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专题05 三角函数
目录一览
2023 真题展现
考向一 三角函数的图象与性质
考向二 三角恒等变换
真题考查解读
近年真题对比
考向一 三角函数的图象与性质
考向二 三角恒等变换
考向三 同角三角函数间的基本关系
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 三角函数的图象与性质
1．（2023•新高考Ⅱ•第15 题）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B 是直线y= 1
2与曲线y＝f（x）
的两个交点，若|AB|= π
6 ，则f（π）＝
．
【答案】−√3
2
解：由题意：设A（x1，1
2），B（x2，1
2），则x2﹣x1= π
6 ，
由y＝Asin（ωx+φ）的图象可知：
ωx2+φ﹣（ωx1+φ）= 5 π
6 −π
6 = 2π
3 ，即ω（x2﹣x1）= 2π
3 ，
∴ω＝4，
1
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又f（2π
3 ）＝sin（8 π
3 +φ）＝0，∴8 π
3 +φ＝kπ，k∈Z，
即φ=−8 π
3 +kπ，k∈Z，
观察图象，可知当k＝2 时，φ=−2π
3 满足条件，
∴f（π）＝sin（4π−2π
3 ）=−√3
2 ．
故答案为：−√3
2 ．
2．（2023•新高考Ⅰ•第15 题）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3 个零点，则
ω 的取值范围是
．
【答案】[2，3）
【解答】解：x∈[0，2π]，函数的周期为2π
ω （ω＞0），cosωx﹣1＝0，可得cosωx＝1，
函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3 个零点，
可得2⋅2π
ω ≤2π＜3⋅2π
ω ，
所以2≤ω＜3．
考向二 三角恒等变换
3．（2023•新高考Ⅱ•第7 题）已知α 为锐角，cosα= 1+√5
4
，则sinα
2 =（ ）
A．3−√5
8
B．−1+√5
8
C．3−√5
4
D．−1+√5
4
【答案】D
解：cosα= 1+√5
4
，
则cosα=1−2sin
2 α
2 ，
故2sin
2 α
2 =1﹣cosα= 3−√5
4
，即sin
2 α
2 = 3−√5
8
= (√5)
2+1
2−2√5
16
= (√5−1)
2
16
，
∵α 为锐角，
∴sin α
2 ＞0，
∴sinα
2 = −1+√5
4
．
4．（2023•新高考Ⅰ•第8 题）已知sin（α﹣β）= 1
3，cosαsinβ= 1
6，则cos（2α+2β）＝（ ）
2
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A．7
9
B．1
9
C．−1
9
D．−7
9
【答案】B
解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα= 1
3，cosαsinβ= 1
6 ，
所以sinαcosβ= 1
2，
所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα= 1
2 + 1
6 = 2
3，
则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2× 4
9 = 1
9．
【命题意图】
考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、y=Asin（wx+
）的图象与性质．应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明．
【考查要点】
三角函数高考必考．常考查和角差角公式、恒等变形化简求值、诱导公式、同角三角函数公式，辅助
角公式等．常考查y=Asin（wx+
）的图象与性质，涉及到增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．
【得分要点】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：sinα
cosα =tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（π
2 −α）＝cosα，cos（π
2 −α）＝sinα．
公式六：sin（π
2 +α）＝cosα，cos（π
2 +α）＝﹣sinα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．
3
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（5）T（α+β）：tan（α+β）= tanα +tanβ
1−tanαtanβ ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）= tanα −tanβ
1+tanαtanβ ．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα．
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
（3）T2α：tan 2α=
2tanα
1−tan
2α ．
5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ−π
2 ，2kπ+ π
2 ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+ π
2 ，2kπ+ 3 π
2 ）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ−π
2 ，kπ+ π
2 ）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+ π
2 （k∈Z）时，ymax
＝1；
x＝2kπ−π
2 （k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝
1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）
（k∈Z）
