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6.1 等差数列（精讲）
一．等差数列的定义
如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．
二．等差中项
如果三个数a，A，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，由等差数列的定义知2A＝a＋b．
①a，A，b 是等差数列的充要条件是2A＝a＋b．
②数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
③若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
三．等差数列的通项公式
1
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首项为a1，公差为d 的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d；an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
四．等差数列的前n 项和公式
1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n 项和Sn＝或Sn＝na1＋d．
2.等差数列的前n 项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n⇌数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．
3.等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m 使得Sn取得最大值Sm；
若a1<0，d>0，则满足的项数m 使得Sn取得最小值Sm．
一．等差数列运算问题的通性方法
1.等差数列运算的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．
2.等差数列的通项公式及前n 项和公式， 共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个。
二．等差数列的判定与证明的常用方法
1.定义法：an＋1－an＝d(d 是常数，n∈N*)或an－an－1＝d(d 是常数，n∈N*，n≥2)
{
⇔an}为等差数列．
2.等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)
{
⇔an}为等差数列．
3.通项公式法：an＝an＋b(a，b 是常数，n∈N*)
{
⇔an}为等差数列．
4.前n 项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)
{
⇔an}为等差数列．
三．在等差数列{an}中前n 项和性质
1.Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，构成等差数列；
2.S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
3.S2n－1＝(2n－1)an．
5.若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S 偶－S 奇＝nd；＝．
6.
若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S 奇－S 偶＝an；＝．
四．求等差数列前n 项和Sn及最值
1，二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n∈N*.
2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使Sn取得最值．
2
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3.项的符号法(邻项变号法)：
①当a1>0，d<0 时，满足的项数m 使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0 时，满足的项数m 使得Sn取得最小值为Sm.
五．数列的单调性
当d>0 时，{an}是递增数列；
当d<0 时，{an}是递减数列；
当d＝0 时，{an}是常数列．
考法一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，
，则
（ ）
A．54
B．71
C．80
D．81
【例1-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列
的前
项和是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）记
为等差数列
的前
项和．若
，则
（ ）
A．25
B．22
C．20
D．15
【一隅三反】
1．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列
的前
项和为
．若
，则
（ ）
A．16
B．25
C．29
D．32
2．（2023 春·广东佛山）（多选）若
为等差数列，
，
，则下列说法正确的是（ ）
3
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A．
B．－11 是数列
中的项
C．数列
的前n 项和
D．数列
的前7 项和最大
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列
为递减数列，且
，
，则下列结论
中正确的有（ ）
A．数列
的公差为
B．
C．数列
是公差为
的等差数列
D．
4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）（多选）已知数列
的前
项和为
，若数列
和
均为等差数列，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考法二 等差数列的判定与证明
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
．证明：
是等差数
列，并求出数
的通项公式．
4
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【例2-2】（2023·北京）已知数列
满足
，记
．求证：数列
是等
差数列．
【一隅三反】
1．（2023·安徽）若数列
为等差数列，则下列说法中错误的是（ ）
A．数列
，
，
，…，
…为等差数列
B．数列
，
，
，…，
，…为等差数列
C．数列
为等差数列
D．数列
为等差数列
2．（2023·云南）已知等差数列
的前
项和为
，若
(1)求数列
的通项公式.
5
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(2)证明:数列
为等差数列.
3．（2023·广东）已知数列{
}满足
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列{
}的通项公式．
4．（2023 福建）已知数列
为等差数列，
，
，前
项和为
，数列
满足
，
求证：
(1)数列
为等差数列；
(2)数列
中任意三项均不能构成等比数列.
6
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考法三 等差数列的中项性质
【例3-1】（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2023·湖北）等差数列
中，若
，则
的前15 项和为（ ）
A．1
B．8
C．15
D．30
【一隅三反】
1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）设
为等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．（2023·重庆·校联考三模）已知
是等差数列，
是等比数列，若
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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3．（2023·广东）设公差不为0 的等差数列
的前n 项和为
，已知
，则
（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
4．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）用
表示等差数列
的前n 项和，若
，
，则m 的值为______．
考法四 等差数列前n 项和的性质
【例4-1】（2023·海南）若两个等差数列
，
的前n 项和
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2023·云南）已知两个等差数列
和
的前n 项和分别为Sn 和Tn，且
=
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列
的前
项和为
，
，则
（ ）
A．9
B．
C．12
D．
【例4-4】（2023·全国·高三对口高考）设
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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【例4-5】（2023·全国·高三专题练习）已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1＝﹣2018，
，则S2020等于（ ）
A．﹣4040
B．﹣2020
C．2020
D．4040
【一隅三反】
1．（2023·山西）设等差数列
与等差数列
的前n 项和分别为
，
，若对任意自然数n 都有
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·山东）设等差数列
与等差数列
的前n 项和分别为
，
.若对于任意的正整数n 都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·河北）设等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
4．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列
，
的前
项和分别为
，
，若
，
9
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则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）等差数列
的前
项和为
，若
且
，则( )
A．
B．
C．
D．
考法五 等差数列的最值
【例5-1】（2023·甘肃）设等差数列
的前n 项和为
，已知
是方程
的两根，
则能使
成立的n 的最大值为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【例5-2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列
的公差为
，共前
项和为
，
已知
，
，则下列结论不正确的是（ ）.
A．
，
B．
与
均为
的最大值
C．
D．
【一隅三反】
10
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1．（2023·内蒙古）已知等差数列
（
）的前n 项和为
，公差
，
，则使得
的最大整数n 为（ ）
A．9
B．10
C．17
D．18
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
是等差数列，若
，
，且数列
的前
项和
有最大值，那么当
时，
的最大值为（ ）
A．10
B．11
C．20
D．21
3．（2023 春·重庆·高三统考开学考试）设等差数列
的前
项和为
，满足
，则（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
D．满足
的最大自然数
的值为25
考法六 等差数列在实际生活中的应用
【例6-1】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著
作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益
功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天
比前一天多织相同量的布，第一天织了5 尺布，现在一个月（30 天）共织390 尺布”，假如该女子1 号开
始织布，则这个月中旬（第11 天到第20 天）的织布量为（ ）
A．26
B．130
C．
D．156
【例6-2】（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022 年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球
赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002 年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲
举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员
的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2 整除余1 且被7 整除余1 的可以获得精品足球一
11
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个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456 人（编号为1 号到1456
号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102
B．103
C．104
D．105
【一隅三反】
1．（2023·河南）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心
石砌若干块扇面形石板构成第1 环，依次向外共砌27 环，从第2 环起，每环依次增加相同块数的扇面形石
板．已知最内3 环共有54 块扇面形石板，最外3 环共有702 块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不
含天心石）（ ）
A．3339 块
B．3402 块
C．3474 块
D．3699 块
2．（2023·吉林）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式
平台，自上而下一共12 层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108 座．已知其中10 层的塔数成公
差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11 层的塔数为（ ）
A．17
B．18
C．19
D．20
3．（2023·黑龙江）广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石
结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九
十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某
游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便
浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一
12
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层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（ ）
A．352
B．387
C．332
D．368
13
