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第 02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
目录
第02讲 平面向量基本定理及坐标表示.................................................................1
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................3
高频考点一：平面向量基本定理的应用...........................................................3
高频考点二：平面向量的坐标表示...................................................................9
高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）....................12
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）........14
第四部分：新定义题.............................................................................................16
第一部分：基础知识
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 ，有且只有一对实
数 ，使 .
1.2基底：
不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即 不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；（3） 用基底 两种表示，即 ，则 ，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量
作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与 轴， 轴方向相同的两个不共线的单位向量 作为基底，存在唯一一组有
序实数对 使 ,则有序数对 ，叫做 的坐标，记作 .
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若 ，则 ；
（2）数乘向量：若 ，则 ；
（3）向量数量积：若 ，则 ；
（4）任一向量：设 ，则 .
4、平面向量共线的坐标表示
若 ，则 的充要条件为
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．2．（2022·全国·乙卷文）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得 ，然后求得 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
3．（2022·全国·新课标Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，点 为线段
上的一个三等分点，且 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D【分析】由题意可知 ， ，根据平面向量基本定理，将 用 线性表示，根据
两个向量相等即可求出 的值，即可得出答案.
【详解】由题知点 为线段 上的一个三等分点，所以 ，
所以
，
因为 不共线，所以 ，故 .
故选：D.
例题2．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形 中，已知 分别是 上的点，且满足
．若点 在线段 上运动，且 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立基底， ，则 ，然后将设
，最终表示为 ，然后得到 ，进
而求出范围．
【详解】矩形 中，已知 分别是 上的点，且满足 ，
设 ，则 ， ，
联立 ，可解得 ，因为点 在线段 上运动，则可设 ，
，
又 ，所以 ，
，
因为 ，所以 ．
故选：B．
例题3．（23-24高一下·福建漳州·阶段练习）在三角形 中， ， ， ， 为线段
上任意一点， 交 于 .
(1)若 .
①用 ， 表示 ；
②若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的最小值.
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】（1）①利用向量的几何运算求解；②设 ，然后用 表示 ，然通过
，将 也用 表示，然后利用系数对应相等列方程组求解；
（2）设 ，将 用 表示，然后利用系数对应相等将 用 表示，然后利用
基本不等式求最值.【详解】（1）①因为 ，所以 ，
故在 中，
；
②因为 ， ， 三点共线，设 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以
又由①及已知， ，所以 ，
解得 ；
（2）因为 ，又 ， ， 三点共线，设 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
，
当且仅当 ，即 时取得等号，所以 的最小值为 .
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，在 中，点 为 边的点且 ，点 在
边上，且 ， 交 于点 且 ，则 为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用 和 三点共线，分别得到 和
，列出方程组，求得 的值，进而求得 的值，从而得解.
【详解】由题意知，点 为 边的点且 ，点 在 边上，且 ，
因为 三点共线，
所以存在实数 使得 ，
又因为 三点共线，
所以存在实数 使得 ，
可得 ，解得 ，即 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在 中， 是线段 上的动点（与端点不重
合），设 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算可得 ，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，且 三点共线，
则 ， ，则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故答案为：
3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，在△ 中， 为线段 上靠近点 的三等分点， 是线
段 上一点，过点 的直线与边 ， 分别交于点 ， ，设 ， .
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若点 为线段 的中点，求 的最小值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据 三点共线，用 表达 ，再用 表达 ，结合 三点共线，
即可由共线定理求得 ；
（2）用 表达 ，再用 表达 ，根据 ，待定系数求得 关于参数的表达
式，利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】（1）由点 共线可设 ，
则 ，即 ，
， ， ，
为线段 上靠近点 的三等分点， ，由点 共线可设 ，即 ，
故 ，解得 ，故 ， .
（2） ， ， ，
故 ，又 为 中点，
则 ，
故 ，得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
故 的最小值为 .
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量 与 的夹角为 ，且 ，若点 的坐标
为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可知 ，继而得到 ，由此即可解出 点坐标.
【详解】由题意知 与 的长度相等，方向相反，
所以 ，又因为 ，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，即 ，
故选：A
例题2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量 作为
基底，若 ， ，则向量 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用基底法分解向量，再表示成坐标即可.
【详解】
由题意得， .
故选：A
例题3．（2024高一下·江苏·专题练习）已知在非平行四边形ABCD中， ，且 三点的坐标
分别为 ，则顶点C的横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据平面向量共线可求得 ，当ABCD为平行四边形时可求得C的横坐标为3，即可得结果.
【详解】当ABCD为平行四边形时，如下图所示：则 ，依题意可得顶点C的横坐标不能取3；
设顶点C的坐标为 ，则
由 可得 ，且 ，
所以 ，即 ；
故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是 .