对称中心：（kπ+ π
2 ，0）
（k∈Z）
对称中心：（kπ
2 ，0）
（k∈Z）
4
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对称轴：x＝kπ+ π
2 ，k∈Z
对称轴：x＝kπ，k∈Z
无对称轴
周期
2π
2π
π
6．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
y＝sin x 的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
7．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A= M −m
2
，k= M +m
2
，ω 由周期T 确定，
即由2π
ω =T 求出，φ 由特殊点确定．
考向一 三角函数的图象与性质
1．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+
）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若
＜T＜π，且y
＝f（x）的图像关于点（
，2）中心对称，则f（
）＝（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+
）+b（ω＞0）的最小正周期为T，
则T＝
，由
＜T＜π，得
＜
＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的图像关于点（
，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（
+
）＝0，则
+
＝kπ，k∈Z．
∴
，k∈Z，取k＝4，可得
．
5
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∴f（x）＝sin（
x+
）+2，则f（
）＝sin（
×
+
）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
2.（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（
，0）中心
对称，则（ ）
A．f（x）在区间（0，
）单调递减
B．f（x）在区间（﹣
，
）有两个极值点
C．直线x＝
是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝
﹣x 是曲线y＝f（x）的切线
【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（
，0）对称，
所以
+φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝kπ﹣
，
因为0＜φ＜π，
所以φ＝
，
故f（x）＝sin（2x+
），
令
2x+
，解得﹣
＜x＜
，
故f（x）在（0，
）单调递减，A 正确；
x∈（﹣
，
），2x+
∈（
，
），
根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣
，
）只有一个极值点，故B 错误；
令2x+
＝kπ+
，k∈Z，得x＝
﹣
，k∈Z，C 显然错误；
f（x）＝sin（2x+
），
求导可得，f'（x）＝
，
6
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令f'（x）＝﹣1，即
，解得x＝kπ 或
（k∈Z），
故函数y＝f（x）在点（0，
）处的切线斜率为k＝
，
故切线方程为y﹣
，即y＝
，故D 正确．
故选：AD．
3．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣
）单调递增的区间是（ ）
A．（0，
）
B．（
，π）
C．（π，
）
D．（
，2π）
【解答】解：令
，k∈Z．
则
，k∈Z．
当k＝0 时，x∈[
，
]，
（0，
）⊆[
，
]，
故选：A．
考向二 三角恒等变换
4．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2
cos（α+
）sinβ，则（ ）
A．tan（α﹣β）＝1
B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1
D．tan（α+β）＝﹣1
【解答】解：解法一：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝2
cos（α+
）sinβ，
所以
sin（
）＝2
cos（α+
）sinβ，
即sin（
）＝2cos（α+
）sinβ，
所以sin（
）cosβ+sinβcos（
）＝2cos（α+
）sinβ，
所以sin（
）cosβ﹣sinβcos（
）＝0，
所以sin（
）＝0，
所以
＝kπ，k∈Z，
7
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所以α﹣β＝k
，
所以tan（α﹣β）＝﹣1．
解法二：由题意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，
即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ＝0，
所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，
故tan（α﹣β）＝﹣1．
故选：C．
考向三 同角三角函数间的基本关系
5．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则
＝（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【解答】解：由题意可得：
＝
＝
＝
．
故选：C．
结合近三年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定
函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5~10 分。
一．三角函数的周期性（共3 小题）
1．（2023•江西模拟）已知函数
，则（ ）
A．f（x）的最小正周期是π
B．f（x）在
上单调递增
C．f（x）的图象关于点
对称
D．f（x）在
