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2025 高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及其意义-专项训练
【A 级 基础巩固】
1．(多选)下面说法不正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
2．已知曲线y＝x2－2 上一点P，则过点P 的切线的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
3．若曲线f(x)＝x2在点P 处的切线斜率等于2，则点P 的坐标为( )
A．(－2，－8)
B．(－1，－1)
C．(1，1)
D．
4．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的
值是( )
A．
B．1
C．
D．2
5．曲线y＝x3＋11 在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标为( )
A．－9
B．－3
C．9
D．15
6．已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－
f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
7．已知曲线y＝f(x)＝x3上一点P，则f(x)在点P 处的切线的斜率为________，在点P 处
的切线方程为________________．
8．已知曲线y＝.
(1)求曲线过点A(1，0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
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【B 级 能力提升】
1．若经过点(3，0)的直线l 与抛物线y＝的两个交点处的切线相互垂直，则直线l 的斜
率k 等于( )
A．－
B．－
C．
D．－
2．在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，斜率最小的切线的方程为________．
3．已知曲线y＝x2＋1，则是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切
线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
【A 级 基础巩固】
1．解析：根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存
在，但反之不一定成立，故A，B，D 错误．
答案：ABD
2．解析：∵y＝x2－2，
∴y′＝lim
＝lim
＝lim ＝x，
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∴y′|x＝1＝1，∴点P 处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
答案：B
3．解析：设点P 的坐标为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝lim ＝2x0，
即2x0＝2.
所以x0＝1，此时y0＝x＝12＝1.
故点P 的坐标为(1，1).
答案：C
4．解析：∵(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0 上，
∴1－2f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1.
又f′(1)＝，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2×＝2.
答案：D
5．解析：∵lim ＝lim
＝lim [3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，
由已知得切线的斜率k＝y′|x＝1＝3，
所以切线方程为y－12＝3(x－1)，
即3x－y＋9＝0.
令x＝0，得y＝9，所以切线与y 轴交点的纵坐标为9.
答案：C
6．解析：结合导数的几何意义知，k1就是曲线在点A 处切线的斜率，k2则为在点B 处
切线的斜率，则k3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系．
答案：k1>k3>k2
7．解析：由导数的定义易得f′(x0)＝x，所以f(x)在点P 处的切线的斜率为4，
所以切线方程为y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
答案：4 12x－3y－16＝0
8．解：(1)设过点A(1，0)的切线的切点坐标为.
因为lim ＝－，
所以该切线的斜率为－，
切线方程为y－＝－(x－a).①
将A(1，0)代入①式，得a＝.
所以所求的切线方程为y＝－4x＋4.
(2)由(1)知f′(x)＝－.
令－＝－，得x＝或x＝－，所以切点为P 或P′，
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所以所求的切线方程为y＝－x＋或y＝－x－.
【B 级 能力提升】
1．解析：由直线l 的斜率为k，则其方程为y＝k(x－3)，
设直线l 与抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得x2－2kx＋6k＝0，
所以x1x2＝6k.
又对y＝求导有y′＝x，所以抛物线在A，B 两点处的切线的斜率分别为x1，x2，
于是有x1x2＝6k＝－1，所以k＝－.
答案：A
2．解析：由导数的几何意义知，曲线y＝x3＋3x2＋6x－10 上每一点处的切线的斜率等
于函数f(x)＝x3＋3x2＋6x－10 在该点处的导数，因此曲线切线的斜率k＝f′(x0)＝lim ＝3x＋
6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3≥3，当x0＝－1 时，斜率取到最小值3，此时，曲线上的点为(－1，－
14)，切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
答案：3x－y－11＝0
3．解：由＝＝2x＋Δx，
得y′＝lim ＝lim (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，
则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，
由点斜式可得所求切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0).
又因为切线过(1，a)，y0＝x＋1，
所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，
即x－2x0＋a－1＝0.
因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，
解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是{a|
a<2}．
