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备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）
第 06 讲 直线与椭圆的位置关系
【考试要求】
（1）掌握直线与椭圆位置关系的判断；
（2）处理直线与椭圆位置关系中的弦长、中点弦、最值与范围问题。
x2 y2
1.点P(x ,y )与椭圆 + =1(a>b>0)的位置关系
0 0 a2 b2
x 2 y 2 x 2 y 2
(1)点P在椭圆外⇔ 0 + 0 >1；(2)点P在椭圆上⇔ 0 + 0 =1；(3)点P在椭圆内
a2 b2 a2 b2
x 2 y 2
⇔ 0 + 0 <1.
a2 b2
2.直线与椭圆的位置关系
{y=kx+m
联立 x2 y2 ,得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2−a2b2=0.
+ =1
a2 b2
设一元二次方程的判别式为∆，
则∆>0⇔有2个交点⇔相交；∆=0⇔有1个交点⇔相切；∆<0⇔没有交点⇔相离.
3.弦长公式
直线l与椭圆交于A,B两点，设A(x ,y ),B(x ,y ).
1 1 2 2
(1)若直线l:y=kx+b，则弦长❑√∆
|AB|=❑√1+k2∙|x −x |= =❑√(1+k2)∙[(x −x ) 2−4x ∙x ]
1 2 |a| 1 2 1 2
(2)若直线l:x=ty+m，则弦长|AB|=❑√1+t2∙|y −y |=❑√(1+k2)∙[(y −y ) 2−4 y ∙y ]
1 2 1 2 1 2
(3)若直线l:x=m，则弦长|AB|=|y −y |
1 2
(4)若直线l:y=n，则弦长|AB|=|x −x |
1 2
4.重要结论
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为.
(2)过左焦点的弦 AB，A(x ，y)，B(x ，y)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x ＋x)；过右焦点弦
1 1 2 2 1 2
CD，C(x，y)，D(x，y)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x＋x)．(e为椭圆的离心率)
3 3 4 4 3 4
(3)A，A 为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A，A 的任一点，则 .
1 2 1 2
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则k ·k ＝－.
OM AB
(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则k ·k ＝－.
PA PB
(6)点P(x，y)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.
0 0
考点一 直线与椭圆的位置关系
例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【对点演练1】直线y＝2x－1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【对点演练2】（2023·全国·高三专题练习）(多选)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关
系可能为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．有3个公共点
【对点演练3】已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． 或
C． 且 D． 且例2 (2023·潍坊模拟)已知A，B分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)在x轴正半轴、y轴正半轴
上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|＝.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|＝，求
k的值．
【对点演练1】(2023河南郑州诊断考试)已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，
且|AB|＝，则实数m的值为( )
A．±1 B．± C． D．±
【对点演练2】直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的弦长的最大值是
( )
A．2 B． C．4 D．不能确定
【对点演练3】已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面
积的最大值为( )
A．6 B．15 C．20 D．12
【对点演练4】在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，且离
心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|＝，求直线l的方程．
【对点演练5】（2023·山东高三联考）已知椭圆 的离心率为 ，
且过点 ．
(1)求 的方程；
(2)若 是 上两点，直线 与圆 相切，求 的取值范围．
考点三 中点弦、弦中点问题
例3 已知椭圆＋y2＝1.
(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点P 且被P点平分的弦所在直线的方程．
【对点演练1】若椭圆 的弦AB被点 平分，则AB所在的直线方程为
______．【对点演练2】（2023·全国·模拟预测）椭圆 ，则该椭圆所有斜率为 的弦的中
点的轨迹方程为_________________．
【对点演练3】若双曲线 上存在两个点关于直线 对称，则实
数 的取值范围为______.
题型四 直线与椭圆的综合问题
角度1 与椭圆有关的最值问题
例4（多选）已知椭圆 上有一点 ， ､ 分别为其左右焦点， ，
的面积为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 ； B．若 ，则满足题意的点 有 个；
C．若 是钝角三角形，则 ； D．椭圆 的内接矩形的周长的最小值为
x2 y2
【对点演练1】椭圆 + =1上的点P到直线x+2y−9=0的最短距离为( )
4 3
7❑√5 9❑√5 13❑√5
A. ❑√5 B. C. D.
5 5 5
【对点演练2】（2022·江西·高三开学考试）已知抛物线 ： 和椭圆 ：
，过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，线段 的中垂线交椭
圆 于 ， 两点．（1）若 恰是椭圆 的焦点，求 的值；
（2）若 恰好被 平分，求 面积的最大值．
x2
【对点演练3】(2022·浙江卷) 如图，已知椭圆 + y2=1.设A，B是椭圆上异于P(0,1)
12
1 1
的两点，且点Q(0, )在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y=− x+3于C，D两点．
2 2
(I)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(II)求|CD|的最小值．
角度2 与椭圆有关的范围问题
x2 y2
例5.已知椭圆C： + =1(a>b>0)，F为左焦点，上顶点P到F的距离为2，且离心率
a2 b2
❑√3
为 ．
2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设斜率为k的动直线l与椭圆C交于M，N两点，且|PM|=|PN|，求k的取值范围．
x2 y2
【对点演练1】(2022·湖南省益阳市模拟)已知椭圆C: + =1，O为坐标原点，
4 3
❑√3
E(❑√3, )，AB是椭圆C的一条弦，若弦AB的中点在线段OE(不含端点O,E)上，则
2
⃗ ⃗
的取值范围是( )
OA⋅OB
13 15 13 13 15 15
A. (− , ) B. [− ,+∞) C. [− , ) D. (0, ]
4 4 4 4 4 4
一、选择题
1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞)
2．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若
垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于( )
A．± B．± C．± D．±2
3．已知F(－1,0)，F(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F 且垂直于x轴的直线与椭圆C交
1 2 2
于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O
为坐标原点，则 等于( )
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
5．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.
C. D.
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半
轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
7．(多选题)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交
于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
8.过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B
在x轴上的射影恰好为右焦点F.若<k<，则椭圆C的离心率的取值范围是( C )
A. B.
C. D.
二、填空题
9．直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是 ．
10．已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线l交椭圆于A，
1 2 1
B两点，若|BF|＋|AF|的最大值为5，则b的值是.
2 2
11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B
两点，连接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e＝ .
三、解答题
12．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直
角三角形．(1)求椭圆E的离心离；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求
椭圆E的标准方程．
13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F，F，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C
1 2
上位于x轴上方的两点，且FM∥FN，记直线AM，BN的斜率分别为k ，k ，若3k ＋2k
1 2 1 2 1 2
＝0，求直线FM的方程．
1
14．已知椭圆C：＋＝1，过点P(－2，1)作两条直线分别交椭圆C于M，N两点(M，
N与点P不重合)，且PM·PN＝0，则直线MN一定过点 ( － ，－ ) ．
15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F ，F ，A为椭圆C
1 2
上一点，AF 与y轴相交于B，|AB|＝|FB|，|OB|＝(O为坐标原点)．
1 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A ，A ，过A ，A 分别作x轴的垂线l ，l ，椭圆C
1 2 1 2 1 2
的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)分别与l，l 交于点M，N，求证：∠MF N＝∠MF N.
1 2 1 2