上的值域是
8
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【解答】解：
＝
，
对于A，f（x）的最小正周期
，A 错误；
对于B，当
时，
，此时y＝sin（4x+
）单调递减，
∴f（x）在
上单调递增，B 正确；
对于C，令
，解得
，此时f（x）＝0，
∴f（x）的图象关于点
对称，C 错误；
对于D，当
时，
，则
，
∴f（x）在
上的值域为
，D 错误．
故选：B．
2．（2023•河东区一模）已知函数
，下列说法错误的为（ ）
A．最小正周期为
B．f（x）为偶函数
C．在
单调递减
D．
【解答】解：因为函数
为奇函数，故B 错误；
最小正周期为
，故A 正确；
令
，k∈Z，解得
，k∈Z，
即函数f（x）的单调减区间为
，k∈Z，
当k＝0 时，即为
，k∈Z，故C 正确；
且
，故D 正确．
故选：B．
9
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3．（2023•商洛三模）记函数
的最小正周期为T，且f
（T）＝﹣1，若f（x）在[0，π]上恰有3 个零点，则ω 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为函数
的最小正周期为T＝
，
且f（T）＝2sin（ω×
+φ）＝﹣1，所以sinφ＝﹣
，所以φ＝﹣
．
x∈[0，π]，则ωx﹣
∈[﹣
，ωπ﹣
]，
若f（x）在[0，π]上恰有3 个零点，
则2π≤ωπ﹣
＜3π，所以
≤ω＜
，
所以ω 的取值范围为
．
故选：A．
二．运用诱导公式化简求值（共4 小题）
4．（2023•南关区校级模拟）已知
，
，则角θ 所在的象限是
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解答】解：因为
＝﹣sin
，可得sin
＝﹣
，
＝cos
，
则sinθ＝2sin
cos
＝﹣
＜0，cosθ＝2cos2
﹣1＝﹣
＜0，
所以角θ 所在的象限是第三象限．
故选：C．
5．（2023•抚松县校级模拟）已知tanθ＝2，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
＝
．
故选：D．
6．（2023•南宁模拟）已知sin2α＝cosα﹣1，则
＝（ ）
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A．1
B．﹣1
C．2
D．
【解答】解：∵sin2α＝cosα﹣1，
∴1﹣cos2α＝cosα﹣1，可得cos2α+cosα﹣2＝0，解得cosα＝1（cosα＝﹣2 舍）；
∴
＝﹣cosα＝﹣1，
故选：B．
7．（2023•通州区模拟）已知
，α 是第一象限角，且角α，β 的终边关于y 轴对称，则tanβ＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵α 是第一象限角，且角α，β 的终边关于y 轴对称，
∴β＝π﹣α+2kπ，k∈Z，
∴
＝
．
故选：D．
三．正弦函数的图象（共4 小题）
8．（2023•湖南模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在区间
上单调，
且满足
．若函数f（x）在区间
上恰有5 个零点，则ω 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【
解
答
】
解
：
∵
f
（
x
）
在
区
间
上
单
调
，
，
∴f（x）的对称中心为
，且
，
∴
，即
，即
，
∴
．
又∵f（x）的对称中心为
，
11
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∴
，
∵f（x）在区间
上恰有5 个零点，相邻两个零点之间的距离为
，五个零点之间即
2T，六个零点之间即
，
只需
即可，即
，
又∵
，
∴
．
故选：B．
9．（2023•惠州模拟）记函数f（x）＝sin（ωx+
）+b（ω＞0）的最小正周期为T，若
＜T＜π，且y
＝f（x）的图象关于点（
，2）中心对称，则f（
）＝（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+
）+b（ω＞0）的最小正周期为T，
则T＝
，由
＜T＜π，得
＜
＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的图象关于点（
，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（
ω+
）＝0，则
ω+
＝kπ，k∈Z．
∴ω＝
（k﹣
），k∈Z，取k＝4，可得ω＝
．
∴f（x）＝sin（
x+
）+2，
则f（
）＝sin（
×
+
）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
10．（2023•如皋市校级模拟）已知直线y＝kx+t 与函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象恰有两个
切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大的两个值分别为k1和k2，且k1＞k2，则（ ）
A．
B．
12
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C．
D．
【解答】解：∵直线y＝kx+t 与函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象恰有两个切点，
设k1对应的切点为（x1，sinx1），（x1′，sinx1′），x1＜x1′，
设k2对应的切点为（x2，sinx2），（x2′，sinx2'），x2＜x2′，
只考虑x1+x1′＝2π，x2+x2′＝4π，
则k1＝﹣
，k2＝﹣
，其中﹣
＜x2＜x1＜0，
所以
＝
•
，其中sinx1＝（x1﹣π）cosx1，sinx2＝（x2﹣2π）cosx2，
易得x1＜﹣
，
则
＞
＞
，
则
＜
＜
＜
．
故选：B．
11．（2023•濮阳模拟）已知f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜
）为奇函数，若对任意α∈[﹣
，
]，存
在β∈[﹣
，α]，满足f（α）+f（β）＝0，则实数α 的取值范围是
