第04讲 幂函数与二次函数
1．幂函数
(1)幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
y＝
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性
质 在(－∞，0]上单 在(－∞，0)
在R上单 在R上单调 在[0，＋∞)上
单调性 调递减；在(0，＋ 和(0，＋∞)
调递增 递增 单调递增
∞)上单调递增 上单调递减
公共点 (1,1)
2．一般幂函数的图象特征
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图
象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大
的顺序排列．
3．二次函数的图象和性质
解析式 f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象
定义域 R R
值域
在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增；
单调性
在x∈上单调递增 在x∈上单调递减
对称性 函数的图象关于直线x＝－对称
一．幂函数及其图象和性质
例1．（1）现有下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足 形式，故 ， 满足条件，共2个
故选：B
【复习指导】：判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
（2）下列命题中正确的是（ ）
A．当 时，函数 的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过 和 点；C．幂函数 的定义域为 ；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A， 时，函数 的图像是一条直线除去 点，故 错误；
对于B，幂函数的图像都经过 点，当指数大于 时，都经过 点，当指数小于 时，不经过 点，
故B错误；
对于C，函数 ，故定义域为 ，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
（3）幂函数 在第一象限的图像如图所示，则 的大小关系是 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内， 的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可
判断；
【详解】根据幂函数的性质，
在第一象限内， 的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得： ，
故选：D（4）已知幂函数 的图象经过点 ，且 ，则 的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件求出 的解析式，再根据 的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知， ，解得， ，
故 ，易知， 为偶函数且在 上单调递减，
又因为 ，
所以 ，解得， 或 .
故 的取值范围为 .
故选：C.
（5）（多选）已知函数 图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】先代点求出幂函数的解析式 ，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由 可
判断C，利用 展开和0比即可判断D.
【详解】将点(4,2)代入函数 得： ，则 .
所以 ，显然 在定义域 上为增函数，所以A正确.
的定义域为 ，所以 不具有奇偶性，所以B不正确.
当 时， ，即 ，所以C正确.
当若 时，
=
= .
即 成立，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，
（6）若 ，试求 的取值范围.
【答案】
【分析】根据幂函数 的定义域，将 分成：同时大于零、同时小于零、 三种情
况，结合幂函数 的单调性列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ 或 或 解得 或 .故 的取值范围是 .
【点睛】本小题主要考查幂函数 的定义域和单调性的运用，考查分类讨论的数学思想方法，考查不
等式组的解法，属于中档题.
【复习指导】：(1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶
性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
二．比较幂值的大小
例2．（1）若 ， ， ， ，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的概念，利用幂函数的性质即可求解.
【详解】
幂函数 在 上单调递增，
又 ，
，
故选：C.
（2）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助函数 的单调性，可得解
【详解】由题意，构造函数 ，由指数函数和幂函数的性质，
可知两个函数在 单调递增；
由于 ；
由于 ；
综上：
故选：A
（3）已知 ， ，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.
【详解】函数 是定义域R上的单调减函数，且 ，则 ，即 ，
又函数 在 上单调递增，且 ，于是得 ，即 ，
所以a、b、c的大小关系为 ．
故选：C
（4）已知函数 为 上的偶函数，对任意 ， ，均有 成立，若
，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】解： 对任意 ， ，均有 成立，
此时函数在区间 为减函数，是偶函数，
当 时， 为增函数，
， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
故选：D．
（5）比较下列各组中两个幂的值的大小：
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， .
【答案】① ；② ；③ ；④ .
【解析】根据幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】解：①∵幂函数 在 上为增函数，又 ， .
②∵幂函数 在 上为增函数，又 ， .
③∵幂函数 在 上为减函数，又 ， .
④∵幂函数 在 上为减函数，又 ， .【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题.
【复习指导】：在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点：指数不变，选择适当的函数，借助其单调性
进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键，另外特别要善于应用“搭桥”法进行分组，
常数0和1是常用的中间量．
三．求二次函数的解析式
例3．（1）已知函数的图象关于y轴对称，且与直线 相切，则满足上述条件的二次函数可以为
_______.
【答案】 （答案不唯一）．
【分析】关于 轴对称，函数为偶函数，可以设 ，然后由它与直线 相切可求得 的关
系，取特殊可得结论．
【详解】因为二次函数 的图象关于y轴对称，所以可设 ，
由 得 ，所以 ，即 ．
取 ， ，则 ，（答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
（2）已知二次函数 的图像经过点 ，且函数 是偶函数，则函数 的
解析式为___________.
