2026 年新高考第8 题分类训练
函数导数综合
考点
3 年考题
考情分析
函数导数综
合
2025 年新高考Ⅰ卷第8 题
2025 年新高考Ⅱ卷第13 题
2024 年新高考Ⅰ卷第8 题
2024 年新高考Ⅱ卷第8 题
2023 年新高考Ⅰ卷第11 题
2023 年新高考Ⅱ卷第11 题
函数导数的综合会以单选题、多选题、填空题、解答题4 类
题型进行考查，且导数作为核心工具贯穿始终，其中单选题
中的函数导数综合题多为难题档位，纵观近3 年的新高考试
题，围绕极值点、零点、函数值大小比较、函数基本性质、
最值及切线方程等核心知识点展开综合考查。可以预测2026
年新高考命题方向将继续深化导数与函数各类性质的融合，
侧重考查学生利用导数分析、解决函数综合问题的数学思维
与解题能力。
1．（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第8 题）若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】法一：设
，对
讨论赋值求出
，即可得
出大小关系，利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【解析】法一：设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数
的图象与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着
的变化可能出现：
，
，
，
，
故选：B．
2．（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第13 题）若
是函数
的极值点，
则
【答案】
【分析】由题意得
即可求解
，再代入即可求解.
【解析】由题意有
，
所以
，
因为
是函数
极值点，所以
，得
，
当
时，
，
当
单调递增，当
单调递减，
当
单调递增，
所以
是函数
的极小值点，符合题意；
所以
.
故答案为：
.
3.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第8 题）已知函数为
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】代入得到
，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【解析】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
4.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第8 题）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，分类讨论
与
的大小
关系，结合符号分析判断，即可得
，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质
分析
的符号，进而可得
的符号，即可得
，代入可得最值.
【解析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
5.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第11 题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A.
B.
C.
是偶函数
D.
为
的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例
即可排除选项D.
方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数
进行判断即可.
【解析】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D ，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值，故D 错误.
故选：
.
6.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第11 题）若函数
既
有极大值也有极小值，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【分析】求出函数
的导数
，由已知可得
在
上有两个变号零点，转
化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【解析】函数
的定义域为
，求导得
，
因为函数
既有极大值也有极小值，则函数
在
上有两个变号零点，而
，
因此方程
有两个不等的正根
，
于是
，即有
，
，
，显然
，即
，
A 错误，BCD 正确.
故选：BCD
1.单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1, x2，
当x1<x2 时，都有f ( x1)<f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。
当x1<x2 时，都有f ( x1)>f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。
2.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个x，都
有
，那么函数f(x)是偶函数
关于y 轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
有
，那么函数
是奇函数
关于原点对称
3.导数
如果当Δx→0 时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝
x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作
f′(x0)或
，即f′(x0)＝lim ＝lim .
4.(1)曲线切线的斜率即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(2)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价．
5.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα，(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin
x
f(x)＝ax(a>0 且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
6.导数的四则运算
（1）和的导数：[f (x)+g(x)]
′=f
'(x)+g
'(x)
（2）差的导数：[f (x)−g(x)]
′=f
'(x)−g
'(x)
（3）积的导数：[f (x)g(x)]
′=f
'(x)g(x)+f (x)g
'(x)（前导后不导+ 前不导后导）
（4）商的导数：[
f (x)
g(x)]
′
= f
'(x)g(x)−f (x)g
'(x)
g2(x)
，
g( x)≠0
7.复合函数的求导公式
函数y=f (g( x))中，设u=g( x)（内函数），则y=f (u)（外函数）∴y
'= y
u′⋅u
x′
8.导数的几何意义
（1）导数的几何意义
导数f '( x)的几何意义是曲线f ( x)在某点P(x0, y0)处切线的斜率
（2）直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点P(x0, y0)，斜率为k ，则直线的点斜式方程为：
y−y0=k (x−x0)
9.函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
10.判别f ( x0)是极大（小）值的方法
当函数f ( x)在点x0 处连续时，
（1）如果在x0 附近的左侧f '( x)>0 ，右侧f '( x)<0 ，则f ( x0)是极大值；
（2）如果在x0 附近的左侧f '( x)<0 ，右侧f '( x)>0 ，则f ( x0)是极小值.
