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4.5 正余弦定理的综合运用
1
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2
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考点一 三角形的角平分线、中线与高
【例1-1】（2024·辽宁丹东·二模）在△
中，点D 在
边上，
平分
，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【例1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）在
中，已知
，当边BC 的中线
时，
的面积为 ．
【例1-3】（2024·广东广州·模拟预测）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，若
，
，
的平分线
的长为
，则
边上的中线
的长等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-4】（2024·河北·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，若
的平
分线
的长为
，则
边上的高线
的长等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·河南·阶段练习）记
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
，
，
的平分线交边AC 于点D，且
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．
3
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2．（2024 湖北·阶段练习）已知
分别为锐角三角形
三个内角
的对边，且
.
(1)求
;
(2)若
，
为
的中点，求中线
的取值范围.
3．（2024·吉林延边·一模）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
．
(1)求B；
(2)若点D 在AC 上，且
，求
．
4．（2024·江西宜春·三模）在
中，设角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
，
的周
长为15，面积为
．
(1)求
的外接圆面积；
(2)设D 是边AB 上一点，在①CD 是边AB 上的中线；②CD 是
的角平分线这两个条件中任选一个，求
线段CD 的长．
4
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考点二 三角形的周长与面积的取值范围
【例2-1】（2024·全国·二模）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，且
，则△ABC 周长的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】．（2024·陕西西安·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，则
面积的最大值为 .
【例2-3】（2024·陕西·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．12
D．15.
【例2-4】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
，则
的面积S 的取值范围为 ．
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模）
中角
所对的边分别为
，其面积为，且
.
(1)求
；
(2)已知
，求的取值范围.
5
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2．（2024·全国·模拟预测）在①
；②
两个条件中
任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在
中，内角
所对的边分别是
，且
______．
(1)求角
的大小；
(2)若点
满足
，且线段
，求
面积的最大值．
3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
.
(1)求
.
(2)求
面积的取值范围.
4．（2024·四川德阳·二模）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
6
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(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
考点三 取值范围
【例3-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则边b 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角
的三个内角
的对边分别为
，且
，
则
的取值范围为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（2024·江苏盐城·模拟预测）在
中，已知角
，
，
所对的边分别为
，
，，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
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【一隅三反】
1．（2024 上海·期末）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、．若
是
、的等比中项，则角
的最大值为 ．
2．（2024·湖南衡阳·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a、b、c，且
．
(1)求A；
(2)如图所示，D 为平面上一点，与
构成一个四边形ABDC，且
，若
，求AD 的最大值．
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3．（2024·全国·模拟预测）在①
，②
，③
的面积为
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
在锐角三角形
中，角
所对的边分别为
，______．
(1)求
；
(2)已知
是
的平分线与
的交点，求
的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考点四 正余弦定理与三角函数的性质
【例4】（2024·浙江·模拟预测）已知函数
，将
的图象横坐标变为原来的
，纵
坐标不变，再向左平移
个单位后得到
的图象，且
在区间
内的最大值为
.
（1）求
的值；
（2）在锐角
中，若
，求
的取值范围.
9
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【一隅三反】
1．（2024 北京昌平·期末）已知
，
，
（1）求
的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角
的内角
的对边分别为
，且
，
，求
边上的高的最大值．
2．（2024 湖南常德·期中）已知向量
.
(1)求
的取值范围；
(2)记
，在
中，角
的对边分别为
且满足
，求函数
的值
域.
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3．（2024 重庆沙坪坝·阶段练习）设函数
，其中向量
，
.
(1)求
的最小值；
(2)在△
中，
，
，分别是角
，
，
所对的边，已知
，
，△
的面积为
，求
的值.
考点五 正余弦定理在几何中运用
【例5-1】（2024 福建三明·阶段练习）如图，在四边形
中，
，
，
，
.
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（1）若
，求
；
（2）记
，当
为何值时，
的面积有最小值？求出最小值.
【一隅三反】
1．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形
中，
，
，
.
(1)当四边形
内接于圆O 时，求角C；
(2)当四边形
面积最大时，求对角线
的长.
2．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，且
的外接圆半径为4.
(1)若
，
，求
的面积；
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(2)若
，求
的最大值.
3．（2024·浙江·开学考试）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
．
的内角A，
B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求四边形ABCD 的外接圆半径R；
(2)求
内切圆半径r 的取值范围．
考点六 证明题与存在性
【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知
的外心为
，点
分别在线段
上，且
恰为
的中点．
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(1)若
，求
面积的最大值；
(2)证明：
．
【例6-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得
存在且唯一确定，求
的面积.
