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第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高频考点一遍过............................................2
高频考点一：分离变量法..............................................2
高频考点二：分类讨论法..............................................7
高频考点三：等价转化法.............................................11
高频考点四：双元最值法.............................................18
高频考点五：构造法和同构法.........................................20
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
3、等价转化法
当遇到 型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、双元最值法
形如： ，不等式 或者 的模型
（ 或者 ）
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数 ，对
，当 时，恒有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ，
由题意， 在 上单调递减， 在 恒成立，即 在 时恒成立，
设 ，当 时， ，
当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，
，即 ，经检验，符合题意，
即a的取值范围为 ，
故选：D.
例题2．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数
对一切 ， 恒成立，则实数 的取值范围是
__________.
【答案】
【详解】∵ ，即 ，
注意到 ，整理得 ，
故原题意等价于对一切 ， 恒成立.
设 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上的最小值为 ，
故 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意， ， ， ，
曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）若不等式 恒成立，则 在 上恒成立，
因为 ，所以 恒成立，
令 ， ，
令 ， 恒成立，
所以 在 上单调递增，当 趋近于 ， 趋近于负无穷，
当 趋近于正无穷， 趋近于正无穷，所以存在 使得 ，
所以当 时， ， ；当 时， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又因为 ，
解得： ，即 ，则 ，
所以 ，
所以 .
实数a的取值范围为 .
例题4．（2023·内蒙古·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以所求切线方程为 ，即 .
（2）对任意的 ， 恒成立，
等价于对任意的 ， 恒成立.
①当 时， 显然成立.
②当 时，不等式 等价于 .
设 ，
所以 .
设 ，则 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，
所以 ，
又因为在 中， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 .练透核心考点
1．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）不等式 对任意 都成立，
则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】A
【详解】由不等式 ，可得 ，
设 ，即使得 的最小值满足条件即可，
又 ，
令 ，则 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
所以 ，即 恒成立.
因此当 时， ；
当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即实数 的最大值为 .
故选： .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝xln x，若对于所有 都有f（x）≥ax－1，求实数a
的取值范围．
【答案】
【详解】依题意，得 在 上恒成立，即不等式 在 上恒成立，
亦即 ， ．
设 ，则 .
令 ，得 ，当 时， ， 在 上是增函数．
所以 在 上的最小值是 .故a的取值范围是 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .当 时，求使不等式
恒成立的最大整数 的值.
【答案】3
【详解】由 恒成立，得 ，∴ .
∵ ，∴ 恒成立，设 ，则 ，
令 ，则 ，∵ ，∴ ， 在 上单调递增，而
，∴存在 ，使 ，即 ，∴当 时，
，此时函数 单调递减；当 时， ，此时函数 单调递增，∴ 在
处有极小值（也是最小值），∴ ，
又由 恒成立，即 ，∴k的最大整数值为3.
故答案为：3
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数 ，
①当 ，即 时，满足 ；
②当 ，即 时，若 ，则有 ，
令 ，则有 ，
若 ，易知 在 上单调递增，不一定都满足 ，∴ ，即 ，
，由 ，解得 ，由 ，解得 ，所以，在 上单调递增，在 上单调递减，由 ，则有
，解得 ，
所以 时，满足 ；
③当 ，即 时，若 ，则有 ，即 ，
易知 ，当且仅当 时取等号，当 时，
所以 ，
即 ，所以不满足 恒成立；
综上，若 ， 的取值范围是 .
故选：A
例题2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数 的图像与直线
相切于点 ．
(1)求函数 的图像在点 处的切线在x轴上的截距；
(2)求 与 的函数关系 ；
(3)当 为函数 的零点时，若对任意 ，不等式 恒成立．求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1） ， ，
所以 ，
函数 在点 处的切线方程是： ，
令 得 ，所以该切线在x轴上的截距等于 ．
（2）因为 ， ，函数 的图像在 处的切线方程是：
，即 ，
两端乘以b变作： ①又已知函数 的图像在点 处的切线方程是： ②．
直线①与直线②重合，则 ③， ④，联立③④消去b得 ，所以c与a的函
数关系为： ．
（3）函数 的零点为 ， 时 ．
对 ， 恒成立，转化为对 ，不等式 恒成立．
①当 时， 对 恒成立，此时 ．
②当 时， 恒成立．
设 ，求得 ．
时 ，由 得 ，由 得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
所以当 时， 取得极小值， ，此时 ．
③当 时， 恒成立，
与②同，设 ， ．
令 ，则 ， 在 上单调递增．
所以， 时 ，得 ， 在 上单调递减．
所以， 时， 取得最大值 ，此时 ．
整合①②③三种情形，得 ，且等号都取得到．
所以实数 的取值范围为 ．
练透核心考点
1．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知函数 ．
(1)设 、 是函数 的图像上相异的两点，证明：直线 的斜率大于0；
(2)求实数 的取值范围，使不等式 在 上恒成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)【详解】（1）由 可得 ，
故函数 在 是严格增函数，
设 ， ， ，则 ，即 ，
即直线 的斜率大于0．
（2）由题意得，设 ， ，
①当 时， 恒成立，符合题意；
②当 时， ，
（ⅰ）若 ， ，
所以 在 上是严格减函数， ，满足题意；
（ⅱ）若 ，注意到在 时， ，
于是 ，
故 ，不满足题意舍去；
综上，实数 的取值范围是 ．
2．（2023·四川广安·统考一模）已知函数 ．
(1)若 是 的极小值点，求a的取值范围；
(2)若 ， ，求a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由已知可得， 定义域为R.