11.不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数
a
f x
恒成立(
max
a
f x
可)或
a
f x
恒成立（
min
a
f x
即可）；② 数形结合(
y
f x
图象在
y
g x
上方
即可)；③ 讨论最值
min
0
f x
或
max
0
f x
恒成立；④ 讨论参数.
12.公切线问题
求
与
的公切线的步骤
①设
分别为
与
上的切点
②由公切线可知，
，可得到
与
的关系式
③再由
，将②中
与
的关系式代入消元，若消去
，则让
它与
相等，从而得到
的方程，求出
即可；若消去
，则让它与
相
等，求出
。
13.常见函数的变形
①对于不等式
，构造函数
.
②对于不等式
，构造函数
③对于不等式
，构造函数
④对于不等式
，构造函数
⑤对于不等式
，构造函数
⑥对于不等式
，构造函数
⑦对于不等式
，构造函数
⑧对于不等式
，构造函数
函数的单调性与比较大小
1.（阜阳市2025—2026 学年度高三教学质量监测） 已知函数
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由
，则
，
，
当
时，
，即
单调递增，
当
时，
，即
单调递减，
又
，所以
，即
.
故选：D.
2.（九师联盟2025-2026 学年高三上学期第五次质量检测）设函数
，
令
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，因为
的定义域为
，
且
，所以
是偶函数，
令
，因
在
上单调递增，
又
，当
时，
，即
在
上单调递增，
由复合函数的单调性知
在
上单调递增.
又
，
，
，
因
，
由
，可得
，
即
，故可得
，即
．
故选：C．
3.（四川省字节精准教育联盟高三第二阶段学情）已知2
a=a
2(a>0),3
b=b
3,5
c =c
5，则
a,b,c的大小关系不可能是（ ）
A．a<c<b
B．c<b<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【答案】A
【解析】由题意知a>0,b>0,c>0，因为2
a=a
2,3
b=b
3,5
c =c
5，
两边同时取以e为底的对数，得aln2=2lna,bln3=3lnb，cln5=5lnc，即
lna
a
=ln2
2 ,lnb
b
=ln3
3
,lnc
c
=ln5
5 ，
令f (x)=ln x
x
，则f
′ (x)= 1−ln x
x
2
，令f
′ (x)=0，得x =e，
当x∈(0,e)时，f
′ (x)>0，f (x)单调递增，当x∈(e,+∞)时，f
′ (x)<0，f (x)单调递减，
又ln2
2 =ln 4
4
，所以a=2或a= 4；
∃b1∈(2,e)，使得
lnb1
b1
=ln3
3 ，所以b=b1或b=3；
∃c1∈(1,2)，使得
lnc1
c1
=ln5
5 ，所以c =c1或c =5．
当c =c1,b=b1，a= 4时，B 成立；
当b=b1,a= 4 ,c =5时，C 成立；
当c =c1,a=2,b=b1（或b=3）时，D 成立；
由于B、C、D 均可能成立，故选A．
故选：A
4. （浙江杭州学军中学2025-2026 学年高三期末考试）已知正实数
满足
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由已知可得
，
，
，且
，
若
，则
，
，此时
，故
，同理
，
构造函数
，其中
，
，
则原等式等价于
，
，
，
对
求导得
，
因为
且
，所以
，
，
，
所以
，即
在
上单调递增，
由
可得
，
所以
，
令
，则
，
由指数函数和对数函数的单调性可得
，
，
所以
，
单调递增，所以
，
所以
，
因为
且
在
上单调递增，所以
，
同理由
可得
，
所以
，
同理可得
，
因为
且
在
上单调递增，所以
，
综上
，
故选：A
5.（辽宁省大连市2026 年高三双基模拟考试）已知
，
则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
，
令
，由对勾函数
可知，
函数
在
上单调递增，
则
，
而
，
，
令
，
因为
，所以
，
因为
在区间
上单调递减，所以
在区间
上单调递减，
因为
，所以
，所以
，
令
，
可得
所以函数
在
上单调递增，
故
，即
，所以
，
所以存在实数
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
因为
，
，
，
，
所以
在区间
上恒成立，故
，
综上
，故A 正确.
