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97.二项式定理及应用
一．基本原理
考点1.二项式定理
1.一般地，对于任意正整数n ，都有：
，
0
1
1
(
)
(
)
n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
n
N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做
n
b
a
)
(
的二项展开式．
式中的
做二项展开式的通项，用
表示，即通项为展开式的第
项：
r
n r
r
n
C a
b
1
rT
1
r
，其中的系数
（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
1
r
n r
r
r
n
T
C a
b
r
n
C
下面给出二项式定理的证明过程，利用排列组合来证明，这个方法可以进一步推广到证明
三项展开式.
考点2.二项式系数的性质
（1）每一行两端都是，即
；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即
1
0
n
n
n
C
C
．
1
1
m
m
m
n
n
n
C
C
C
（2）对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
．
m
n m
n
n
C
C
（3）二项式系数和令
，则二项式系数的和为
，
1
a
b
0
1
2
2
r
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
变形式
．
1
2
2
1
r
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
（4）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令
1
1
a
b
，
，
则
，
0
1
2
3
( 1)
(1 1)
0
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
从而得到：
．
0
2
4
2
1
3
2
1
1
1 2
2
2
r
r
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
C
（5）最大值：如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
n
1
2
n
T
2
n
n
C
如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最
n
1
2
n
T
1 1
2
n
T
1
2
n
n
C
1
2
n
n
C
大．
（6）求
展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为
(
)n
a
bx
，设第
项系数最大，应有
，从而解出
来．
1
2
1
n
A A
A
，，，
1
r
1
1
2
r
r
r
r
A
A
A
A
r
考点3.二项式系数和的计算与赋值
（1）若
，则
的展开式中各项系数的和为
n
n
n
n
a
x
a
x
a
a
x
x
f
1
1
0
)
(
)
(
)
(x
f
)1(
f
当
为偶数时，奇数项系数的和为
，偶数项系数的
n
2
)1
(
)1(
4
2
0
f
f
a
a
a
a
n
和为
；
2
)1
(
)1(
1
5
3
1
f
f
a
a
a
a
n
当
为奇数时，奇数项系数的和为
，偶数项系数的
n
2
)1
(
)1(
1
4
2
0
f
f
a
a
a
a
n
和为
.
2
)1
(
)1(
5
3
1
f
f
a
a
a
a
n
（2）求形如
的展开式的各项系数之和，只需令
)
,
,
(
)
(,
)
(
2
R
c
b
a
c
bx
ax
b
ax
m
n
即可；求形如
的展开式的各项系数之和，只需令
即可
1
x
)
,
(
)
(
R
b
a
by
ax
n
1
y
x
（3）两个常用的二项展开式：
①
0
1
1
(
)
( 1)
( 1)
n
n
n
r
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
（
*
N
n
）
②
1
2
2
(1
)
1
n
r
r
n
n
n
n
x
C x
C x
C x
x
二．典例分析
例1．（多选题）在
的展开式中,下列说法正确的是( )
8
1
2x
x
A．常数项是
B．第四项和第六项的系数相等
1120
C．各项的二项式系数之和为
D．各项的系数之和为
256
256
解析：根据二项式定理,
的通项公式为
,
8
1
2x
x
8
8 2
1
8
C 2
1
k
k
k
k
kT
x
对于A,常数项为
,故A 正确;
4
4
4
8
C 2
1
1120
对于B,第四项的系数为
,第六项的系数为
,故B 错误;
3
3
8 3
8
C 2
1
1792
5
5
8 5
8
C 2
1
448
对于C,因为
,所以各项的二项式系数之和为
,故C 正确;
8
n
82
256
对于D,令
,各项的系数之和为,故D 错误.故选:AC.
