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第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高频考点一遍过............................................2
高频考点一：分离变量法..............................................2
高频考点二：分类讨论法..............................................7
高频考点三：等价转化法.............................................11
高频考点四：双元最值法.............................................18
高频考点五：构造法和同构法.........................................20
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1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
3、等价转化法
当遇到 型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、双元最值法
形如： ，不等式 或者 的模型
（ 或者 ）
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数 ，对
，当 时，恒有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数对一切 ， 恒成立，则实数 的取值范围是
__________.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
例题4．（2023·内蒙古·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
练透核心考点
1．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）不等式 对任意 都成立，
则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．-1
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝xln x，若对于所有 都有f（x）≥ax－1，求实数a的取值范围．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .当 时，求使不等式
恒成立的最大整数 的值.
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数 的图像与直线
相切于点 ．
(1)求函数 的图像在点 处的切线在x轴上的截距；
(2)求 与 的函数关系 ；
(3)当 为函数 的零点时，若对任意 ，不等式 恒成立．求实数 的取值范围．
练透核心考点
1．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知函数 ．(1)设 、 是函数 的图像上相异的两点，证明：直线 的斜率大于0；
(2)求实数 的取值范围，使不等式 在 上恒成立．
2．（2023·四川广安·统考一模）已知函数 ．
(1)若 是 的极小值点，求a的取值范围；
(2)若 ， ，求a的取值范围．
高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， .(1)若 ，求 的极值；
(2)证明：当 时， .
例题2．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知函数 在 处取极大值，
．
(1)求 的值；
(2)求证： ．
例题3．（2023秋·天津河西·高三天津市第四十二中学校考期末）已知函数 ，
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）设函数 ，求函数 的单调区间；
（3）若对 内任意一个 ，都有 成立，求 的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， ．
(1)若曲线 在点 处的切线与曲线 相切，求实数a的值；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数a的最小整数值．2．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数 ， .
(1)求 的极值；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
3．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）设 ， ，已知
和 在 处有相同的切线.
（1）求 ， 的解析式；
（2）求 在 上的最小值；
（3）若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
高频考点四：双元最值法
典型例题
例题1．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）已知函数 对区间 上任
意的 都有 ，则实数 的最小值是________.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .(1)求函数 的单调区间；
(2)若对 、 ，使 恒成立，求 的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极大值为2．
(1)求函数 的解析式；
(2)若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求实数 的最小值．
高频考点五：构造法和同构法
典型例题
例题1．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知 ，若不等式 在
上恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）若对任意的 恒成立，
则实数 的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．
例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知 ，若对于任意的
，不等式 恒成立，则 的最小值为__________．例题4．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知 ，若对于任意的 ，不等式
恒成立，则 的最小值为________.
例题5．（2023·甘肃·统考一模）已知函数 .
(1)当 时，求函数在 处的切线方程；
(2)若 时，恒有 ，求 的取值范围.
练透核心考点
1．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知函数 ，若 恒
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）已知函数 ，若 恒成立，则k
的取值范围是______________．
3．（2023·新疆阿勒泰·统考一模）已知函数 ，若任意 ，使得
，则 的取值范围是__________.