[0
，
] ∪
{
}
．
【解答】解：∵f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜
）为奇函数，
∴φ＝0，f（x）＝sin3x．
由f（α）+f（β）＝0，
可得sin3α+sin3β＝0，即sin3α＝﹣sin3β，
所以3β＝3α+π+2kπ，或3β＝﹣3α+2kπ，k∈Z，
所以β＝α+
+
，或β＝﹣α+
，k∈Z．
若对任意α∈[﹣
，
]，存在β∈[﹣
，α]，满足f（α）+f（β）＝0，
故﹣
≤α+
+
≤α，k∈Z，则
+
≤0，α≥﹣
﹣
，k 取负整数，
则k 只能取﹣1，此时，α＝
．
13
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或﹣
≤﹣α+
≤α，k∈Z，则
≤α≤
+
，k∈Z，
则k 只能取0，故0≤α≤
，
综上可得，实数α 的取值范围是[0，
]∪{
}，
故答案为：[0，
]∪{
}．
四．正弦函数的单调性（共9 小题）
12．（2023•湖南三模）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足
，
且f（x）在
上单调，则ω 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+Φ）（ω＞0）满足
，
，
∴
，即
，
∴
，
∵f（x）在
上单调，
∴
，即
，
∴当n＝1 时ω 最大，最大值为
，
故选：B．
13．（2023•广州二模）已知函数
的图象关于点
对称，且f
（x）在
上单调，则ω 的取值集合为（ ）
A．{2}
B．{8}
C．{2，8}
D．{2，8，14}
【解答】解：f（x）关于点
对称，所以
，
所以
①；
，而f
（x）在
上单调，
14
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所以
，0＜ω≤8 ②；
由①②得ω 的取值集合为{2，8}．
故选：C．
14．（2023•泸县校级模拟）已知函数
，且在
上单调
递增，则满足条件的ω 的最大值为 ．
【解答】解：
由
，
得
，
∴f（x）的单调递增区间为
，
由题知，
，
∴
∴
，
∵ω＞0，∴当k＝0 时，
，∴
，
当k＝1 时，
；当k≥2，k∈Z 时，ω∈∅．∴
．
故答案为：
．
15．（2023•大理州模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤
），x＝﹣
是函数f（x）的
一个零点，x＝
是函数f（x）的一条对称轴，若f（x）在区间（
，
）上单调，则ω 的最大值是
（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
【解答】解：设函数f（x）的最小正周期为T，
∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤
），x＝﹣
是函数f（x）的一个零点，
x＝
是函数f（x）的一条对称轴，
∴
，其中n∈N，
15
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∴T＝
＝
，∴ω＝4n+2，
∵f（x）在区间（
，
）上单调，
∴
≤
＝
，∴ω≤20，
∴ω 的可能取值为2，6，10，14，18，
（i）当ω＝18 时，f（x）＝sin（18x+φ），f（﹣
）＝sin（﹣
）＝0，
∴φ﹣
＝kπ（k∈Z），则
（k∈Z），
∵﹣
，∴φ＝
，∴f（x）＝sin（18x+
），
当
时，
，
∴函数f（x）在（
）上不单调，不合题意；
（ii）当ω＝14 时，f（x）＝sin（14x+φ），f（﹣
）＝sin（﹣
+φ）＝0，
∴
＝kπ（k∈Z），则φ＝kπ+
（k∈Z），
∵﹣
，∴φ＝﹣
，∴f（x）＝sin（14x﹣
），
当
时，
，
∴函数f（x）在（
）单调递减，符合题意，
∴ω 的最大值为14．
故选：A．
16 ．（2023• 雁塔区校级三模）已知函数f （x ）＝sinωx+cosωx ，其中ω ＞0 ．若f （x ）在区间
上单调递增，则ω 的取值范围是（ ）
A．（0，4]
B．
C．
D．
【解答】解：
，
∵函数f（x）在区间
内单调递增，
∴
，
16
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∴ω≤4，
∵
，
∴
，
若f（x）在区间
上单调递增，
则
，
解得
，
当k＝0 时，
，
当k＝1 时，
，
当k 取其它值时不满足0＜ω≤4，
∴ω 的取值范围为
，
故选：D．
17．（2023•广西一模）函数
恒有f（x）≤f（π），且f（x）在
上单
调递增，则ω 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【解答】解：函数
恒有f（x）≤f（π），
则
，解得
，
∵f（x）在
，上单调递增，
∴ω＞0，且
，
故0＜ω≤3，
结合
，可得ω 的值为
或
，
当ω 的值为
时，
17
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f（x）＝sin（
），
令
，解得﹣2π+6kπ≤x≤π+6kπ，k∈Z，
当k＝0 时，f（x）在[﹣2π，π]上单调递增，满足f（x）在
上单调递增，
当ω 的值为
时，
f（x）＝sin（
），
令
，解得
，
所以f（x）在
上单调递增，不满足f（x）在
上单调递增．
故选：A．
18．（多选）（2023•福建模拟）已知函数f（x）＝sin
（ω＞0）满足：f（
）＝2，f（
）＝0，则（ ）
A．曲线y＝f（x）关于直线
对称
B．函数y＝f（
）是奇函数
C．函数y＝f（x）在（
，
）单调递减
D．函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]
【解答】解：
，所以函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]，故D 正确；
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，所以ω＝12k2+1，k2∈Z，
所以
，即k1＝8k2+1，
所以ω∈{1，13，25，37，•••}，
因为
，
所以曲线y＝f（x）关于直线
对称，故A 正确；
18
