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专题04 基本不等式及其应用
【题型归纳目录】
题型一：基本不等式及其应用
题型二：直接法求最值
题型三：常规凑配法求最值
题型四：换元与消元法
题型五：“1”的代换求最值
题型六：利用基本不等式解决实际问题
题型七：与基本不等式有关的恒（能）成立问题
【高考考情分析】
考点要求
考题统计
复习目标
（1）了解基本不等式
的推导过程．
（2）会用基本不等式
解决简单的最值问题．
（3）理解基本不等式
在实际问题中的应用．
2022 年II 卷第12 题，5 分
2021 年乙卷第8 题，5 分
2020 年天津卷第14 题，5 分
1、掌握基本不等式的内容．
2、会用基本不等式解决常考的最大值或最小
值问题．
3、会用基本不等式解决实际问题．
1
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【知识点思维导图】
2
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【知识点梳理】
知识点1、基本不等式
如果
，那么
，当且仅当
时，等号成立．其中，
叫作
的算术平均
数，
叫作
的几何平均数．即正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若
，则
，当且仅当
时取等号；
基本不等式2：若
，则
（或
），当且仅当
时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求
最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
题型一：基本不等式及其应用
【例1】（2024 年北京高考数学真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））已知
，
，且
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷））设
，若
，
，
，则下列关系式中正确的是
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足
，则
（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【变式1-4】（多选题）（2020 年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））已知a>0，b>0，且a+b=1，则（
）
A．
B．
C．
D．
题型二：直接法求最值
【例2】（2021 年天津高考数学试题）若
，则
的最小值为 ．
【变式2-1】（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））若实数
满足
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【变式2-3】（2019 年天津市高考数学试卷（文科）） 设
，
，
，则
的最
小值为 ．
【变式2-4】（2019 年天津市高考数学试卷（理科））设
，则
的最小
值为 ．
【变式2-5】（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知
，且
4
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，则
的最小值为 ．
【变式2-6】（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））若
，
，
则
的最小值为 ．
题型三：常规凑配法求最值
【例3】（2020 年天津市高考数学试卷）已知
，且
，则
的最小值为
．
【变式3-1】（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知
则当
a 的值为 时
取得最大值．
【变式3-2】若
，则
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
【变式3-3】函数
的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．-1
题型四：换元与消元法
【例4】（2020 年江苏省高考数学试卷）已知
，则
的最小值是 ．
【变式4-1】（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知实数
、
、满足
，
，则
的最大值为 ．
【变式4-2】（福建省2025 届高三2 月测评（金科百校联考）数学试题）已知
，
则
的最小值为 ．
题型五：“1”的代换求最值
【例5】（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））若直线
过点
，则
的最小值为 ．
5
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【变式5-1】（江苏省宿迁市2024-2025 学年高三第一次调研考试数学试题）若
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．18
C．24
D．27
【变式5-2】已知
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【变式5-3】若
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．
C．
D．
【变式5-4】（广东东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学六校2024-2025
学年高三十二月联考数学试卷）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．6
D．8
题型六：利用基本不等式解决实际问题
【例6】（2012 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（陕西卷））小王从甲地到乙地再返回甲地，
其往返的时速分别为a 和b（a<b），其全程的平均时速为v，则 （ ）
A．a<v<
B．v=
C．
<v<
D．v=
【变式6-1】（安徽省六安市2024-2025 学年高三上学期教学质量检测数学试题）已知
、
两地的距离是
．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在
．假设油价是元
，以
的
速度行驶时，汽车的耗油率为
，司机每小时的工资是
元，那么最经济的车速是
（ ）
．
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2017 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版））某公司一年购买某种货物
6
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吨，每次购买
吨，运费为
万元/次，一年的总存储费用为
万元．要使一年的总运费与总存储费用
之和最小，则
的值是 ．
【变式6-3】（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））要制作一个容器为4
，高
为
的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器
的最低总造价是_______（单位：元）
题型七：与基本不等式有关的恒（能）成立问题
【例7】（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（陕西卷））已知不等式
对任
意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式7-1】若
，且
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】已知
，且
，若
恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】（山西省2024-2025 学年高三10 月质量检测数学试卷）若不等式
对任意的
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．5
D．
【方法技巧与总结】
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
（当且仅当“
”时取“ ”）．
特例：
（
同号）．
7
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（3）其他变形：
①
（沟通两和
与两平方和
的不等关系式）
②
（沟通两积
与两平方和
的不等关系式）
③
（沟通两积
与两和
的不等关系式）
④重要不等式串：
即
调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知
．
（1）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即“和为定值，
积有最大值”．
（2）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即积为定值，
和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：
，当且仅当
时等号成立；
模型二：
，当且仅当
时等号成立；
模型三：
，当且仅当
时等号成立；
模型四：
，当且仅当
时
等号成立．
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【强化测试】
1．（2025·广东·一模）已知x , y >0，设命题p: x + y ⩽2，命题q: xy ⩽1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知x>0，y >0，且x + y −xy +3=0，则下列说法正确的是（ ）
A．3< xy ≤12
B．x + y ≥3
C．x
2+ y
2≥18
D．0< 1
x + 1
y ≤1
3
3．若关于x 的不等式4 x
a +
1
x−2 ≥4对任意x>2恒成立，则正实数a 的可能值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．设正实数x，y 满足2 x + y =1，则（ ）
A．xy的最大值是1
4
B．2
x + 1
y 的最小值是9
C．4 x
2+ y
2的最大值为1
2
D．√2 x +√y的最小值为2
5．（2025·山东·模拟预测）设正实数a,b满足a+2b=1，则(a+1)
2+b
2
ab
的最小值为（ ）
A．37
2
B．17
C．8+ 4√5
D．16
6．（2025·四川德阳·二模）若x>1，则函数y =2 x +
8
x−1的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
7．（24-25 高三上·江苏扬州·期末）已知x，y均为正实数，且(x +2)( y +3)=16，则x + y的最小值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（24-25 高三上·河南周口·期末）已知a>0，b>−1，且ln (b+1)=−ln (a+1)，则a+2(b+1)的最小值
为（ ）
A．1
B．2
C．2√2−1
D．2√2+1
9．（24-25 高三上·山东泰安·期末）若x , y >0, xy = 4 x + y +5，则4 x + y的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．20
D．25
10．（多选题）（24-25 高三下·湖南永州·开学考试）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列结论正确的有
（ ）
9
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A．a
2+b
2≥1
2
B．2
a−b> 1
2
C．log2a+ log2b≥−2
D．√a+√b≤√2
11．（多选题）（2024·陕西西安·模拟预测）已知a>0,b>0,a+b=1，则下列不等式正确的是（ ）
A．ab≤1
4
B．a
2+b
2≥1
2
C．1
a +
1
b+1 >2
D．√a+√b≤1
12．（多选题）（24-25 高三下·浙江·开学考试）若正实数a,b满足a+b= 4，则下列不等式正确的是
（ ）
A．1
a + 1
b ≤1
B．√a+√b≤2√2
C．a
2+ 4 b
2≥64
5
D．log4a+log4b≤1
13．函数f ( x)= x +3
√x−1的最小值为 ．
14．若x>0，y >0，且xy = x + y +3，则x + 4 y的最小值是 .
15．（2025·山东青岛·一模）已知公比不为±1的等比数列{an}中，存在s,t ∈N
∗，满足asat =a5
2，则4
s + 1
t
的最小值为 ．
16．设x、y 为实数，若4 x
2+ y
2+ xy =1，则2 x + y的最大值是 ．
10
