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专题04 基本不等式及其应用
【知识点梳理】
1、基本不等式
如果
，那么
，当且仅当
时，等号成立．其中，
叫作
的算术平均
数，
叫作
的几何平均数．即正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若
，则
，当且仅当
时取等号；
基本不等式2：若
，则
（或
），当且仅当
时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求
最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
【方法技巧与总结】
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
（当且仅当“
”时取“ ”）．
特例：
（
同号）．
（3）其他变形：
①
（沟通两和
与两平方和
的不等关系式）
②
（沟通两积
与两平方和
的不等关系式）
③
（沟通两积
与两和
的不等关系式）
④重要不等式串：
即
调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知
．
（1）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即“和为定值，
积有最大值”．
1
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（2）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即积为定值，
和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：
，当且仅当
时等号成立；
模型二：
，当且仅当
时等号成立；
模型三：
，当且仅当
时等号成立；
模型四：
，当且仅当
时
等号成立．
【典型例题】
例1．（2024·北京大兴·高三统考期末）已知
且
，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对A：
，故A 正确；
对B：由
，则
，故
，故B 正确；
对C：由
， 故
，
当且仅当
时等号成立，由
，故等号不成立，
即
，故C 正确；
对D：当
、
时，符合题意，
但此时
，故D 错误.
故选：D.
例2．（2024·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若
，则
B．若x＞0，y＞0，则
2
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C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【答案】D
【解析】∵
可能为负数，如
时，
，∴A 错误；
∵
可能为负数，如
时，
，∴B 错误；
∵
，如
时，
，∴C 错误；
∵
，
，
，∴
，当且仅当
，即
等号成立，∴D 正确．
故选：D．
例3．（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知正数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，
，则
，
，即
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故选：C
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．10
C．12
D．13
【答案】D
【解析】
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故选：D.
例5．（2024·甘肃武威·高三统考期末）若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．9
C．4
D．8
【答案】B
3
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【解析】因为
，所以
，
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为9，
故选：B.
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题可得，
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时，取得等号，
故选:C.
例7．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知正实数m，n 满足
，则
的最
大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于
，
所以
，
即
，当且仅当
时等号成立．
故选:B．
例8．（2024·山西运城·高三校考期末）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，
需要12 天完成，只由一名女社员分装时，需要18 天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装
4
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完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.
已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男
社员会损耗蔬菜共80 千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30 千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均
损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A．10
B．15
C．30
D．45
【答案】B
【解析】设安排男社员
名，女社员
名，
根据题意，可得
，平均损耗蔬菜量之和为
，
则
，当且仅当
，即
时等号成立，
则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15.
故选：B.
例9．（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知
，向量
，
则
的最大值为 .
【答案】
/0.125
【解析】由题意知
，故
，
又
，所以
，
故
，当且仅当
，结合
，即
时取等号，
故
的最大值为
，
故答案为：
例10．（2024·全国·高三专题练习）函数
在
上的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为
，
，令
，则
，
则
，
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当且仅当
，
即
时，等号成立．
故
的最大值为
．
故答案为：
例11．（2024·全国·高三专题练习）若实数
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】
,当且仅当
，
即
时取到等号.
故答案：
.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）若
，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，显然有
，故A 正确；
而
，所以
，故B 正确；
又
，所以
，故C 正确；
不妨令
则
，故D 错误.
故选：D.
2．（2024·全国·高三专题练习）已知实数
满足
且
，则下列不等关系一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
且
，所以
或
，
对A：若
，则
，若
，则
，A 错误；
对B：∵
，
，∴
，B 错误；
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对C：由
或
，知
且
，∴
，C 正确；
对D：当
时，有
，从而
当
，则
且
，∴
，D 错误.
故选：C
3．（2024·广东·高三学业考试）已知正实数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】正实数
满足
，
由基本不等式得，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故选：C
4．（2024·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）若
，
，则的
最小值是（ ）
A．2
B．4
C．3
D．8
【答案】B
【解析】因
，
，故由
，
当且仅当
时，等号成立.由
解得：
即当且仅当
时，
取最小值为4.
故选：B.
5．（2024·陕西西安·统考一模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
由
，得
，
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所以
，
当且仅当
时，等号成立.
故
的最小值为
.
故选：D
6．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A：当
时
，显然最小值不为4，排除；
B：由
，则
，当且仅当
时等号成立，满足；
C：由题意
，而
在
上递减，故
时函数最小值为5，不满足；
D：由
，当
时最小值为3，不满足.
故选：B
7．（2024·陕西商洛·统考模拟预测）设某批产品的产量为
（单位：万件），总成本
（单
位：万元），销售单价
（单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润
销售
收入-总成本）最大时的产量为（ ）
A．7 万件
B．8 万件
C．9 万件
D．10 万件
【答案】B
【解析】总利润
，当且仅当
，
即
时，
最大，故总利润最大时的产量为8 万件．
故选：B．
8．（2024·全国·高三专题练习）已知
，则m，n 不可能满足的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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【答案】C
【解析】
，即
，即
.
对于 A，
成立.
对于 B，
，成立.