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因为
＝2sin（（12k2+1）x﹣4k2π）＝2sin（（12k2+1）
x），
即
，
所以函数
是奇函数，故B 正确；
取ω＝13，则最小正周期
，故C 错误．
故选：ABD．
19 ．（多选）（2023• 运城三模）已知函数
，满足
，
，且在
上单调，则ω 的取值可能为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【解答】解：由
，知函数f（x）的图象关于直线
对称，
又
，即
是函数f（x）的零点，
则
，n∈Z，
即ω＝2n+1，n∈Z．
由f（x）在
上单调，
则
，即ω≤6，
所以ω＝1，3，5．
当ω＝1 时，由
，k∈Z，得
，k∈Z，
又|φ|＜
，所以
，此时当
时，
，
所以
在
上单调递增，故ω＝1 符合题意；
当ω＝3 时，由
，k∈Z，得
，k∈Z，
又|φ|＜
，所以
，此时当
时，
，
所以
在
上单调递增，故ω＝3 符合题意；
19
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当ω＝5 时，由
，k∈Z，得
，k∈Z，
又|φ|＜
，所以
，此时当
时，
，
所以
在
上不单调，故ω＝5 不符合题意．
综上所述，ω＝1 或3．
故选：AB．
20．（2023•青羊区校级模拟）已知函数
，
，
，且f（x）在
上单调，则ω 的最大值为
5
．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ），
∴f（﹣
）＝2sin（﹣
ω+φ）＝0，
∴﹣
ω+φ＝kπ，k∈Z ①；
又
，
∴x＝
是f（x）图象的对称轴，
∴
ω+φ＝k′π+
，k′∈Z ②；
由①②得，φ＝
π+
，k∈Z，
∴取φ＝
，且ω＝﹣4k+1，k∈Z；
∴f（x）＝2sin（ωx+
）的最小正周期为T＝
；
又f（x）在
上单调，
∴
﹣
≤
，即
≤
，
解得ω≤6；
综上，ω 的最大值为5．
故答案为：5．
五．正弦函数的奇偶性和对称性（共7 小题）
21．（2023•大通县一模）下列坐标所表示的点是函数
图象的对称中心的是
20
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：令2x﹣
＝kπ，k∈Z，则x＝
+
，k∈Z，
当k＝0 时，x＝
，所以该函数的一个对称中心为（
，0）．
故选：A．
22．（2023•浉河区校级三模）已知函数f（x）＝asin2x+bcos2x（ab≠0）的图象关于直线
对称，则
下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）在区间
上单调递增
D．方程f（x）＝2b 在区间[0，2π]上有2 个实根
【解答】解：∵函数f（x）＝asin2x+bcos2x（ab≠0）的图象关于直线
对称，
∴f（0）＝f（
），即b＝asin
+bcos
，所以a＝
b，
所以f（x）＝
bsin2x+bcos2x＝2bsin（2x+
），
此时f（
）＝2bsin（2×
+
）＝2b，
故函数图象关于x＝
对称，
f（x﹣
）＝2bsin（2x﹣2×
+
）＝2bsin（2x﹣
），
令g（x）＝f（x﹣
）＝2bsin（2x﹣
），
则g（
）＝2bsin（
﹣
）＝0，而g（﹣
）＝2bsin（﹣2×
）＝﹣
b≠0，
故g（x）＝f（x﹣
）＝2bsin（2x﹣
）不是偶函数，故A 错误；
f（x）的最小正周期为
＝π，故B 错误；
因为b 的正负无法确定，故f（x）在区间
上的单调性无法确定，故C 错误；
21
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令f（x）＝2b，x∈[0，2π]，因2b≠0，
则sin（2x+
）＝1，
因为x∈[0，2π]，所以2x+
∈[
，
]，
所以2x+
＝
或2x+
＝
，
解得x＝
或x＝
，故D 正确．
故选：D．
23．（2023•秦都区校级模拟）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）图象两个相邻的对称中心的间距为
，则下列函数为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx＝
sin（
），
因为函数f（x）图象两个相邻的对称中心的间距为
，
所以T＝
，所以
，又ω＞0，所以ω＝4，
所以
，
对于A，
，函数
为奇函数，故A 错误；
对于B，
，
所以当
时，
，
当
时，
，
所以函数
不为偶函数，故B 错误；
对于C，
，所以函数
为偶函数，故C 正确；
对于D，
，
所以当
时，
，
22
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当
时，
，
所以函数
不为偶函数，故D 错误．
故选：C．
24．（多选）（2023•惠州模拟）关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的图像的一个对称中心是
B．函数f（x）在区间
上单调递减
C．直线
是函数f（x）图像的一条对称轴
D．将函数f（x）的图像沿x 轴向左平移
个单位长度，将得到函数
的图像
【解答】解：f（x）的对称中心即为f（x）的零点，则
，A 正确；
，则
，y＝sinx 在
单调递增，B 不正确；
f（x）在对称轴处取到最值，则
，C 正确；
将函数f（x）的图像沿x 轴向左平移
个单位长度，
将得到函数
，D 不正确．
故选：AC．
25．（多选）（2023•东方模拟）已知函数f（x）＝|2sin（2x﹣
）|，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数f（x）的图象关于点（
，0）对称
B．函数f（x）图象的一条对称轴是x＝
C．若x∈[
，
]，则函数f（x）的最小值为
D．若f（x1）f（x2）＝4，x1≠x2，则|x1﹣x2|的最小值为
【解答】解：因为y＝|sinx|≥0，该函数不是中心对称图象，A 错误；
由于f（
）＝|2sin（
﹣2x﹣
）|＝2|sin（2x﹣
）|＝f（x）|，故x＝
是该函数的对称轴，
23
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B 正确；
由x∈[
，
]得2x﹣
∈[
]，
所以
sin（2x﹣
）≤1，