【答案】
【分析】由偶函数易得 关于 对称求参数b，根据图象过点求参数c，写出解析式即可.
【详解】∵ 是偶函数，有 ，∴ 关于 对称，即 ，故 ，又图像经过点 ，
∴ ，可得 .
故 .
故答案为：
（3）已知二次函数f (x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x)＝______.
【答案】x2＋2x
【详解】设函数的解析式为f (x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
所以f (x)＝ax2＋2ax，由＝－1，
得a＝1，所以f (x)＝x2＋2x.
（4）二次函数f (x)满足f (2)＝f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________.
【答案】－4x2＋4x＋7
【详解】方法一 (利用一般式)
设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用顶点式)
因为f (2)＝f (－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.
又根据题意函数有最大值8，
所以f (x)＝a2＋8.
因为f (2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f (x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
（5）已知 是二次函数，且满足 ， ， ，求函数 的解析式.
【答案】
【分析】设 ，根据对称轴、 ， 可构造方程组求得 ，由此可得解析式.
【详解】设 ，
， 关于 对称，即 ；
又 ， ， ，解得：
.
【复习指导】：求二次函数解析式的方法
四．二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的图象
例4．（1）已知函数 （其中 ）的图象如下图所示，则 的图象是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.【详解】解：由图象可知： ，
因为 ，所以由 可得： ，
由 可得： ，
由 可得： ，
因此有 ，
所以函数 是减函数， ，所以选项A符合，
故选：A
（2）在同一直角坐标系中，指数函数 ，二次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性、二次函数的零点确定正确选项.
【详解】指数函数 图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数 ，
有零点 ．A，B选项中，指数函数 在R上单调递增，故 ，故A错误、B正确．C，D选项中，指数函数 在R上单调递减，故 ，故C，D错误．
故选：B
（3）对数函数y＝logx（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是
a
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】①当0＜a＜1时，对数函数y＝logax为减函数，二次函数开口向下，且其对称轴为x＝
，故排除C与D；②当a＞1时，对数函数y＝logax为增函数，二次函数开口向上，且其对称轴为x＝
，故B错误.
【详解】解：由对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，
①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝logax为减函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝ ，故排除C与D；
②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝logax为增函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝ ，故B错误，而A符合题意．
故选：A．
（4）已知函数 ，若关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ，且 ，3为方程 的两根，运用韦达定理可得 ， ， 的关系，可得 的解析式，计算 ， （1）， （4），比较可得所求大小关系．
【详解】关于 的不等式 的解集为 ，
可得 ，且 ，3为方程 的两根，
可得 ， ，即 ， ，
， ，
可得 ， （1） ， （4） ，
可得 （4） （1），故选 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．
命题点2 二次函数的单调性
例5．（1）已知函数f（x） x kx 在 ， 上是单调函数，则k的取值范围是（ ）
= 2- -6 [2 8]
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出二次函数f（x）的对称轴，结合二次函数的性质可得 2或 8，解可得k的
取值范围，即可得答案．
【详解】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣kx﹣6的对称轴为x ，
若f（x）在[2，8]上是单调函数，必有 2或 8，
解可得：k≤4或k≥16，
即k的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数单调性的性质，注意二次函数的性质，属于基础题．
（2）函数 的单调递减区间为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，确定内层函数的单调性，再根据复合函数的单调性得出答案．
【详解】由题可得 ，即 ，所以函数 的定义域为 ，又函数 在
上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数 的单调递减区间为 ，故选D．
【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用、复合函数的单调性、二次函数的性质，体现了转化的数学思
想，属于中档题．
（3）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答.
【详解】当 时， ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，则函数 在 上单调递增，
所以函数 的单调递减区间是 .
故选：A
（4）已知函数 在R上是增函数，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】保证在每一段都是增函数，同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，
进而可解得结果.
【详解】要使 在 上是增函数，则 ，解得 .故答案为： .
【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保证各段上同增(减)时，要注
意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判
断．
（5）已知函数 ，若任意 、 且 ，都有 ，则实数
a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题首先可令 ，将 转化为 ，然后令 ，
通过函数单调性的定义得出函数 在 上是增函数，最后分为 、 两种情况进行讨论，
结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为任意 、 且 ，都有 ，
所以令 ， 即 ， ，
令 ，则函数 在 上是增函数，
若 ，则 ，显然不成立；
若 ，则 ，解得 ，
综合所述，实数a的取值范围是 ，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的性质求参数，主要考查函数单调性的定义以及二次函数性质，要注意 这种情况，考查推理能力，是中档题.