1
x
1
题型2 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式
例2．(2020 年高考数学课标Ⅰ卷理科)
的展开式中x3y3 的系数为
( )
2
5
(
)(
)
x
x
y
x
y
A．5
B．10
C．15
D．20
解析：
展开式的通项公式为
（
且
），所以
的
5
(
)
x
y
5
1
5
r
r
r
rT
C x
y
r
N
5
r
2
y
x
x
各项与
展开式的通项的乘积可表示为：
和
5
(
)
x
y
5
6
1
5
5
r
r
r
r
r
r
r
xT
xC x
y
C x
y
，在
中，令
，可得：
2
2
5
4
2
1
5
5
r
r
r
r
r
r
rT
C x
y
x
C
y
y
y
x
x
6
1
5
r
r
r
r
xT
C x
y
3
r
，该项中
的系数为
，在
中，令
，可得：
3
3
3
4
5
xT
C x y
3
3
x y
10
4
2
1
5
2
r
r
r
rT
C x
x
y
y
1
r
，该项中
的系数为
，所以
的系数为
，故选：C
5
2
1
3
3
2T
C
y
x
x
y
3
3
x y
5
3
3
x y
10
5
15
例3．
的展开式中，
的系数为（ ）
5
2
2
x
y
4
2
x y
A．60
B．
C．30
D．
60
30
解析：因为
，于是在5 个多项式
中，取2 个用
，再从余下3
2
2
4
2
2
x y
x
y
2
2
x
y
2x
个多项式中取2 个用
，
y
最后1 个多项式用常数项相乘，因此含
的项为
4
2
x y
，
2
2
2
2
2
4
2
4
2
5
3
C (
)
C (
)
2
10
3
2
60
x
y
x
y
x y
所以
的系数为60. 故选：A
4
2
x y
例4.在
的展开式中，只有第5 项的二项式系数最大，则展开式中含
项的系数
1
n
x
x
2x
为___________
解析：由只有第5 项的二项式系数最大可得：
.∴通项公式
8
n
，令
，解得
.∴展开式中含
项的系数为
3
8
8
2
1
8
8
1
C
1
C
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
3
8
2
2 r
4
r
2x
.故答案为：
.
4
4
8
1
C =70
70
例5．已知
的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）
3
2
2
(
)n
x
x
A．60
B．80
C．
D．
解析：当
时，
，解得
，则
的展开式第
项
1
x
3
243
n
5
n
3
2
2
(
)n
x
x
1
r
，令
，解得
，所以
3 5
15 3
2
15 5
1
5
2
5
5
2
C (
)
(
)
C
2
C 2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
x
x
15
5
0
r
3
r
，故选：B
3
3
5
C 2
10 8
80
例6．已知
，则
______.
7
2
7
0
1
2
7
1
2x
a
a x
a x
a x
2
4
6
a
a
a
解析：令
，则
，令
，则
，①
0
x
0
1
a
1
x
0
1
2
7
1
a
a
a
a
令
，则
，②两式相加得
=
1
x
7
0
1
2
7
3
a
a
a
a
7
0
2
4
6
2
3
1
2186
a
a
a
a
所以
，所以
.答案为：
.
0
2
4
6
1093
a
a
a
a
2
4
6
1092
a
a
a
1092
例7．（2023 春·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知
，则
的值为（ ）
2021
2
2021
0
1
2
2021
1
2
x
a
a x
a x
a
x
2
3
4
2021
2
3
2020
3
4
2021
2
2
2
a
a
a
a
A．0
B．
C．
D．
2021
2
2020
2021
2
2020
2021
2
解析：设
，
2021
1
2
f x
x
则
，令
得：
2020
2
2020
1
2
3
2021
1
2021
2
3
2021
2
f
x
x
a
a x
a x
a
x
0
x
，即：
，①令
得：
2020
1
1
0
2021
2
f
a
1
2020
2021
2
a
1
2
x
，②所以
得：
3
2021
2
1
2
2020
3
2021
2
1
0
2
2
2
2
a
a
a
f
a
②
①
.故选：C.