故f（x）＝|sin（2x﹣
）|的最小值
，C 正确；
结合正弦函数的性质可知y＝|sinx|的最小正周期T＝π，
故f（x）＝|2sin（2x﹣
）|的最小正周期T＝
，最大值为2，最小值为0，
若f（x1）f（x2）＝4，x1≠x2，则|x1﹣x2|的最小值为，
，D 正确．
故选：BCD．
26．（2023•昌江县二模）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f（x）的
图象交于M，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是 2π
B．函数f（x）的图象关于点
成中心对称
C．函数f（x）在
单调递增
D．函数f（x）的图象向右平移
后关于原点成中心对称
【解答】解：由圆的性质知，C＝
＝
，
则
＝
﹣（﹣
）＝
，即周期T＝π，
则
＝π，得ω＝2，故A 错误，
∵函数关于点（
，0），对称，
∴函数的对称中心为（
+
，0），则当k＝2 时，对称中心为（
，0），故B 正确，
24
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函数的一条对称轴为x＝
＝
，函数的相邻最小值的对称轴x＝
+
＝
，前一条对称
轴为x＝
﹣
＝﹣
，
则函数的单调递增区间为[﹣
+kπ，
+kπ]，k∈Z，
当k＝0 时，函数的单调递增区间为[﹣
，
]，k∈Z，此时f （x）在
单调递增错误
故C 错误，
∵f（x）的一条对称轴为x＝﹣
，
∴函数f （x）的图象向右平移
，此时函数关于y 轴对称，故D 错误，
故选：B．
27．（多选）（2023•平江县校级模拟）设函数
，若f（x）在[0，π]上
有且仅有3 条对称轴，则（ ）
A．f（x）在[0，π]上有且仅有2 个最大值点
B．f（x）在[0，π]上有且仅有2 个零点
C．ω 的取值范围是
D．f（x）在
上单调递增
【解答】解：∵x∈[0，π]，ω＞0，
∴0≤ωx≤πω，∴
，
令
，∴
，
画出y＝sint 图象进行分析：
对于A 选项：由图象可知：f（x）在[0，π]上有且仅有x1，x3对应的这2 个最大值点，故A 选项正确；
对于B 选项：当
，即
时，f（x）在[0，π]有且仅有2 个零点；
25
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当
，即
时，f（x）在[0，π]有且仅有3 个零点，故B 选项不正确；
对于C 选项：∵f（x）在[0，π]有且仅有3 条对称轴，
∴
，∴
，
∴ω 的取值范围是
，故C 选项正确；
对于D 选项：∵
，ω＞0，∴
，∴
，
由C 选项可知，
，∴
，
即f（x）在
上单调递增，故D 选项正确．
故选：ACD．
六．余弦函数的图象（共5 小题）
28．（2023•河南模拟）已知函数f（x）＝cos（ωx﹣
）（ω＞0），若f（x）在
上没有
零点，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（0，1]
【解答】解：∵函数f（x）＝cos（ωx﹣
）（ω＞0），若函数f（x）在（
，
）上没有零点，
ωx﹣
∈（
，
），
∴
≥2kπ﹣
且
≤2kπ+
，或
≥2kπ+
且
≤2kπ+
，
∴4k+
≤ω≤
+
或4k+
≤ω≤
+
k∈Z．
令k＝0，由4k+
≤ω≤
+
，k∈Z，可得
≤ω≤
．
令k＝﹣1 时，由4k+
≤ω≤
+
，k∈Z，可得﹣
≤ω≤
．
再根据ω＞0，可得0＜ω≤
．
26
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则ω 的取值范围是（0，
]∪[
，
]，
故选：A．
29．（2023•安阳模拟）已知函数
在[0，π]上有且仅有2 个
零点，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
＝
，
当x∈[0，π]时，
，
∵f（x）在[0，π]内有且仅有2 个零点，
∴
，∴
，
∴ω 的取值范围是
．
故选：A．
30．（2023•一模拟）已知函数
，（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存
在3 条对称轴，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵函数
（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存在3 条对
称轴，
∴ωx
∈（﹣
，2ωπ﹣
），∴2ωπ﹣
≤3π，∴ω≤
．
故选：A．
31．（多选）（2023•新乡三模）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（0＜ω＜10，0＜φ＜π）图象的一个对称
中心是
，点
在f（x）的图象上，则（ ）
A．
B．直线
是f（x）图象的一条对称轴
27
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C．f（x）在
上单调递减
D．
是奇函数
【解答】解：因为点
在f（x）的图象上，
所以
．又0＜φ＜π，
所以
，
因为f（x）图象的一个对称中心是
，
所以
，则ω＝2+8k，k∈Z，
又0＜ω＜10，所以ω＝2，则
，A 正确；
，则直线
不是f（x）图象的一条对称轴，B 不正确；
当
时，
，单调递减，C 正确；
，是奇函数，D 正确．
故选：ACD．
32．（2023•泸州模拟）写出使“函数f（x）＝cos（2x+φ）为奇函数”的φ 的一个取值
．
【解答】解：因为函数f（x）＝cos（2x+φ）为奇函数，所以
．
即φ 的一个取值为
．
故答案为：
（答案不唯一）．
七．余弦函数的单调性（共2 小题）
33．（2023•全国一模）已知函数
在区间
上单调递减，则
实数ω 的取值范围为（ ）
A．
B．（1，2]
C．（0，1]
D．
【解答】解：由题意有T＝
≥π，可得0＜ω≤2，
28
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又由
＜
+
≤
，
必有
+
≤π，
可得0＜ω≤
，即实数ω 的取值范围为（0，
]．
故选：A．
34．（2023•白山三模）已知函数
，则f（x）在[﹣2，0]上（ ）
A．单调递增
B．单调递减
C．先增后减
D．先减后增
【解答】解：∵x∈[﹣2，0]，
∴2x﹣
∈[﹣4﹣
，﹣
]，
∵﹣