命题点3 二次函数的值域、最值
例6．（1）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为 ，由 可求得 ， ；由此根据值域可确定
函数定义域，即可得到 的取值范围.
【详解】 为开口方向向上，对称轴为 的二次函数
令 ，解得： ，
即实数 的取值范围为
故选：
【点睛】本题考查根据函数的值域求解函数的定义域的问题，关键是能够确定最值点的位置，根据函数的
性质可确定定义域.
（2）已知函数 在定义域 上的值域为 ，则实数 的取值范围为____.
【答案】
【分析】求出原函数的对称轴，分析可知 ，然后根据x≥1时，函数为增函数
且 ，分析即得解
【详解】函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，
当x≥1时，函数为增函数，且
∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]
（3）若函数 的值域为R，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】因为函数 的值域为R，所以真数 能取到大于0的一切实数，
分类讨论 和 两种情况讨论，再取并集即可.
【详解】令 ，由题意得出真数 能取到大于0的一切实数.
①当 时， ，函数为 ，此时函数的值域为 ，不符合题意；
②当 时，则有 ，解得： .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】易错点睛：本题考查利用二次不等式在实数集上恒成立求参数的取值范围，解题时要对首项系数
的符号以及判别式的符号进行分析，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
（4）若函数 的定义域和值域均为 ，则 的值为____.
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为 ，列出相应方程组，求出 ， 的值即
可.
【详解】解：由函数 ，可得对称轴为 ，
故函数在 上是增函数.
函数 的定义域和值域均为 ，，即 .
解得 ， 或 . ， .
.
故答案为： .
（5）已知 ， ，对任意的 ，存在 ，使得
，则 的取值范围是____
【答案】
【分析】求出 和 的值域，根据 的值域包含 的值域列式可求得结果.
【详解】因为 在 上为增函数，所以 ，
，所以 在 上的值域为 ，
因为 在 上的最小值为 ，最大值为 ，所以 的值域为 ，
又对任意的 ，存在 ，使得 ，则 的值域包含 的值域，即
，则 ，解得 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：转化为 的值域包含 的值域求解是解题关键.
（6）已知 ，求 的最小值与最大值．【答案】最小值 ；最大值57
【详解】试题分析：
试题解析：
,
∵ , ∴ .
则当 ,即 时, 有最小值 ；当 ,即 时， 有最大值57．
（7）已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.
①求f(x)在区间 上的最大值g(a)；
②已知 ，求 的值
【答案】① ；②
【分析】①因为 的对称轴 与区间 的位置关系不确定，故分 ， ，
三类来讨论，确定单调性，即可求出最值．②由①所得的 是分3段的分段函数，每一段都代入计
算，符合每一段 的取值范围即可保留，不符合就舍去．
【详解】解：①
1）当 时， ；
2）当 时， ；
3）当 时，
综上所述：② ，
当 时， ，另一根不符合 ，故舍去，
当 时， ，另一跟不符合 ，故舍去，
综上 ．
【点睛】本题考查确定的二次函数在不确定的区间的上的最大值问题，将对称轴和区间的位置关系分三类
进行讨论求最大值即可，是一道中档题．
【复习指导】：解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定
量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，
解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系
进行分类讨论．
命题点4 二次函数的恒成立问题
例7．（1）已知函数 ，若 ，恒有 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数恒成立问题，直接求最值利用二次函数的性质可得；或利用参变分离法，利用基本不等式求
最值即得.
【详解】解法一：若 ，恒有 ，只需 ，
设函数 在 上的最小值为 ，则
（1）当 ，即 时， ，即 ，所以 ；
（2）当 ，即 时， ，即 ，所以此时不满足题意；（3）当 ，即 时， ，所以 ，即 ，
得 ，则 .
综上，实数 的取值范围为 .
故选：B.
解法二：若 ，恒有 ，即对任意 恒成立，
所以 对任意的 恒成立，而 ，当且仅当 ，
即 时取等号，所以 .因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
（2）若 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可转化为 ，使 成立，求 的最大值即可.