故选：A
曲线的切线问题
1.（2026 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）如果方程
能确定y 是x 的函数，
那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程
中，把y
看成x 的函数
，则方程可看成关于x 的恒等式
，在等式两边同时对
x 求导，然后解出
即可．例如，求由方程
所确定的隐函数的导数
，将方
程
的两边同时对x 求导，则
（
是中间变量，需要用复合函
数的求导法则），得
．那么曲线
在点
处的切线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由给定定义得，对
左右两侧同时求导，
可得
，将点
代入，得
，
解得
，故切线斜率为
，得到切线方程为
，
化简得方程为
，故B 正确.
故选：B
2.（江苏省镇江市2025-2026 学年高三上学期期中）已知函数f (x)=aln x (a>0)，若函数
g(x)=|f (|x)))−2025，则g(x)的所有零点之积为 ；方程|f (x))= x有三个不同
的解，则实数a的范围为 .
【答案】1，(e,+∞)
【解析】g(x)的零点即方程|f (|x)))=2025的根，作出函数y =|f (|x)))=|a ln(|x)))的图象，
如图，y =2025与y =|f (|x)))的图象共4 个交点，从右到左依次是x1, x2, x3, x4，当x>0时，
y =|f (|x)))=|a ln x)，则a ln x1=−a ln x2，得ln x1+ ln x2=0，故ln(x1 x2)=0，即x1 x2=1，
同理，可得x3 x4=1，所以x1⋅x2⋅x3⋅x4=1，即g(x)的所有零点之积为1.作出函数
y =|f (x))=|a ln x)的图象如图，
方程|f (x))= x有三个不同的解，即y =|f (x))=|aln x)与y = x的图象有三个不同的交点，当
x>1时，y =|f (x))=aln x，则y
′ = a
x ，设切点为(x0,aln x0)，所以曲线y =a ln x过原点的
切线斜率k = a
x0
= aln x0
x0
，解得x0=e，所以曲线y =a ln x过原点的切线斜率k = a
e ，
y =|f (x))=|a ln x)与y = x的图象有三个不同的交点，则a
e >1，即a>e，所以实数a的取值
范围为(e,+ ∞).
答案为：1，(e,+∞).
3.（湖北省云学联盟2026 届高三上学期期末联考）已知函数 f (x)=e
x , g(x)= 1
2 a x
2 ,其中
a>0 ,若存在两条不同的直线同时与曲线 y = f (x) 和 y = g(x) 相切,则正数 a 的取值范
围是
A. (0, e
2
2)
B. (
e
2
2 ,+ ∞)
C. (0,e)
D. (e ,+∞)
【答案】B
【
解
析
】
切
点
(x1,e
x1)(x2, 1
2 a x2
2) y −e
x1=e
x1(x−x1)⇒y =e
x1 x +(1−x1)e
x1 y −1
2 a x2
2=a x2(x−x2)⇒y = x2 x−1
2 a x2
2∴{e
的
解
>0⇒x1>1令
h(x)=
e
x
2(x−1) , x>1h(∞)= e
x(x−2)
2(x−1)
2 ∴h(x)
在
(1,2)↓(3,+ ∞)↑h(x)≥h(2)= e
2
2 ∴a> e
2
2
故选： B
4.（2026 届辽宁省重点高中协作体调研测试（二））若曲线
：
与曲线
：
（其中无理数
…）存在公切线，则整数
的最值情况为
A. 最大值为2，没有最小值
B. 最小值为2，没有最大值
C. 既没有最大值也没有最小值
D. 最小值为1，最大值为2
【答案】C
【解析】分析：先根据公切线求出
，再研究函数
的最值得解.
详解：当a≠0 时，显然不满足题意.由
得
，由
得
.
因为曲线
：
与曲线
：
（其中无理数
…）存在公切线，
设公切线与曲线
切于点
，与曲线
切于点
，则
将
代入
得
，由
得
，
设
当x＜2 时，
，f(x)单调递减，
当x＞2 时，
，f(x)单调递增.
或a<0.
故选C
函数存在、恒成立问题
1.（广东省2026 年1 月普通高等学校招生适应性测试）正数
满足
，若
对任意正数
恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为正数
满足
，
所以
，
当且仅当
，
时，等号成立．
故
的最小值为8．
又因为
对任意正数
恒成立，
即
，解得
，
所以实数x 的取值范围是
．
故选：A
2.（吉林省长春市2026 届高三质量监测（一））若函数
，且
恒成立，则实数
.