＜﹣4﹣
＜﹣π＜﹣
＜0，
∴函数
在[﹣2，0]上先减后增，
故选：D．
八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1 小题）
35．（2023•石景山区一模）若函数
的部分图
象如图所示，则φ 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜
）的部分图象，
可得f（0）＝﹣f（
），即有f（x）的图象关于点（
，0）对称，
由图象可得f（x）的最小正周期T＝2（
+
）＝π，即有ω＝
＝2，①
又f（﹣
）＝Asin（﹣
+φ）＝0，
29
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由图象可得﹣
+φ＝0，②
由①②解得φ＝
，ω＝2，
故选：A．
九．同角三角函数间的基本关系（共4 小题）
36．（2023•攀枝花一模）若tanθ＝2，则7cos2θ﹣2sin2θ＝（ ）
A．﹣
B．
C．﹣2
D．2
【解答】解：若tanθ＝2，
则7cos2θ﹣2sin2θ＝
＝
＝
＝﹣
．
故选：A．
37．（2023•山西模拟）已知tanα＝﹣7，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为tanα＝﹣7，
所以
，
，
故
．
故选：A．
38．（2023•阳泉二模）已知
，0＜α＜π，则sinα﹣cosα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，所以
，
即
，
所以
．
因为0＜α＜π，所以cosα＜0＜sinα，所以sinα﹣cosα＞0，
30
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因为
，
所以
．
故选：B．
39．（2023•河南模拟）已知tanθ＝﹣3，则sin2θ﹣cos2θ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为tanθ＝﹣3，
所以
＝
．
故选：D．
一十．两角和与差的三角函数（共4 小题）
40．（2023•射洪市校级模拟）若α 为锐角，且
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为α 为锐角，所以
，所以
，
又因为
，所以
，
所
以
＝
．
故选：D．
41．（2023•广西模拟）已知
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所
以
＝
＝
31
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＝
，
＝
＝
，
所以
＝
＝
＝
＝
．
故选：D．
42．（2023•淮安模拟）已知cos（40°﹣θ）+cos（40°+θ）+cos（80°﹣θ）＝0，则tanθ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为cos（40°﹣θ）+cos（40°+θ）+cos（80°﹣θ）＝0，
所以cos40°cosθ+sin40°sinθ+cos40°cosθ﹣sin40°sinθ+cos80°cosθ+sin80°sinθ＝0，
所以2cos40°cosθ+cos80°cosθ+sin80°sinθ＝0，
所以2cos40°+cos80°+sin80°tanθ＝0，
所以
＝
＝
．
故选：A．
43．（2023•乌鲁木齐模拟）若
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
＝
．
故选：B．
32
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一十一．二倍角的三角函数（共6 小题）
44．（2023•九江模拟）已知sinθ+2cos2
，则sin2θ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为sinθ+2cos2
，
所以sinθ+cosθ＝
，
两边平方得1+2sinθcosθ＝
则sin2θ＝﹣
．
故选：A．
45．（2023•乐山模拟）已知
，则sinα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵
，可得cos2α+1＝2sin2α，
∴2cos2α＝4sinαcosα，
∴cosα＝2sinα，
又cos2α+sin2α＝5sin2α＝1，
∴sinα＝
．
故选：C．
46．（2023•武汉模拟）已知
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵
＝
，
∴
＝
＝
．
故选：D．
47．（2023•惠州一模）若
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
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【解答】解：因为
，所以
，即3sinα﹣sin2α＝cos2α，
所以3sinα＝sin2α+cos2α＝1，即
，
所以
．
故选：D．
48．（2023•怀仁市校级二模）已知
，且
，则tanθ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【解答】解：∵
，
∴
或
，
∵
，
∴tanθ＞1，
故
．
故选：B．
49．（2023•郑州模拟）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：cos2（x﹣
）+cos2（x+
）
＝（cosxcos
+sinxsin
）2+（cosxcos
﹣sinxsin
）2
＝（
cosx+
sinx）2+（
cosx﹣
sinx）2
＝
cos2x+
sinxcosx+
sin2x+
cos2x﹣
sinxcosx+
sin2x
＝
cos2x+
sin2x
＝
+cos2x
＝
+
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＝1+
×（﹣
）
＝
．
故选：B．
一十二．半角的三角函数（共2 小题）
50．（2023•江西模拟）若
，α 是第三象限的角，则
＝（ ）
A．2
B．
C．﹣2
D．
【解答】解：由
，α 是第三象限的角，
∴可得
.
