ ）( 为自然对数的底)
A．
B．
C．
D．
4.（2023·河北衡水·一模）若函数
图象上存在两个点
，
关于原点对称，则对称点
为函数
的“孪生点对”，且点
对
与可看作同一个“孪生点对”.若函数
恰好有两个“孪生点对”，则实数
的值为
A．0
B．2
C．4
D．6
5.（22-23 高三下·上海宝山·期中）若存在
与正数
，使
成立，则称“函数
在
处存在距离为
的对称点”．设
（
），若对于任意
，总存在正数
，
使得“函数
在
处存在距离为
的对称点”，则实数
的取值范围是…
A．
B．
C．
D．
题型十一：双函数型中心、轴互相“传递”
1.（22-23 高三上·江西·阶段练习）已知函数
的定义域均为R，且满足
则
（ ）
A．
3180
B．795
C．1590
D．
1590
2.（23-24 高三上·辽宁·阶段练习）已知函数
，
的定义域均为R，且
，
双函数性质：
1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质
2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系
传递中心，对称轴，与周期
若函数
关于
轴对称，关于
中心对称，则函数
的周期为
，
若函数
关于
轴对称，关于
轴对称，则函数
的周期为
，
若函数
关于
中心对称，关于
中心对称，则函数
的周期为
.
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，若
的图像关于
对称，
，则
（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
3.（2023·辽宁·模拟预测）已知函数
，
的定义域均为R，
是奇函数，且
，
，则下列结论正确的是 ．（只填序号）
①
为偶函数；②
为奇函数；③
；④
.
4.（2023·河南·模拟预测）已知
为定义在
上的奇函数，
是
的导函数，
，
，则以下命题：①
是偶函数；②
；③
的图象的一条对称轴是
；
④
，其中正确的序号是 ．
5.（2023·四川南充·二模）设定义在
上的函数
和
.若
，
，
且
为奇函数，则
.
题型十二：函数型不等式：“优函数”型
1. （2024 年高考1 卷）已知函数为
的定义域为R ，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2021·四川德阳·一模）已知函数
，若
，
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2020 高三·全国·专题练习）已知
是定义在R 上的函数，
，且对任意
都有：
与
成立，若
，则
．
4.（22-23 高二上·上海浦东新·开学考试）设
是定义在
上的函数，且对于任意的整数
，满足
有
，则称
为优函数。
类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
，则
的值为. .
5.（22-23 高三·北京顺义·模拟）如果函数
满足对任意s，
，有
，则称
为优函数．给出下列四个结论：
①
为优函数；
②若
为优函数，则
；
③若
为优函数，则
在
上单调递增；
④若
在
上单调递减，则
为优函数．
其中，所有正确结论的序号是 ．
题型十三：类周期型函数
1.（2023·上海·统考模拟预测）
在
上非严格递增，满足
，
若存在符合上述要求的函数
及实数
，满足
，则
的取值范围是 .
2.（2021 下·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考期末）已知函数
，
若对于正数
，直线
与函数
的图像恰好有
个不同的交点，则
.
3.已知f (x)=¿且方程f (x)= x恰有两解.则实数a的取值范围是______.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4.（2023 上·四川资阳·高三统考模拟）已知函数
，函数
在
处的切线为
，若
，则与
的图象的公共点个数为 ．
5.（福建省长汀县第一中学2022 届高三上学期第二次月考数学试题）定义在[0,+∞)上的函数f (x)满足
f (x)=¿.
（i）f (2021)=___________.
（ii）若方程f (x)−kx =0有且只有两个解，则实数k 的取值范围是___________.
题型十四：“放大镜”函数类周期性质
1.已知函数f (x)=¿当x∈[−1,1]时，f (x)= f (−x)，当x∈R时，f (x + 4)=2f (x)，若关于x的方程
f (x)=mx在区间[0,5]上恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是___________.
2.（山西省朔州市怀仁市第一中学2022 届高三下学期第二次模拟数学（理）试题）已知
是定义在
上
的奇函数，当
时，
，若关于
的方程
恰有4
个不相等的实数根，则这4 个实数根之和为（ ）
A．
B．4
C．8
D．
或8
3.（上海市杨浦区统考2023 届高三上学期考试数学试题）已知定义域为
的函数
满足：对任何
，都有
，且当
时，
，在下列结论中，正确命题的序号是________
① 对任何
，都有
；
② 函数
的值域是
；
③ 存在
，使得
；④ “函数
在区间
上单调递减”的充要条
件是“存在
，使得
”；
4.（湖南省衡阳市第八中学2022 届高三第三次月考数学试题）定义在
上的函数
满足：对
，都有
，当
时，
，给出如下结论，其中所有正确结论的序
号是： ____.①对
，有
；
形如f（tx）=mf（x）等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
②函数
的值域为
；
③存在
，使得
；
5. （上海市交大附中2021-2022 学年高三上学期第一次月考数学试题对于函数
，下列个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．
（1）任取
，都有
；
（2）函数
在
上单调递增；
（3）
，对一切
恒成立；
（4）函数
有个零点；
（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.
15