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
所以
恒成立等价于
恒成立，
当
时，
恒成立，等价于
恒成立，
又函数
在
上单调递减，当
时，
，
所以
；
当
时，
恒成立，等价于
恒成立，
又函数
在
上单调递减，当
时，
，
所以
；
综上所述：
.
故答案为：
.
3.（四川省成都市多校2026 届高三上学期第一次联合诊断性考试）已知函数
f (x)=(x−b)(e
x−a)(a>0)，若f (x)≥0，则b−1
a
的最大值为（ ）
A．e
−2
B．e
−1
C．e
D．e
2
【答案】A
【解析】因为a>0，且函数y = x−b和y =e
x−a都是R上的增函数，故若f (x)≥0恒成立，
则函数y = x−b和y =e
x−a的零点相同，
所以b= ln a，则b−1
a
= ln a−1
a
，
设g(a)= ln a−1
a
，a>0，则g
′ (a)= 2−ln a
a
2
，
当a∈(0,e
2)时，g
′ (a)>0，g(a)单调递增，
当a∈(e
2,+ ∞)时，g
′ (a)<0，g(a)单调递减，
故g(a)max= g(e
2)=e
−2，所以b−1
a
最大值为e
−2，
故选：A.
4.（广东省2026 届普通高中毕业班第二次调研）已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【解析】
设
，则当
时，
不成立；当
时，由
，得
，则
不成立；当
时，若
，则
，即
成立；若
，则
，即
，得
．综上，
的取值范围是
．
5.（安徽省黄山市2026 届高三第一次质量检测）已知函数
，若
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，则
，
即
对于
恒成立，
而函数
和
在
上均为增函数，
则函数
和
在
上有共同的零点，
即
，则
，即
，
设
，则
，
令
，得
或
，令
，得
，
所以函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
又
时，
，
时，
，且
，
则
，即
的取值范围是
.
故选：D
6.（山东省济南市2026 届高三第一次模拟考试）若存在
，对任意的
，都有
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】任意的
，都有
，
则有
在
上恒成立，
令
，函数定义域为
，
，令
，解得
，
时，
，
在
上单调递减；
时，
，
在
上单调递增，
，
因此存在
，使
，
令
，
，令
，解得
，
时
，
在
上单调递增；
时
，
在
上单调递减，
有
，
所以
时，
的最大值为
.
故选：C
7.（湖北省部分市州2026 届高三上学期1 月联考）已知
，函数
，若存
在
值，使得
对任意
成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
令
，
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
当
时，
，画出
大致图像如下：
当
时，
与
仅有一个交点，
令
，则
，且
，
当
时，
，则
，
单调递增，
当
时，
，则
，
单调递减，
为
的极大值点，故
存在唯一的极值点；
，此时
，
，
，
，
，
令
，
，
若存在a，使得
对任意
成立，
等价于存在
，使得
，即
，
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，故
，
实数b 的取值范围
，
的最小值为
.
故选：D
函数的零点、极值点
1.（广东省东莞市2026 届高三调研考试）设
，函数
，函数
的极值为
，则（ ）
A.
是递增数列
B.
是递减数列
C.
是等差数列
D.
是等比数列
【答案】D
【解析】
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
的极值为
；
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
的极值为
；
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
极值为
，
归纳可得：
，
因为
，
所以数列
不是等差数列.
又因为
，
所以数列
是等比数列，
因为数列
是正负交替出现，故该数列不具有单调性.
故选：D
2.（湖南省联考2025-2026 学年高三上学期期末）已知函数f ( x)= x
aa
x(a∈N
∗,a>1)，
记f ( x)的非零极值点为t，则t取最大值时，a=
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】B
【解析】 f '( x)=a x
a−1a
x+ x
aa
xlna= x
a−1a
x(a+ xlna)，令f '( x)=0，得x =−a
lna或
x =0，可得t =−a
lna.设g(a)=
−a
lna，a>1，则g
'(a)=−lna−1
(lna)
2 ，当a∈(1,e)时，g
'(a)>0，g(a)单调递增，当
a∈(e ,+ ∞)时，g
′(a)<0，g(a)单调递减，则当a=2或3时，g(a)取得最大值. 又
g(2)=−2
ln 2 =−
4
ln 4 = g(4)< g(3)，故t =−3
ln3，a=3.