，
∴
故选：C．
51．（2023•宝鸡三模）若α∈（0，π），且sinα+2cosα＝2，则tan
等于（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【解答】解：∵α∈（0，π），
∴
∈（0，
），
设tan
＝x，x＞0，
∵sinα＝
＝
，cosα＝
＝
，
∴sinα+2cosα＝
+2•
＝
＝2，
即x+1﹣x2＝1+x2，
即x（2x﹣1）＝0，
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解得x＝
故选：C．
一十三．三角函数的恒等变换及化简求值（共5 小题）
52．（2023•安阳三模）已知
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
，
又
，解得tanα＝7，
所
以
故选：B．
53．（2023•湖南一模）已知
＝2，则tanθ＝（ ）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
【解答】解：∵
＝
＝tan
＝2，
∴tanθ＝
＝
＝﹣
，
故选：C．
54．（2023•兴庆区校级模拟）若sin（
﹣α）＝
，cos（
+2α）＝（ ）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【解答】解：∵sin（
﹣α）＝
，
∴cos[
﹣（
﹣α）]＝cos（
+α）＝
，
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∴cos（
+2α）＝2cos2（
+α）﹣1＝
﹣1＝﹣
，
故选：D．
55．（2023•迎江区校级模拟）已知
，则
＝
2
．
【解答】解：已知
，所以sinθ＝2cosθ，tanθ＝2，
．
故答案为：2．
56．（2023•万州区校级模拟）在△ABC 中，若
+
＝3，则sinA 的最大值为
．
【解答】解：在△ABC 中，
+
＝3，
∴
．
∴
，即
，
∴
．
根据正弦定理得：
．
∴a2＝3bccosA．
又根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣2bccosA＝3bccosA．
∴
．
当且仅当b＝c 时等号成立，
∴
．
∴
，即
，
∴
．
故答案为：
一十四．三角函数中的恒等变换应用（共4 小题）
57．（2023•南江县校级模拟）已知函数
在[0，π]上恰有3
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个零点，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得
，
因为x∈[0，π]，所以
，
则
，解得
．
故选：A．
58．（2023•安徽二模）已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωxcosωx﹣1（ω＞0）在
上恰有4 个不同的
零点，则实数ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（x）＝sin2ωx+sinωxcosωx﹣1＝
＝
，
函数f（x）在
上恰有4 个不同的零点，
则f（x）＝0，即
在
上恰有4 个不同的解，
∵
，
∴
，
∴由正弦函数图象可知，
，解得3
，
故实数ω 的取值范围是（3，
]．
故选：D．
59．（2023•山西模拟）已知函数f（x）＝
，集合{x∈（0，π）|f（x）＝1}
中恰有3 个元素，则实数ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵f（x）＝
sinωx﹣cosωx（ω＞0），
∴
，
又集合A＝{x∈（0，π）|f（x）＝1}含有3 个元素，
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∴方程f（x）＝1，在（0，π）上只有三解，
∴
，在（0，π）上只有三解，
∴
或
，
∴
或
，
又
，在（0，π）上只有三解，
∴
、
、
，其他值均不在（0，π）内，
∴
，解得
，
故选：D．
60．（2023•天津模拟）将函数
的图象向右平移
个单位，得到g（x）的
图象，再将g（x）图象上的所有点的横坐标变成原来的
，得到h（x）的图象，则下列说法正确的个
数是（ ）
①函数h（x）的最小正周期为2π；
②
是函数h（x）图象的一个对称中心；
③函数h（x）图象的一个对称轴方程为
；
④函数h（x）在区间
上单调递增
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：函数
＝sin2x+
＝2sin（2x+
）的图象向右平移
个单位，得到g（x）＝2sin（2x﹣
）的图象，
再将函数g（x）的图象上的所有点的横坐标变成原来的
，得到的函数关系式h（x）＝2sin（4x﹣
）；
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对于①函数h（x）的最小正周期为
，故①错误；
对于②当x＝
时，h（
）＝2sin（
）＝0，故
是函数h（x）图象的一个对称中
心，故②正确；
对于③令4x﹣
（k∈Z），整理得x＝
（k∈Z），函数h（x）图象的对称轴方程
不为
，故③错误；
对于④由于
，所以
，故函数h （x ）在区间
上单调递增，故④正确．
故选：B．
1.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b 不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
2.两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的
正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan
α·tan β≠1
两角差的
正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan
β≠－1
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝2sin_α cos
_α
C2α
cos 2α＝cos
2 α －
sin
2 α
T2α
tan 2α＝
4.余弦的二倍角公式的变形
5．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.
(2)1±sin 2α＝(sin_α ±cos
_α ) 2 .
6.半角公式
40
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(1)sin＝± ，
(2)cos＝± ，
(3)tan＝± ，
(4)tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
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