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第 02 讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：① ② ③ 三剑客................4
高频考点二：商数关系（ 与分式或多项式求值）...................7
角度1：弦切互化...............................................7
角度2：正余弦齐次式问题......................................11
高频考点三：诱导公式的应用......................................13
高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用......................18
第四部分：数学文化题...............................................23
第五部分：高考新题型（劣够性试题）.................................25
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1、同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： ．
(2)商数关系：
2、三角函数的诱导公式
诱导公式一
诱导公式二
诱导公式三
诱导公式四
诱导公式五
诱导公式六
诱导公式七
诱导公式八
3、常用结论
（1）同角三角函数关系式的常用变形
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【详解】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2021·全国（甲卷文，理）·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
3．（2020·全国（新课标Ⅰ理）·统考高考真题）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故选：A.第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：① ② ③ 三剑客
典型例题
例题1．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
， ，
；
故选：C.
例题2．（2023春·湖北黄冈·高一浠水县第一中学校考阶段练习）已知 ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，则 ， ，又 ，
∴ ，∴ ，
故选：B．
例题3．（2023春·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）已知 ，求
.
【答案】【详解】因为 ，且 ，
平方可得 ，且 ，
结合 ，可得 ， ，
所以 .
例题4．（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）已知 ， ，则
_____________．
【答案】 ##
【详解】 ，
，即 ，
又 ，
.
故答案为： .
例题5．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）已知 是关于 的一元
二次方程 的两根，则 __________， ＝________.
【答案】 ## ##
【详解】因为 是关于x的一元二次方程 的两根，则 ，即 ，
显然 ，又 ，即 ，
于是 ，解得 ，而当 时，方程 的两根为 ，满足 ，符合题
意，
所以 ， .故答案为： ；
练透核心考点
1．（2023春·广东惠州·高一校考阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】B
【详解】 ，
由 ， 则 ，解得 ，
由三角函数的值域可知， 不成立，故 .
故选：B
2．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
.
故选：C.
3．（多选）（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）已知 ， ，则下列等式正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】因为 ，则 .
对于A选项， ，可得 ，A对；
对于B选项，由A选项可知， ，则 ，
所以， ，则 ，B对；对于C选项， ，可得 ，则 ，C错；
对于D选项， ，D对.
故选：ABD.
4．（2023春·山东潍坊·高一校考阶段练习）已知 ，则 的值等于
__________.
【答案】 ##
【详解】由于 ，
所以 ，故 ，
所以 .
故答案为：
5．（2023春·四川广安·高一广安二中校考阶段练习）已知 ，且 ，则
______．
【答案】
【详解】因为 ，则 ，即 ，
而 ，即有 ，因此 ，
所以 .
故答案为：高频考点二：商数关系（ 与分式或多项式求值）
角度1：弦切互化
典型例题
例题1．（2023春·安徽滁州·高一校考阶段练习）若 ， 为第二象限角，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ．
又 为第二象限角，
所以 ，
所以 ．
故选:A.
例题2．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）己知 ，则
________．
【答案】 ##
【详解】 ,
为第四象限角，
由 ，解得
故答案为： .
例题3．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ，则 ______．
【答案】
【详解】解法一：由 ，得 ，
两边同时平方得 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 ，代入 ，得 ，
所以 ．
解法二：
将 两边同时平方，得 ，
得 ，
又 ，所以 ，所以两边同时除以 可得 ．
故答案为：
例题4．（2023春·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）已知 ， .
(1)求 ；
(2)求 值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
因此 ；
（2） .
练透核心考点1．（2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，且 ，
所以， .
所以， .
故选：A.
2．（2023春·北京·高一北师大二附中校考阶段练习）已知 是第三象限角，则 的值
为__________.
【答案】
【详解】由 可知 ，由 在第三象限，可知 ，则 ，
代入 解得 ，
则 .
故答案为：
3．（2023春·广东湛江·高一校考阶段练习）（1）已知 ， ，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）∵ ， ，
∴
∴（2）∵ ，
∴
4．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知 ，
(1)求 ， ；
(2)求 的值.
【答案】(1) ， .
(2)
【详解】（1） ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ .
（2）原式
.
角度2：正余弦齐次式问题
典型例题
例题1．（2023春·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）已知 ，则
（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B【详解】 ， .
故选：B
例题2．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）若 ，则
_____________．
【答案】 ##
【详解】原式
.
故答案为： .
例题3．（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知 ．求值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)3；(2)
【详解】（1）∵ ，
∴ ；
（2） .
例题4．（2023春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）已知角 终边上一点坐标为 .则
______； ______．
【答案】
【详解】角 终边上一点坐标为 .则 ；
.故答案为： ；
练透核心考点
1．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ，
又 ，
所以原式 .
故选：A.
2．（2023春·北京·高一北京二十中校考阶段练习）若 ，则 的值为____________.
【答案】
【详解】由题意 ，则 ，
则 ，
故答案为：
3．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）已知 ，计算下列各式的
值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）因为 ，显然 ，于是 ，解得 ，
所以 .（2）由（1）知 ，所以
.
4．（2023秋·江苏徐州·高一沛县湖西中学校考期末）已知 ，求
(1)求 的值；
(2)求 的值；
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，故 .