3.（安徽省合肥市2026 届高三教学检测）已知函数
有且仅有三个
零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
有且仅有三个零点，则方程
有且仅有三个根，
令
，则
，
由
得
；
得
；
则
在
单调递增，在
上单调递减，则
，
因为
时
；
时
，且
时
，
所以
的函数图象如图：
因为
不是
的根，
所以
有两个根，其中一个根位于
，另一根位于
或另一根是
，
但方程
的两根的乘积为
，
所以
一个根位于
，另一根位于
，
则
，得
，
故
的取值范围是
.
故选：C
4.（浙江金丽衢十二校2026 届高三第一次联考）已知三次函数
，若不等式
的解集为
，则
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】D
【解析】由
，求导可得：
，
由
，得
或
，由
，得
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以当
时，极大值为4，
即当
时，
，
又当
时，极小值为0，当
时，
，
且函数
在
单调递减，在
单调递增，
即当
时，
，当
时，
，
综上可知不等式
的解集为
，
故选：D
5.（江西省部分学校2025-2026 学年高三上学期1 月测试）若函数
有唯一
极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为
只有1 个极值点，所以
，
，
由
，得
，设
，
，
则
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，在区间
上单调递
减，
且
，
，当
时，
，当
时，
，
当
时，直线
与
的图象仅在
区间有1 个交点，
且该交点为变号零点（
在
单调递减），则
只有1 个极值点，
当
时，直线
与
的图象有3 个交点，则
有3 个极值点，
当
时，直线
与
的图象无交点，
无极值点，
所以当
时
有唯一极值点，
综上，实数
的取值范围是
.
故选：A．
6.（湖南省名校联考联合体2025-2026 学年高三联考）函数
满足：当
时，
且
，
，若函
数
（
且
）共有6 个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
，
，
，
，
，
，
函数
的图像关于直线
对称，
，
，
函数
是以4 为周期的周期函数.
在
上是单调递增函数且
，
在
上是单调递增函数且
，
，在
上，
，
函数
在区间
上单调递增，且值域为
，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
且当
时
，
当
时
.
函数
的零点个数就是函数
图像与函数
，
（
，
）图像的交点个数.
作出函数
与
的图像如下：
函数
，（
，
）共有6 个零点，
当
，
时，
，得
，
，
当
，
时，
，得
，
，
实数
的取值范围是
.
故选：C.
7. （2026 届T8 联考） 已知函数 f (x)={
e
x(2 x−1), x>0,
k (x +1), x<0, g(x)= f (x)+ f (−x)) , 若
y = g(x) 恰有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是
A. (−∞,1)
B. (4 e
3
2 ,+∞)
C. (1,4 e
3
2)
D. (1,+∞)
【答案】B
【解析】 ∵g(x)= f (x)+ f (−x),∴g(−x)= f (−x)+ f (x)= g(x) . 又 g(x) 定义域为
{x∣x≠0} 关于原点对称, ∴g(x) 为偶函数. 要使 y = g(x) 恰有 4 个零点,则需使
y = g(x) 在区间 (0 , + ∞) 上恰有 2 个零点.
当 x>0 时, g(x)=e
x(2 x−1)+ k (−x +1)=e
x(2 x−1)−k (x−1).
方法一: 令 e
x(2 x−1)=k (x−1) , 显然 x =1 不是方程的根, ∴k = e
x(2 x−1)
x−1
, 记
h(x)= e
x(2 x−1)
x−1
,
问题转化为 h(x)=k 在区间 (0 , + ∞) 上有 2 个解.
又 h
′ (x)= e
x(2 x
2−3 x)
(x−1)
2
,
∴x∈(0,1) 时, h
′ (x)<0,h(x) 单调递减; x∈(1, 3
2) 时, h
′ (x)<0,h(x) 单调递减;
x∈(
3
2 ,+ ∞) 时, h
′ (x)>0,h(x) 单调递增,
且 h(0)=1 . 当 x 从 1 的左侧无限趋近于 1 时, h(x) 趋近于 −∞ ; 当 x 从 1 的右
侧无限趋近于 1 时, h(x) 趋近于 + ∞ ; 当 x 趋近于 + ∞ 时, h(x) 趋近于 + ∞ . 又
h(
3
2)= 4 e
3
2 ,∴k ∈(4 e
3
2 ,+ ∞) .