.
①当 ，则 恒成立，解 可得 ，
解 ，可得 ；解 ，可得 .
显然 是 的极小值点，满足条件.
②当 时，解 可得 ， .（ⅰ）当 ，即 时，解 ，可得 或 ；
解 ，可得 .此时 是 的极小值点，满足条件；
（ⅱ）当 ，即 时， 恒成立，无极值点；
（ⅲ）当 ，即 时，解 ，可得 或 ；
解 ，可得 .此时 是 的极大值点，与已知不符.
综上所述，a的取值范围为 .
（2）由（1）知， ，
因为 ，所以 ，
①当 时，可知 恒成立，则 单调递增.
故 时， ，所以， 满足条件.
②当 时，可知 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增.
所以，在区间 上，当 时， 取得极小值，也即为最小值.
由于 ， 恒成立，
则 ，
即有 ，整理可得 ，
因为 ， ，所以有 ，解得 .
综上所述，a的取值范围为 .
高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， .
(1)若 ，求 的极值；
(2)证明：当 时， .
【答案】(1)极大值为 ，极小值为
(2)证明见解析【详解】（1）由题知 ，定义域为 .
所以 .
令 ，得 或 ，当 变化时， ， 的变化情况如表所示，
x ―1
+ 0 ― 0 +
增 极大值 减 极小值 增
由表可知当 时，函数 取得极大值，且极大值为 ，
当 时，函数 取得极小值，且极小值为 .
（2）问题可转化为证
要证 ，即证 ， ，
即证 ， .
，进而转化为求 ,
设 ，则 ，故 在 上单调递增，
所以 .
又因为 ，所以 ，
所以 .
①当 时，因为 ， ，所以 .
②当 时，令 ，则 .
设 ，则 ，则 .
设 ，则 .因为 ，所以 ，所以 在 上单调递
增，即 在 上单调递增，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 .
综上可知，当 时， ，即当 时， .
例题2．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知函数 在 处取极大值，
．
(1)求 的值；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 ， ，
又函数 在 处取极大值，
所以 ，所以 ．
经检验 时， ,函数 在 上是单调递增的,
,函数 在 上是单调递减的,
故函数 在 处取极大值，所以 ．
（2）由（1）知， ，故要证 ，即证 ．
令 ，则 ， ．
令 ， ,
得到 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，使得 ，即
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又因为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，即 得证．
例题3．（2023秋·天津河西·高三天津市第四十二中学校考期末）已知函数 ，
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）设函数 ，求函数 的单调区间；
（3）若对 内任意一个 ，都有 成立，求 的取值范围.
【答案】(1) 的极小值是 ， 没有极大值；(2)答案见解析；(3) .
【详解】试题分析：
（1） 的定义域为 ，且 ，结合导函数的解析式研究函数的极值可得 的
极小值是 ， 没有极大值；
（2） ，则 ，分类讨论可得：
①当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时，函数 在 上单调递增；
（3）原问题等价于“函数 在 上的最小值大于零”
结合（2）的结论分类讨论：① ；② ；③ ；④ 四种情况可得 的范围是：
.
试题解析：
（1） 的定义域为 ，
当 时， ， ，
3
— 0 +
极小
所以 的极小值是 ， 没有极大值；
（2） ，，
①当 时，即 时，在 上 ，在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 ，即 时，在 上 ，
所以，函数 在 上单调递增；
（3）“对 内任意一个 ，都有 成立”等价于
“函数 在 上的最小值大于零”
由（2）可知
①当 时， 在 上单调递增，所以 ，解得 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以 的最小值为 可得 ，
因为 ，所以 ；
③当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 最小值为 ，由 可得 ，所以 ；
④当 ，即 时，可得 最小值为 ，
因为 ， ，所以 ，
故 ，恒成立.
综上讨论可得所求 的范围是： .
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， ．
(1)若曲线 在点 处的切线与曲线 相切，求实数a的值；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数a的最小整数值．
【答案】(1) 或
(2)1【详解】（1） ，则 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
令 ， ，则 ，
则 ，解得 或 ；
（2）不等式 恒成立，即 恒成立，
由于 ，则 ．
设 ，则 ， ，
即 ．设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ， ，
所以存在 ，使 ，即 ．
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 ．
又 ，则 ，
由于 恒成立， ，所以实数a的最小整数值为1．
2．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数 ， .
(1)求 的极值；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) 的极小值为 ，无极大值
(2)
【详解】（1） 的定义域为 ，
，由 解得 ，
所以在区间 递减；在区间 递增.
所以 在 时取得极小值 ，无极大值.