（2）
.
高频考点三：诱导公式的应用
典型例题
例题1．（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中学校考阶段练习）已知角 的顶点在坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点 ，且 .
(1)求 的值；
(2)求 的值
【答案】(1) (2)
【详解】（1） ， ，又 ，解得： .（2）由（1）得： ，
.
例题2．（2023春·北京·高一北理工附中校考阶段练习）已知
．
(1)化简 ；
(2)若 是第三象限角，且 ，求 的值；
(3)求 ．
【答案】(1) ；(2) (3)
【详解】（1）
；
（2）x为第三象限角， ，
；
（3） ；
综上，（1） ；（2） ；（3） .
例题3．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）已知 是第二象限角，则
；(1)化简 ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）因为 ，所以 ，
因为 是第二象限角，
所以 ,
所以 .
例题4．（2023秋·福建南平·高一统考期末）在平面直角坐标系 中，角 的终边与单位圆交于点
，求下列各式的值.
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为角 的终边与单位圆交于点 ，所以 .
；
（2） .
练透核心考点1．（2023春·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）化简求值.
(1)计算：
(2)化简：
【答案】(1) (2)
【详解】（1）
（2）
2．（2023春·北京·高一北京二十中校考阶段练习）计算下列各式.
(1)
(2)若 ，则求 的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式
.
（2）由 ，
又
.
3．（2023春·山东威海·高一校考阶段练习）化简(1) .
(2) .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）原式 .
因为 ，
所以 .
所以原式 .
4．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考阶段练习）已知角 的终边上一点 ，且
(1)求 的值
(2)化简
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意角 的终边上一点 ，且 ，
则 ，解得 ,故 .
（2） .
高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用
典型例题
例题1．（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）已知 为角 终边上一点，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以
.
故选：B
例题2．（2023秋·四川成都·高一校考期末）（1）已知 ，化简
并求值.（2）已知关于 的方程 的两根为 和 ， . 求实数 以及 的
值.
【答案】（1） ；（2） ， .
【详解】（1）根据诱导公式可化简
而 ，所以 ，
故 ；
（2）因为关于 的方程 的两根为 和 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ， 且 ，所以 ，
.
例题3．（2023春·北京·高一北京市第二十二中学校考阶段练习）已知角 的顶点与原点 重合，始边
与 轴的非负半轴重合，它的终边过点
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1）角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，
它的终边过点 ，则 ，则 ；
（2）由（1）得 ，则 ，
则
例题4．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）（1）已知 ，求 的值；
（2）在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
已知 为第四象限的角，__________.求 的值.
【答案】（1） （2）
【详解】（1）由 ，得 ，
（2）选择①： ，即 ，
为第四象限的角， ，
又 ，
，
.
选择②： ， ，
，
为第四象限的角， ，
，.
练透核心考点
1．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ，
又 ，
所以原式 .
故选：A.
2．（2023秋·内蒙古通辽·高一校联考期末）（1）已知 ， ，求此函
数 的最大值．
（2）求函数 的值域．（提示： ）
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）由 ，又 ，
所以 ，则 ，
由 ，则 ，故当 时 .
（2）令 ，
而 ，则 ，
所以 等价于 ，则 在 上递增，在 上递减， ， ， ，
综上，函数值域为 .
3．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考开学考试）已知函数
(1)求函数 的值；
(2)若已知 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）
（2）由（1）知 ，则 ，
4．（2023秋·广西防城港·高一统考期末）（1）已知 ， 都是锐角，且 ， ，
求 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）2；（2）3
【详解】解：（1）∵ 、 是锐角
∴
∴∴
∴
（2）∵
∴
第四部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作
图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为 ，若 ，则
（ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
【答案】B
【详解】 ．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为
二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 称为黄金分割比．人们
称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为 的等腰三角形，由此我们可得
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，在 中， ，点 为 中点，底与腰之比为黄金分割比，所以 ， ，
所以
所以 .
故选：A
3．（2023湖南衡阳·高三衡阳市一中校考）十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式
，（其中 ， ， ， ），现
用上述公式求 的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 ,
则 ,
当 时，则有 ,
又 ,
则
,
故选∶C．4．（2023春·广西钦州·高一浦北中学校考阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角
形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为 ，且小正方形与大正方
形面积之比为 ，则 __________．
【答案】 ##0.75
【详解】设大正方形和小正方形的边长分别为 和a，
则 ，所以 ．
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），又 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
第五部分：高考新题型（劣够性试题）
1．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）已知 ，且α是第 象限
角.
从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选
择，解答以下问题：
(1)求 ， 的值；
(2)化简求值 ．
【答案】(1)答案见解析；
(2) .【详解】（1）选②， 是第二象限角， ，
所以 ， .
选③， 是第三象限角， ，
所以 ， .
（2）因为 ，所以
.
2．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）已知 ，且α是第________象限角．
从① 一，② 二，③ 三，④ 四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你
的选择，解答以下问题：
(1)求 的值；
(2)化简求值： .
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，所以α是第二或第四象限角，故选②或④.
选②或④，分别解答（1）（2）两个问题时，所得结果相同.
，
（2）原式＝.