方法二: g
′ (x)=e
x(2 x +1)−k , 易知 g
′ (x) 在区间 (0,+∞) 上单调递增, ∴ 要使
y = g(x) 在区间 (0,+ ∞) 上恰有 2 个零点,则需满足 g
′ (x) 在区间 (0,+∞) 上有零点,记
为 x0 ,且 g
′ (0)=1−k <0,∴k >1 ,且 g
′(x0)=e
x0(2 x0+1)−k =0 .
当 x∈(0, x0) 时, g
′ (x)<0, g(x) 单调递减; 当 x∈(x0,+ ∞) 时, g
′ (x)>0, g(x) 单调
递增.
∵g(0)=k −1>0, g(k )=e
k (2k −1)+ k(−k + 1) >k (2k −1)+ k (−k +1)=k
2>k −1 ,
∴ 当 y = g(x) 在区间 (0,+ ∞) 上恰有 2 个零点时,需满足 g(x0)<0,0< x0<k .
∴g(x0)=e
x0(2 x0−1)+ k (−x0+1)=e
x0(2 x0−1)+e
x0(2 x0+1)(−x0+1)= x0e
x0(−2 x0+3)<0,
∴x0> 3
2 .
易知 h(x)=e
x(2 x +1) 在区间 (0,+∞) 上单调递增,
∴k =e
x0(2 x0+1)>4 e
3
2 .
综上所述， k ∈(4 e
3
2 ,+∞) .
函数导数综合
1.（2026 届南通高三学业监测（一模）考后巩固）已知
，当
时，有
，则必有
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】画出的
图象：
对于A，
不能同时成立，因为
时，函数单调递减，得不到
，故A 错误；
对于B，如图，当
时，有
，则
可能小于零，也可能大于零，
故B 错误；
对于C，如图，当
时，
，故C 错误；
对于D，由图象可知，
，所以
，
又
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：D.
2.（浙江省温州市2026 届高三上学期期末质量评价）函数
的最小
值为__________．
【答案】1
【解析】函数
的定义域为
；
令
，解得
，
当
时，
，求导得到
，
所以函数
在
上单调递减，
在第一段上，最小值在
处取得，
.
当
时，
，求导得到
，
令
，解得
，
当
时，
，函数单调递减；
当
时，
，函数单调递增；
因此，
是第二段的最小值点，计算得
；
因为
，所以函数
的最小值为1.
故答案为：1.
3.（九江市2026 届第一次高考模拟统一考试）已知实数
满足
，则
的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．2
D．1
【答案】D
【解析】将
整理为
，
构造函数
（
），
.
，
令
，则
，令
，则
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
由
，可知
，
令
，则
，令
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
.
由题意可得
，
所以
，
当且仅当
时，不等式成立.
此时
，
，
所以
.
故选：D.
4.（山东省名校考试联盟2026 届高三下学期2 月份核心素养评估）已知奇函数
的定
义域为
，对于任意的正数
，都有
，且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设
是
上的任意两个实数，且
，则
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以函数
在
上单调递增，
因为
是定义域在
上的奇函数，所以
在
上也单调递增，
由
得
，即
，
又
，令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
令
，则
，
令
，则
，
因为
是奇函数，所以
，
所以当
时，解
得
，
当
时，解
得
，
当
时，
，不满足条件，
所以不等式
的解集为
，
故选：D
5.（江西省部分省示范高中2025-2026 学年高三一轮复习摸底监测数）设函数
的导函
数为
，若函数
在区间D 上是减函数，且函数
在区间D 上是增函数，称
在区间D 上是“缓减函数”，区间D 称为
的“缓减区间”，若
，下列区间不是
的“缓减区间”的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意得
，
又
，由
，得
，解得
，
即
的单调递减区间为
．
设
，
则
.
由
得
，即
，
又
，则
，解得
，
即
的单调递增区间为
．
由“缓减区间”的定义可得
的“缓减区间”为
，
而
是
的子集，是“缓减区间”；
不是
的子集，不是“缓减区间”；
是
的子集，是“缓减区间”；
是
的子集，是“缓减区间”．
故选：B