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知扇形 的半径为5，以 为原点建立如图所示的平面直角坐标
系， ， ，弧 的中点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，则 ，求出 ，利用同角三角函数关系得到 ，
，求出答案.
【详解】令 ，则 ，
，解得 ，
即 ，又 ，
又 ，解得 ， ，
，即 ，
所以 .
故选：B．2．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）若 ， 点的坐标为 ，则 点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐标计算公式可求 点的坐标.
【详解】设 ，故 ，而 ，
故 ，故 ，故 ，
故选：A.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知点 ，且 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】
利用平面向量的线性运算处理即可.
【详解】
如图，连接 ，
设 为坐标原点，建立平面直角坐标系， ，
整理得 ．
故答案为：
高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）
典型例题
例题1．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知平面向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】由向量平行的坐标表示可得答案.【详解】由题意知 ，所以 ，解得 ．
故选：B
例题2．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为 ， ，
若 ，则 ，解得 ，
所以由 推得出 ，故充分性成立，
由 推不出 ，故必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B
例题3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）设 ，向量 ， ，若 ，则
．
【答案】 /
【分析】由向量平行可得 ，计算即可得解.
【详解】由 ，则有 ，
即 ，
由 ，故 ，
故 ，即 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知向量 ， ，若向量 ， 共线且 ，则
的最大值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．3
【答案】A【分析】借助向量共线定理与基本不等式计算即可得.
【详解】因为向量 共线，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ， ，当且仅当 时，等号成立.
故选：A.
2．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示列方程求 可得结论.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
3．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知向量 满足 .若 ，则实数
（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出 的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算即得.
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，所以 .
故选：B
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）
典型例题例题1．（22-23高一下·河北邯郸·期中）已知向量 ， ， ，若B，C，D
三点共线，则 （ ）
A．－16 B．16 C． D．
【答案】A
【分析】先求出 和 ，根据B，C，D三点共线得到 ，进而列出方程求解 .
【详解】由题意得 ， ，
因为B，C，D三点共线，
所以 ，
则 ，得 .
故选：A.
例题2．（22-23高一下·河北保定·期中）已知 、 、 三点共线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出 、 ，可知 ，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数 的值.
【详解】因为 、 、 ，则 ， ，
因为 、 、 三点共线，则 ，所以 ，即 ．
故选：C.
例题3．（22-23高一下·广西河池·阶段练习）已知 ， ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， 且 ， ， 三点共线，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出 ， 的坐标，依题意 ，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 .（2）因为 ， ，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，所以 ，解得 ，
故 的值为 ．
练透核心考点
1．（22-23高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知 ，三点 、 、 共线，则
．
【答案】
【分析】
求出向量 、 的坐标，分析可知 ，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数 的值.
【详解】因为 ，三点 、 、 共线，则 ，
且 ， ，
所以， ，解得 .
故答案为： .
2．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各组三点是否共线：
(1) ， ， ；
(2) ， ， ；
(3) ， ， .
【答案】(1)A，B，C三点不共线.
(2)D，E，F三点共线
(3)G，H，L三点共线
【分析】
根据点的坐标确定向量的坐标，再根据向量共线定理即可判断.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，所以 与 不共线，所以A，B，C三点不共线.
（2）因为 ，所以 ，
因为直线DE与DF有公共点D，所以D，E，F三点共线.
（3）因为 ，所以 ，
因为直线GH与GL有公共点G，所以G，H，L三点共线.
3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知 三点共线，求x的值．【答案】 ．
【分析】
利用向量 与 共线的坐标表示求解．
【详解】
因为A，B，C三点共线，所以 与 共线．
而 ， ．
所以 ，整理得 ，解得 ．
第四部分：新定义题
1．（18-19高一下·北京东城·期中）已知集合 .对于
，给出如下定义：① ；②
；③A与B之间的距离为 .说明：
的充要条件是 .
(1)当 时，设 ，求 ；
(2)若 ，且存在 ，使得 ，求证： ；
(3)记 .若 ，且 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)26
【分析】（1）当 时，直接利用 求得 的值
（2）设 ，则由题意可得
，使得 ，其中 ，得出 与 同为非负数或同为负数，由此计算
的结果，计算 的结果，从而得出结论
（3）设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时， ， 时，
利用 ，得到得到
求出 ， ，即可得到 的最大值
得到 ，再验证得到成立的条件即可；
【详解】（1）解：由于 ，
则
故
（2）解：设
使 ，
使得： ，
，使得 ，其中 ，
与 同为非负数或同为负数，
，故得证；
（3）解：
设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时，
时，
所以
，整理得又
即
对于
有 ，且
综上所得，的最大值为