对于 C，
，即
.故C 错误；
对于 D，
成立.
故选：C.
9．（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，且
，则ab 的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【解析】∵
，
∴
，即：
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，当且仅当
即
时取等号，
即：
，当且仅当
时取等号，
故
的最小值为16.
故选：C.
二、多选题
10．（2024·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“
”“
”表示不等号，并逐渐
被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为
和
，记两速度的算术平均值为
，全程的平均速度为
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】设一楼到五楼的距离为，
由题知
，A 错误；
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因为
，
且
，所以
，所以
，所以
，
又因为
，（因为
，所以取不到等号），所以
，B 正确；
对C，因为
，所以
，
又因为
，
所以
，即
，C 正确；
对D，因为
，
所以
，即
，D 正确；
故选:BCD.
11．（2024·全国·高三专题练习）已知
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为8
D．
的最大值为
【答案】ABC
【解析】对于A 和B 中，因为
且
，可得
且
，
即
，所以
，且
，
，所以A、B 正确；
对于C 中，由
，
当且仅当
，且
，即
，
时，取“
”号，所以C 正确；
对于D 中，由
，即
，当且仅当
，且
，即
，
时，
取“
”号，所以D 错误．
故选：ABC.
12．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知
，若
，则（ ）
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A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最小值为8
【答案】ABD
【解析】因为
，
，则
，可得
，
对于选项AB：因为
，
所以
，
，故AB 正确；
对于选项C：因为
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为
，故C 错误；
对于选项D：因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为8，故D 正确；
故选：ABD.
13．（2024·山东聊城·高三统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．函数
的最小值为4
B．若
，则
的最小值为4
C．若
，
，
，则
的最大值为1
D．若
，
，且满足
，则
的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A：当
时，
，故A 错误；
对于B：
，当且仅当
时，等号成立，故B 正确；
对于C：
，
即
，解得
，当且仅当
时，等号成立，故C 正确；
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对于D:
，
当且仅当
时等号成立，此时
，故D 正确；
故选：BCD.
14．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】对于A，当
时，
，A 错误；
对于B，由
，得
，B 正确；
对于C，由
，得
，则
，C 正确；
对于D，由
，
，得
，
，D 正确.
故选：BCD
15．（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知
，若
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为1
C．
的最小值为8
D．
的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于
，由
，即
，
当且仅当
，且
，即
时，取等号，所以A 正确；
对于
，因为
，
当且仅当
时，
取到最小值
，所以B 错误；
对于C，因为
，所以
，
当且仅当
，且
，即
，
时，取等号，所以C 正确；
对于
，当且仅当
，且
，
12
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即
时，取等号，所以
正确.
故选：ACD.
16．（2024·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）已知正数a，b 满足
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为4
D．
的最小值为2
【答案】AB
【解析】A 选项，∵ a，b 为正实数，
∴
，当且仅当
时等号成立，又
，
∴
，当且仅当
，
时等号成立，
∴ ab 的最大值为
，A 正确；
B 选项，由基本不等式可得
，故
，
当且仅当
时等号成立，
又
，∴
，当且仅当
，
时等号成立，
∴
的最小值为
，B 正确；
C 选项，∵
，
当且仅当
，
时等号成立，
∴
的最小值为8，C 错误；
D 选项，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，D 错误.
故选：AB.
17．（2024·广东湛江·高三统考期末）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
的最小值为2
C．若
，则
的最大值为2
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D．若
，则
【答案】AD
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，故A 正确；
因为
的等号成立条件
不成立，所以B 错误；
因为
，所以
，故C 错误；
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以D 正确.
故选：AD
18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）设
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由
且
，
，即
，则
，当且仅当
取等号，故取不到，
所以
，A 错，B 对；
，且
，
所以
，C 对，D 错.
故选：BC
三、填空题
19．（2024·全国·高三专题练习）若正数
，
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】正数
，
满足
，
依题意，
，
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当且仅当
，即
时等号成立，
故
的最小值为
．
故答案为：
．
20．（2024·全国·高三专题练习）函数
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由
，又
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以原函数的最小值为
.
故答案为：
21．（2024·全国·高三专题练习）函数
的最大值为 .
【答案】
/
【解析】因为
，则
，
所以
≤
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
22．（2024·全国·高三专题练习）已知正数x、y 满足
，求
的最小值为 ；
【答案】
/
【解析】
，
当且仅当
，即
时取等号，
的最小值为
.
15
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故答案为：
.
23．（2024·江苏无锡·高三江苏省江阴长泾中学校考阶段练习）已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为 .
【答案】8
【解析】因为
，所以
，即
，当且仅当
时，等号成立，
所以
.
即
的最小值为.
故答案为：
24．（2024·全国·高三专题练习）某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为
平方米的泳池，池的深
度为米，池的四周墙壁建造单价为每米
元，中间一条隔壁建造单价为每米
元，池底建造单价每平
方米
元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为 米时，可使总造价最低．
【答案】15
【解析】设泳池的长为
米，则宽为
米，
总造价
(元)，
当且仅当
，即
时等号成立．
即泳池的长设计为
米时，可使总造价最低
故答案为：15
16