【详解】因为 ，使得不等式 成立，
所以 ，使得不等式 成立，
令 ， ，
因为对称轴为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了存在性命题的应用，考查了函数最值的求法，转化思想，属于中档题.（3）若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程 有解转化为 有正根，即 在 有解，根据
解出 的范围．
【详解】方程 有解，
有解，
令 ，
则可化为 有正根，
则 在 有解，又当 时，
所以 ，
故选： ．
（4）设函数 ，若对于 ， 恒成立，则实数 的取值范围为
___________.
【答案】
【分析】整理可得 在 上恒成立，根据x的范围，可求得 的范围，分析即可得
答案.
【详解】由题意， 可得 ，即 ，
当 时， ，所以 在 上恒成立，
只需 ，
当 时 有最小值为1，则 有最大值为3，则 ，实数 的取值范围是 ，
故答案为：
（5）已知 .
①不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
②若不等式 有解，求实数a的取值范围.
【答案】① ；② .
【分析】①令 ，求出 在 上的最小值即可；
②令 ，求出 在 上的最大值即可.
【详解】令 ，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
①因 在 恒成立，于是得 ，
所以实数a的取值范围是 ；
②因不等式 在 有解，于是得 ，
所以实数a的取值范围是 .
【复习指导】：⑴有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：
①考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变
量的不等式；
②若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等
式求解.
⑵能成立问题可以转化为 >y 或 <y 的形式，求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．
min max
1．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）① ② ③ ④
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④
【答案】B
【分析】通过 的图象的对称性判断出 对应的函数是偶函数； 对应的幂指数大于1，通过排除法得到
选项 ② ② ①
【详解】 的图象关于y轴对称， 应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ， 由图象知，在第一象限内，图
象下凸，②递增的较快，所以幂函数的②指数大于1，故排除Ａ ①
故选Ｂ．
【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，幂函数的图象取决于幂指数．属于基础题．
2．已知函数 是幂函数，且在 上递增，则实数 （ ）
A．－1 B．－1或3 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.
【详解】由题意知： ，即 ，解得 或 ，
∴当 时， ，则 在 上单调递减，不合题意;
当 时， ，则 在 上单调递增，符合题意,
∴ ,
故选：C3．已知幂函数 满足 ，若 ， ， ，则 ， ， 的
大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由 可求得 ，得出 单调递增，根据单调性即可得出大小.
【详解】由 可得 ，∴ ，
∴ ，即 .由此可知函数 在 上单调递增.
而由换底公式可得 ， ， ，
∵ ，∴ ，于是 ，
又∵ ，∴ ，故 ， ， 的大小关系是 .
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的
大小.
4．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可
【详解】∵ ， ，
∴ ．
故选：C．
5．不等式 的解为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将不等式 化为 ，再利用函数 的单调性即可解出．
【详解】 等价于
∴
解得 ．故选B．
【点睛】本题主要考查分数指数幂与根式的转化，以及幂函数单调性的应用．
6．设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
【答案】A
【详解】试题分析：∵函数 是减函数，∴ ；又函数 在 上是增函数，故 .从而
选A
考点：函数的单调性.
7．已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在 上单调递减，则满足
的a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件知 ， ，可得m＝1．再利用函数 的单调性，分类讨论可解不等
式.【详解】幂函数 在 上单调递减，故 ，解得 ．又 ，
故m＝1或2．
当m＝1时， 的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时， 的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为 ，
函数 在 和 上单调递减，
故 或 或 ，解得 或 ．
故应选：D．
8．已知 是定义在 上的增函数， ，则a，b，c的大小关系
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数以及指数函数的单调性判断 的大小关系，结合 是定义在 上
的增函数，即可判断出答案.
【详解】因为函数 为R上单调增函数，故 ，而 ，
由于 是定义在 上的增函数，故 ，
即 .
故选：A.
9．已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f ，b＝f(ln π)，c＝ ，则a，b，c的大小关
系是( )
A．a<c<b B．a<b<c
C．b<c<a D．b<a<c
【答案】A
【详解】由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.
又点(2,8)在函数f(x)＝xn的图象上，
所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数，
又ln π>1> ＝>，
所以f(ln π)> >f ，则b>c>a.