2
3
4
2021
2
3
2020
2020
3
4
2021
2021
2
2
2
2
a
a
a
a
例8.一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为
n，则二项式
展开式的常数项为（ ）
1
2
n
x
x
A．
B．60
C．120
D．240
160
解析：因为
，所以
，所以
展开式的通项为：
6 75%
4.5
6
n
6
1
2x
x
，令
得：
，
3
2
6
6
r
r
6
1
6
6
1
C
2
C
2
1
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
3
6
0
2 r
4
r
所以展开式的常数项为
，故选：B．
2
6
4
4
C
2
1
60
三．习题演练
1.已知
，则（ ）
8
2
8
0
1
2
8
( )
(2
)
f x
x
a
a x
a x
a x
A．
B．
0
1
2
8
1
a
a
a
a
8
1
2
3
8
3
a
a
a
a
C．
除以5 所得的余数是1
D．
( 1)
f
1
2
3
8
2
3
8
8
a
a
a
a
解析：选项A，因为
，令
，得到
8
2
8
0
1
2
8
(2
)x
a
a x
a x
a x
1
x
0
1
2
8
1
a
a
a
a
，所以选项A 正确；
选项B，因为
二项展开式的通项公式
8
(2
)
x
，
8
8
1
8
8
C 2
1
C 2
0
8,
N
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
r
r
由通项公式知，
二项展开式中偶数项的系数为负数，所以
8
(2
)
x
，
1
2
3
8
1
2
8
3
a
a
a
a
a
a
a
a
由
，令
，得到
，
8
2
8
0
1
2
8
(2
)x
a
a x
a x
a x
0
x
8
0
2
a
令
，得到
，
=
1
x
8
0
1
2
8
3
3
a
a
a
a
a
所以
，所以选项B 错误；
8
8
1
2
3
8
2
3
a
a
a
a
选项C，因为
，
8
4
4
4
1
3
2
2
3
3
1
2
2
1
3
4
4
4
4
4
4
( 1)
3
9
(10 1)
10
C 10
C 10
C 10 1
10 (10
C 10
C 10
C ) 1
f
所以
除以5 所得的余数是1，选项C 正确；
( 1)
f
对于选项D，因为
，
8
2
8
0
1
2
8
(2
)x
a
a x
a x
a x
两边同时对
求导，得到
，
x
7
7
2
1
2
3
8
8 (2
)
2
3
8
x
a
a x
a x
a x
令
，得到
，所以选项D 正确.
1
x
1
2
3
8
2
3
8
8
a
a
a
a
故选：ACD.
2．（多选题）在
展开式中（ ）
5
x
y
z
A．展开式中不存在含
的项
B．展开式所有项系数和为243
2
3
x y
C．展开式中含
项的系数为30
D．展开式共21 项
2
2
xy z
解析：
表示个
相乘，含
的项是在个
中选
个
，
5
x
y
z
5
x
y
z
2
3
x y
5
x
y
z
2
x
3
个
，所以展开式中含
的项的系数为
，故A 错误；
y
2
3
x y
2
3
5
3
C
C
10
令
，则展开式所有项系数和为
，故B 正确；
1
x
y
z
5
1 1 1
243
含
项是在个
中选个
，
个
，
个，所以展开式中含
的项的系
2
2
xy z
5
x
y
z
1
x
2
y
2
z
2
2
xy z
数为
，故C 正确；
的展开式的项可以理解为有个盒子，每个
1
2
2
5
4
2
C
C
C
30
5
x
y
z
5
盒子中均有
、
、三个元素，现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘，
x
y
z
1
若只选一个字母则有
种，若选
个字母则有
种，若选个字母则有
1
3
C
3
2
2
3
C
4
12
3
种，故展开式共有
项，故D 正确；故选：BCD
1
2
3
3
C
C
6
3 12
6
21
3．（多选）在
的展开式中,下列说法正确的是( )
8
1
2x
x
A．常数项是
B．第四项和第六项的系数相等
1120
C．各项的二项式系数之和为
D．各项的系数之和为
256
256
解析：根据二项式定理,
的通项公式为
,
8
1
2x
x
8
8 2
1
8
C 2
1
k
k
k
k
kT
x
对于A,常数项为
,故A 正确;
4
4
4
8
C 2
1
1120
对于B,第四项的系数为
,第六项的系数为
,故B 错误;
3
3
8 3
8
C 2
1
1792
5
5
8 5
8
C 2
1
448
对于C,因为
,所以各项的二项式系数之和为
,故C 正确;
8
n
82
256
对于D,令
,各项的系数之和为,故D 错误.故选:AC
1
x
1
