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第 11 讲：拓展四：导数中的隐零点问题
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数f (x)，导函数方程f '(x)=0的根存在，却无法求出，设方程
f '(x)=0的根为 x ，则有：
0
①关系式
f '(x )=0
成立；②注意确定
x
的合适范围.
0 0
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数f(x,a)，其中a为参数，导函数方程f '(x,a)=0的根存在，却无法求
出，设方程f '(x)=0的根为 x ，则有
0
①有关系式
f '(x )=0
成立，该关系式给出了
x ,a
的关系；②注意确定
x
的合适范
0 0 0
围，往往和a的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那
么在开区间 内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得
.
① 若 ，则 的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若 ，那么 在 不一定有零点
③ 若 在 有零点，则 不一定必须异号
(3)若 在 上是单调函数且连续，则 在 的零点唯
一.
高频考点
1．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，记 的极小值点为 ，证明： 存在唯一零点 ，且 .（参考
数据： ）2．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
3．（2024·江西赣州·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间，
(2)已如 .若函数 有唯一的零点 .证明， .
4．（2024·山东聊城·一模）已知函数 ， ， .
(1)求 的单调递增区间；
(2)求 的最小值；
(3)设 ，讨论函数 的零点个数.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若 在区间
各恰有一个零点，求 的取值范围.6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）定义满足 的实数 为函数 的然
点.已知 .
(1)证明：对于 ，函数 必有然点；
(2)设 为函数 的然点，判断函数 的零点个数并证明.
7．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线；
(2)若对任意 ，当 时，证明函数 存在两个零点．
8．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知函数 有两个零点.
(1)求 的取值范围；
(2)设 ， 是 的两个零点， ，证明： .
9．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知函数 .
(1)证明：当 时， ；(2)若 恒成立，求 的取值范围.
10．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数 ， .
(1)若函数 只有一个零点，求实数 的取值所构成的集合；
(2)已知 ，若 ，函数 的最小值为 ，求 的值域.
11．（23-24高三上·北京东城·期末）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求证：函数 在 上有极大值 ，且 .
12．（2024·湖南邵阳·一模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，求证：当 时， 恰有两个零点.
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．(1)若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围；
(2)若 对任意的 恒成立，其中 为自然对数的底数，求实数 的最
大值．
14．（21-22高三上·重庆黔江·阶段练习）已知函数 ， 是 的
导函数，
(1)当 时，判断函数 在 上是否存在零点，并说明理由；
(2)若 在 上存在最小值，求正实数 的取值范围.
15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求实数 的值；
(2)若函数 恰有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