10．四个数2.40.8,3.60.8，log 4.2, log 0.5的大小关系为（ ）
0.3 0.4
A．3.60.8>log 0.5>2.40.8>log 4.2
0.4 0.3
B．3.60.8>2.40.8>log 4.2>log 0.5
0.3 0.4
C．log 0.5>3.60.8>2.40.8>log 4.2
0.4 0.3
D．3.60.8>2.40.8>log 0.5>log 4.2
0.4 0.3
【答案】D
【分析】由对数函数的性质判出1＞log 0.5>0＞log 4.2，由幂函数的性质得到3.60.8＞2.40.8＞1，则四个数
0.4 0.3
的大小得到比较．
【详解】∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，
又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.
∵log 4.2<log 1＝log 1<log 0.5<log 0.4，
0.3 0.3 0.4 0.4 0.4
∴log 4.2<0<log 0.5<1，
0.3 0.4
∴3.60.8>2.40.8>log 0.5>log 4.2.
0.4 0.3
故选：D.
11．若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数 的单调性可判断A是否正确；根据不等式的性质可判断B是否正确；根据函数的单调性可判断C是否正确；根据函数 的单调性即可判断D是否正确.
【详解】由于函数 在 上单调递增，又 ，所以 ，故A错误；
因为 ，由不等式的性质可知， ，故B错误；
由于函数 在 上单调递减，又 ，所以 ，故C错误；
由于函数 在 上单调递减，又 ，所以 ，故D正确.
故选：D.
12．若不等式 的解集为 ，则函数 的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题可得 和 是方程 的两个根，求出 ，再根据二次函数的性质即可得出.
【详解】由题可得 和 是方程 的两个根，且 ，
，解得 ，
则 ，则函数图象开口向下，与 轴交于 .
故选：C.
13．设 ，二次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ,二次函数 ，那么可知，
在A中，a<0,b<0,c<0，不合题意；
B中，a<0,b>0,c>0，不合题意；
C中，a>0,c<0,b>0,不合题意，故选D.
14．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再由二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解.
【详解】由 得 或 ，即函数 的定义域为 ，
又二次函数 的图象的对称轴方程为 ，
所以函数 （ ）在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增，又函数 为增函数，所以 的单调递减区间为 ．
故选：D
15．函数 的单调递增区间是( )
A． B． 和
C． 和 D． 和
【答案】B
【分析】结合绝对值的含义与二次函数的性质，可画出函数 的图象，即可求出函数的单调递增区间.
【详解】 ，
当 或 时， ；
当 时， ，
如图所示，函数的单调递增区间是 和 .
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，属于基础题.
16．设函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象和性质即可求解.
【详解】函数 的对称轴为 ，又 函数在 上为减函数，
，即 ．
故选：B.
【点睛】本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.
17．二次函数 在区间 上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出 在区间 上单调递增的等价条件为 ，通过充分不必要条件的定义，即
可判断
【详解】因为二次函数 在区间 上单调递增，
所以 解得 ．因为只有C是其真子集，
故选：C
18．已知函数 .若 ，都有 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先可得函数 在 上是增函数，然后保证函数 在每一段都是增函数，同时要注意上、下
段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，进而可解得结果.
【详解】依题意可知，函数 在 上是增函数，则 ，解得 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保证各段上同增(减)时，要注
意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
19．已知二次函数 的值域为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次函数的值域可得出 ，可得出 ，则有 ，利用基本不等式可求
得结果.
【详解】若 ，则函数 的值域为 ，不合乎题意，
因为二次函数 的值域为 ，则 ，
且 ，所以， ，可得 ，则 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故选：B.
20．已知命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合命题的否定与原命题的真假性关系，再讨论二次函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】因 ， 为真命题，
则 ， 为假命题.
若命题 ， 为真命题，
若 时，则 ，解得 ；若 时， ，解得 ，
若 时，则 ，解得 ；
综上所述， 的取值范围为 ，
所以命题 ， 为真命题，
实数 的取值范围为 .
故B正确.
21．设 ，函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当 时，结合不等式求得其最小值为 ，当 时， ，根据函数
的最小值为 ，列出不等式组，即可求解.
【详解】当 时， ，
当且仅当 时，等号成立；
即当 时，函数 的最小值为 ，
当 时， ，
要使得函数 的最小值为 ，则满足 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：A.
22．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 ，由 结合函数 的递减区间可得结果.
【详解】 ，
由 得 ，又 ，
所以函数 的单调递减区间为 .
故选： ．
23．“ ”是“幂函数 在 上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由幂函数 在 上是减函数，可得 ，由充分、必要条
件的定义分析即得解
【详解】由题意，当 时， 在 上是减函数，故充分性成立；
若幂函数 在 上是减函数，
则 ，解得 或 ，故必要性不成立
因此“ ”是“幂函数 在 上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A
24. 幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，
B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那
么a－等于( )
A．0 B．1 C. D．2
【答案】A
【详解】由BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，
∴M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝ ，b＝ ，∴a－＝ － ＝0.