条件①：
；条件②：
；条件③：
的周长为9.
【一隅三反】
1.（2024 山西运城）
中，内角
的对边分别为
的外接圆半径为
，已知
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.
(1)求
；
(2)已知
的平分线交
于点
，从以下三个条件中选择两个，使
唯一确定，并求
和
的长
度.
条件①：
；条件②：
；条件③：
.
2．（2024·浙江金华）记
的内角
的对边分别为
.已知
.
(1)求
；
(2)证明：
.
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3（2024 广东）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若
，求C；
(2)证明：
考点七 三角形的四心
【例7】（2023 春·浙江温州 ）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
，角
B 为钝角．
(1)求
；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若
，
，
为
的___________，求
的面积．
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【一隅三反】
1．（2024·安徽）已知ΔABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，tanC=
(1)求
的值；
(2)设M 和N 分别是ΔABC 的重心和内心，若MN//BC 且c=2，求a 的值．
2．（2024 四川内江）
的内角A，B，C 所对的边分别为
．
(1)求A 的大小；
(2)M 为
内一点，
的延长线交
于点D，___________，求
的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使
存在，并解决问题．
①M 为
的重心，
；
②M 为
的内心，
；
③M 为
的外心，
．
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3．（2024·广东广州）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求
；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若
，
，
为
的___________，求
的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
18
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一．单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）在
中，
边上的高等于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 江苏宿迁·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的
形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
3．（2024·山东日照·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·青海·一模）在梯形ABCD 中，
，
，
，
，
，E，F 分别为AD，BC
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知
是锐角三角形，内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·安徽·校联考模拟预测）在
中，
，
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
边上的中线长为2
B．
为锐角三角形
C．
D．
的周长为12
7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知
三个内角
、
、
的对应边分别为
、
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、，且
，
.则下列结论不正确的是（ ）
A．
面积的最大值为
B．
C．
的最大值为
D．
的取值范围为
8．（2024·全国·模拟预测）已知
外接圆的半径为
，
为边
的中点，
，
为钝角，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（2024·江苏·阶段练习）如图，
的角
所对的边分别为
，
，且
，若点
在
外，
，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．四边形
面积的最大值为
D．四边形
面积的最大值为
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10．（2024 黑龙江佳木斯·期中）已知△ABC 三个内角A，B，C 的对应边分别为a，b，c，且
，c=2．
则下列结论正确（ ）
A．△ABC 面积的最大值为
B．
的最大值为
C．
D．
的取值范围为
11．（2025·福建厦门·阶段练习）已知锐角
三个内角
的对应边分别为
，且
．则
下列结论正确的是（ ）
A．
的面积最大值为
B．
的取值范围为
C．
的值可能为3
D．
的最小值为
三．填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，若
，
，则
的最大值为 .
13．（2025·海南海口·模拟预测）锐角
中，
，角A 的角平分线交
于点
，
, 则
的取值范围为 .
14．（2024·四川自贡·三模）如图，D 为
的边AC 上一点，
，
，
，则
的最小值为 .
四．解答题
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15．（2024·北京·三模）已知函数
的最小正周期为
.
(1)求
的值；
(2)在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.c 为
在
上的最大值，再从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择一个作为已知，求
的取值范围.条件①：
；条件②：
；条件③：
的面积为S，且
.注：如果选择多个条件分别
解答，按第一个条件计分.
16．（2024·全国·模拟预测）在
中，点D，E 都是边BC 上且与B，C 不重合的点，且点D 在B，E 之间，
．
(1)求证：
．
(2)若
，求证：
．
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17．（2024·山东青岛·期中）已知函数
，若锐角
的内角
所对的边
分别为
，且
．
(1)求角
；
(2)求
的取值范围；
(3)在
中，
，其外接圆
直径为
（如图），
，求
和
．
18（2024 湖南·阶段练习）已知
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、，
.
(1)求角
；
(2)若
为锐角三角形，且外接圆的半径为
，求
的取值范围.
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19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD 铺设草坪，其中
百米，
百米，
，
，草坪内需要规划4 条人行道DM、DN、EM、EN 以及两条排水沟AC、
BD，其中M、N、E 分别为边BC、AB、AC 的中点．
(1)若
，求排水沟BD 的长；
(2)若
，试用
表示4 条人行道的总长度．
24