（2）依题意 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ， ，
令 ， ，
所以 在 上递增， ，故 ，
所以 ，所以 在 上递增，
当 时， 取得最小值为 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
3．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）设 ， ，已知
和 在 处有相同的切线.
（1）求 ， 的解析式；
（2）求 在 上的最小值；
（3）若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ； .
（2） ．（3） .
【详解】：解：（1）
依题意 ，即 ，
（2）
在 上递减，在 递增
①当 时
在 递减，在 递增
②当 时 在 递增
（3）令
由题意 时 恒成立
在 上只可能有一个极值点
①当 即 时， 在 递增
不合题意
②当 ，即 时 符合题意
③当 ，即 时
在 上递减，在 上递增；
符合题意
综上所述实数 的取值范围是：
高频考点四：双元最值法典型例题
例题1．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）已知函数 对区间 上任
意的 都有 ，则实数 的最小值是________.
【答案】20
【详解】 ，则 ＝0， ，当 或 时， ， 递
增，当 时， ， 递减．
所以 ， ，又 ， ，
所以在 上， ，
所以 的最大值为 ，即 ，所以 的最小值为20．
故答案为：20．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对 、 ，使 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
(2)
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
设 ，则 ， ，
所以 在 上为增函数，
所以当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，即 ，所以 在 上为减函数.
综上可得， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（2）对 ，使 恒成立，即对 ，
成立.
由（1）知 在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以 ，
为 和 中的较大者，
∵ ， ， ，又∵ ，得 .
∴ ，即 .
∴在[0，2]上
∴ ，即 ，
解之，得 或 ，
∴对 ，使 恒成立时，a的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极大值为2．
(1)求函数 的解析式；
(2)若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求实数 的最小值．
【答案】(1)
(2)4
（1）解： ，
因为函数 在 处取得极大值为2，
所以 ，解得 ，
经检验符合题意，
所以 ；
（2）解： ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 和 上递增，在 上递减，
又 ，
所以当 时， ，
对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，
则 ，
所以 ，所以实数 的最小值为4．
高频考点五：构造法和同构法
典型例题
例题1．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知 ，若不等式 在
上恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意知， ，不等式 恒成立，
即 成立.
设 ，则 .
因为 ，
所以 在 上单调递增，于是 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立. 令 ，即 .
因为 ，所以当 时， ;
当 时， 0 ，所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，所以 ，所以 .
故选： .
例题2．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）若对任意的 恒成立，
则实数 的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．
【答案】C
【详解】因为 等价于 ，
即 ，即 ．设 ，所以 ，即 在 上单调递减，
因为 ，所以 在 上恒成立，
即 ，即 ，故a的最大值为e．
故选：C．
例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知 ，若对于任意的
，不等式 恒成立，则 的最小值为__________．
【答案】
【详解】由
，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
构造新函数 ， ，
因为 ，所以 函数单调递增，
所以由 ，
即 ，设
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，因此有 ，
故答案为：
例题4．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知 ，若对于任意的 ，不等式恒成立，则 的最小值为________.
【答案】
【详解】 .
令 ， ，则 ，
∴ 在 上单调递增.
∵ ， ，∴ ，
∴ 恒成立，
令 ，则 ，
∴ 单调递增； 单调递减，
时， 的最大值为 ，
∴ ，∴ 的最小值为 .
故答案为： .
例题5．（2023·甘肃·统考一模）已知函数 .
(1)当 时，求函数在 处的切线方程；
(2)若 时，恒有 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）当 时，函数 的定义域为 ， ，则 ，
而 ，于是切线方程为 ，即 ,
所以函数 的图象在 处的切线方程是 .
（2）当 时，恒有 ，即恒有 ，恒有，
令 ，则 ，恒有 ，
因此函数 在区间 上是减函数，
则 在 恒成立，即 ，
，
当 时，恒有 ，因此 ，
所以 的取值范围是 .
练透核心考点
1．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知函数 ，若 恒
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 等价于 .
令函数 ，则 ，故 是增函数.
所以 等价于 ，故 ，即 .
令函数 ，则 .当 时， ， 单调递增；当 时，
， 单调递减，所以 ，故实数 的取值范围为 .
故答案为：
2．（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）已知函数 ，若 恒成立，则k
的取值范围是______________．
【答案】
【详解】解：因为 恒成立，所以 ，因为 ，由 恒成立，
即 ①恒成立，令 ，
所以 ，即在 上， ， 单调递减，
在 上， ， 单调递增，故 ，
令 ，①式可化为 ②，
当 时，②式可化为： ，此时不等式恒成立，故 ；
当 时，②式可化为： 恒成立，故只需 即可，
令 ，有 ，
在 上， ， 单调递减，
在 上， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
综上：k的取值范围为 .
故答案为：
3．（2023·新疆阿勒泰·统考一模）已知函数 ，若任意 ，使得
，则 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】 ，
构造新函数 ，
问题转化为任意 ，使得 成立，
当 时， ，所以此时函数 单调递减，
于是有 在 上恒成立，
，
设 ，当 时， 单调递增，
故 ，所以有 ，
故答案为：