25．定义在 上的函数 满足 ， ，当 时， ，则函数
的图象与 的图象的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，分析 的周期性和对称性，结合函数的解析式可得 的图像，在相同坐标系中作
出 的图像与 的图像，结合图像分析可得答案
【详解】解：因为义在 上的函数 满足 ， ，
所以 的周期为2，且图像关于直线 对称，
由于当 时， ，所以 的图像如图所示，再作出 的图像，
则由图像可知，两函数图像的交点个数为5，
故选：A26．（多选）已知幂函数 ，对任意 ，且 ，都满足
，若 且 ，则下列结论可能成立的有（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．以上都可能
【答案】BC
【分析】先求出幂函数的解析式， ，根据奇函数和增函数解不等式，即可得到 .
【详解】因为 为幂函数，
所以 ，解得：m=2或m=-1.
因为任意 ，且 ，都满足 ，
不妨设 ，则有 ，所以 为增函数，
所以m=2，此时
因为 ，所以 为奇函数.
因为 且 ，
所以 .
因为 为增函数，所以 ，所以 .
故BC正确.
故选：BC
27．（多选）已知幂函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B． 的定义域是
C． 是偶函数
D．不等式 的解集是
【答案】ACD
【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，判断定义域，奇偶性，以及解不等式.
【详解】因为函数是幂函数，所以 ，得 ，即 ，
，故A正确；函数的定义域是 ，故B不正确；
，所以函数是偶函数，故C正确；
函数 在 是减函数，不等式 等价于 ，解得： ，且
，得 ，且 ，即不等式的解集是 ，故D正确.
故选：ACD
28．（多选）函数 与 在同一坐标系中的图像可能为（ ）
A． B．C． D．
【答案】ACD
【解析】可令 ， 和 三种情况讨论，先分析函数 的图象性质，再
分析函数 的图象性质，观察选项是否符合．
【详解】当 时， 为奇函数，定义域为 ，且在 上递减，而 开
口向下，对称轴为 ， ，故A符合；
当 时， 为偶函数，且在 上递增， 开口向上，且对称轴为
， ，其图象和 轴没有交点，故D符合；
当 时，函数 的定义域为 ，且在 上递增， 开口向上，
且对称轴为 ， ，图象和 轴有两个交点，故C符合．
故选：ACD．
【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查二次函数图象性质、幂函数图象性质的运用，解
答时，针对 的不同取值，观察所给两个函数图象是否符合即可．
29．（多选）若函数 的值域是 ，则实数 的可能取值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】CD
【分析】由题意,要使 的值域为 ，只需要 的值域包括0即可．【详解】令 ，要使值域包括0，即最小值小于等于0．
那么： ，
解得 ．
故选：CD．
30．幂函数y=（m2-m-5）x 的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为______.
【答案】m=3
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质可得 ，解得 的值，代入验证，即可求解．
【详解】由题意，幂函数 的图象分布在第一、二象限，
∴ ，解得 或 ，
当 时，函数 的图象分布在第一、三象限，不符合题意；
当 时，函数 的图象分布在第一、三象限，符合题意；
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的概念，
以及熟练应用幂函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
31．已知函数 是二次函数，则 ________，此时函数的值域为________．
【答案】 2
【分析】根据函数 是二次函数列式，由此求得 的值，进而求得函数的值域.
【详解】由题意得 ，解得 ，此时 ．
由于 ，所以函数的值域为 ．故答案为：2 ；
【点睛】本小题主要考查待定系数法求二次函数解析式，考查二次函数值域的求法，属于基础题.
32．函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足 上符号一
致.
【详解】 在 上单调递增，
在 单调递减，
则 ，即 ，
同时 需满足 ，即 ，
解得 ，
综上可知
故答案为：
【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意 时，
符号必须一致是解题的关键，属于中档题.
33．已知 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】根据题意，设 ，由复合函数的单调性可知函数 在区间上单调递增，根据二次函数的图象和性质得出 ，解不等式即可求出 的取值范围.
【详解】解：由题可知， 在区间 上单调递减，
设 ，
而外层函数 在定义域内单调递减，
则可知内层函数 在区间 上单调递增，
由于二次函数 的对称轴为 ，
由已知，应有 ，且满足当 时， ，
即 ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
34．已知函数 ，若 在 上单调递减，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意可得 ，解不等式组即可得出答案.
【详解】由题意得 ,即 ，
解得： ．所以 的取值范围为 .
故答案为： .
35．若存在 ，使不等式 成立，则实数 取值范围是__.
【答案】 .
【解析】对不等式进行参变量分离得到 ，然后令 ， ，
即可以得到 的取值范围.
【详解】由题意，可知： ，可得：
令 ， .
在 上单调减，在 上单调增，而 ， .
.
根据题意
故答案为: .
【点睛】本题考查能成立问题的解决思路以及参变量分离方法，属中档题.
36．函数 的值域是________.
【答案】
【解析】先求出函数的定义域为 ，设 ， ，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出
的单调性，从而可求出值域.
【详解】解：由题可知，函数 ，
则 ，解得： ，
所以函数的定义域为 ，
设 ， ，
则 时， 为增函数， 时， 为减函数，
可知当 时， 有最大值为 ，
而 ，所以 ，
而对数函数 在定义域内为减函数，
由复合函数的单调性可知，
函数 在区间 上为减函数，在 上为增函数，
，
∴函数 的值域为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，
利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.
37．已知 ，当 时，其值域是________
【答案】【分析】令 ，因为 ，所以 ，得到函数 ，利用二次函数的
性质，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，令 ，因为 ，所以 ，
则函数 ，
所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
当 时，函数 取得最大值，最小值为 ，
所以函数 的值域为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了换元思想，以
及推理与运算能力，属于基础题．
38．函数 的值域为_______
【答案】
【解析】利用 ，对原式配方可得 ，进而可求得值域.
【详解】由 ，
定义域为 ，可得
可得函数的值域为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了通过配方的方法求函数值域，考查了运算求解能力，属于中档题目.
39．若幂函数 在其定义域上是增函数.
（1）求 的解析式；（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出 ，即可得出解析式；
（2）根据函数单调性，将不等式化为 ，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
又 是增函数， 即 ， ，则 ；
（2）因为 为增函数，所以由 可得 ，解得 或
的取值范围是 或 .
40．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1） ， ；（2） ， .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据 的单调性比较大小；
（2）根据 在 上的单调性比较大小.
【详解】解：（1）设 ，则 在R上为增函数.
， .
（2）设 ，则 在 上为减函数，
， .
【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题.
41．比较下列各组数的大小：
（1） ， ；（2） ， ；
（3） ， ， .
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）考虑幂函数 在 上的单调性进行比较；
（2）变换 ，考虑幂函数 在 上的单调性，进行比较；
（3）根据幂函数 的奇偶性和单调性即可比较
【详解】解析（1） 幂函数 在 上为减函数，且 ，
.
（2） 幂函数 在 上为增函数，且 ， ，
，
从而 ，
.
（3）考虑幂函数 在 上为增函数，
，
.【点睛】此题考查根据幂函数的奇偶性和单调性进行指数幂的大小比较，关键在于建立合理的幂函数进行
比较.
42．已知二次函数 ．
(1)若 在区间 上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)若 在 上恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用二次函数的单调性求解；
（2）将 在 上恒成立，转化为 在 恒成立求解．
【详解】（1）解：因为 在 单调递增，
所以 ，解得 ；
（2）因为 在 上恒成立，
所以 在 恒成立，
即 在 恒成立．
令 ，则 ，
当且仅当 时等号成立．
所以 ．
43．已知函数 ．
(1)求函数在区间 上的最大值 ；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)当 时, ；当 时, ；(2) .【分析】（1）分 和 两种情况，讨论函数的最大值；
（2） 时， 恒成立的等价条件为 ，求出不等式组的解可确定 的取值范围．
【详解】(1)函数 的图象开口向上，对称轴为 ，
在区间 上的最大值，分两种情况：
① （ ）时，根据图象知，当 时，函数取得最大值 ；
② （ ）时，当 时，函数取得最大值 .
所以，当 时, ；当 时, .
(2) 恒成立，只需在区间 上的最大值 即可，所以 ，得 ，所以
实数 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查含参数的二次函数在给定区间的最大值，分类讨论是解决本题的关键；另外恒成立
问题往往通过其等价条件来求解更简单．
44．已知关于 的不等式 .
（1）若不等式的解集是 或 ，求 的值；
（2）若不等式的解集是 ，求 的取值范围；
（3）若不等式的解集为 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）由题意可知不等式 的两根分别为 、 ，利用韦达定理可求得实数 的值；
（2）由题意得出 ，由此可解得实数 的取值范围；（3）由题意得出 ，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】（1）因为不等式 的解集是 或 ，
所以， 和 是方程 的两个实数根，且 ，
由韦达定理得 ，所以 ；
（2）由于不等式 的解集是 ，
所以 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ；
（3）由于不等式 的解集为 ，
则不等式 对任意的 恒成立，
所以 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，
属于中等题.
45．已知：函数 ， .
(1)求 的最小值 ；
(2)求 的最大值.
【答案】(1) 时， =3-2 ， 时， ， 时， ；
（2） .【详解】试题解析：(1)当 时， 在区间 上是减函数，最小值 =3-2 ；
当 时， 在区间 上是先减后增函数，最小值 ；
当 时， 在区间 上是增函数，最小值 ；
综上：
(2)由(1)可知 在 上是减函数， 最大值为1； 在 上是先增再减函数， 最大值
为2； 在 上是增函数， 最大值为1；
所以 最大值为2.
46．已知幂函数
(1)求 的解析式；
(2)(i)若 图像不经过坐标原点，直接写出函数 的单调区间.
(ii)若 图像经过坐标原点，解不等式 .
【答案】（1） 或 （2）(i) 单调递减区间为 ，无单调递增区间 (ii)
.
【分析】（1）根据幂函数可得 ，求出m即可（2）(i)根据图象不过原点确定函数解析式，写出
单调区间即可(ii)根据图象过原点确定函数解析式，利用函数单调性解不等式.
【详解】（1） 因为幂函数 ，
所以 ，解得 或 ，
所以函数为 或 .
（2）(i)因为 图像不经过坐标原点，所以 ，
函数的单调递减区间为 ，无单调递增区间.
(ii)因为 图像经过坐标原点，
所以 ，
因为 为偶函数，且在 上为增函数，
所以 ，
又 在 上为增函数，
所以 ，解得 ，
所以不等式的解为 .
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，奇偶性，单调性，属于中档题.
47．已知幂函数 ， 为偶函数，且在区间 上是增函数.函数
，
（1）求 的值；
（2）求 的最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据幂函数的性质直接求出m；
（2）用换元法，求 的最小值即可.
【详解】解：（1）∵ 在区间 上是增函数，∴
解得 ，∴ 或 或
∵ 为偶函数，∴
（2）由（1）令 ， ，∵ ，∴
∴
∴最小值为 ，当且仅当 即 时等号成立.
所以 的最小值为 .
【点睛】(1)根据性质求幂函数的解析式通常要注意：①由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x
前的系数为1；②函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．
(2)复合函数的值域相当于求外函数的值域.
48．已知幂函数 的定义域为全体实数R.
(1)求 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义可得 ，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析
式;
（2）将 在 上恒成立转化为函数 在 上的最小值大于0，结合
二次函数的性质可得不等式，解得答案．
【详解】（1）∵ 是幂函数，∴ ，∴ 或2.
当 时， ，此时不满足 的定义域为全体实数R，
∴m＝2,∴ .
（2） 即 ，要使此不等式在 上恒成立，
令 ,只需使函数 在 上的最小值大于0.∵ 图象的对称轴为 ，故 在 上单调递减，
∴ ，
由 ，得 ，
∴实数k的取值范围是 .
49．已知幂函数 （实数 ）的图像关于 轴对称，且 .
（1）求 的值及函数 的解析式；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ； （2） .
【分析】（1）由 ，得到 ，从而得到 ，又由 ，得出 的值和幂函数
的解析式；
（2）由已知得到 且 ，由此即可求解实数 的取值范围.
【详解】（1）由题意，函数 （实数 ）的图像关于 轴对称，且 ，
所以在区间 为单调递减函数，
所以 ，解得 ，
又由 ，且函数 （实数 ）的图像关于 轴对称，
所以 为偶数，所以 ，
所以 .
（2）因为函数 图象关于 轴对称，且在区间 为单调递减函数，
所以不等式 ，等价于 且 ，
解得 或 ，所以实数 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，
熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
50．已知幂函数 y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于 y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a的取值范围．
【详解】因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为
因为 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得<a<或a<－1.
故a的取值范围是.
