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1.5 复数
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2
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考点一 复数的基本概念
【例1-1】（2024·黑龙江吉林·二模）复数
的虚部是（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【例1-2】（2024 山东）已知复数
的实部为3，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．5
【一隅三反】
1．（2024·湖南·模拟预测）已知复数
，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
2．（2024 内蒙古赤峰）复数
的虚部为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，
为实数，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
考点二 复数的分类
【例2-1】（2024·四川泸州·二模）已知
为纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【例2-2】（2024·全国·一模）若复数
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【一隅三反】
1．（2024·江苏扬州）已知复数
是纯虚数，则m=（ ）
A．1
B．1 或-4
C．4
D．4 或6
2（2023·辽宁·校联考二模）已知
，
为纯虚数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2024·山西·模拟预测）已知
为实数，则
（ ）
4
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A．1
B．
C．2
D．
4．（2024·山西运城）已知为虚数单位，若
为实数，则实数
（ ）
A．
B．4
C．2
D．
考点三 复数的几何意义
【例3-1】（2024·辽宁·一模）
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【例3-2】（2024·广东广州·一模）已知复数满足
，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【例3-3】（2024·河北衡水）已知复数
，
，若在复平面上对应的点在第三象限，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河南南阳·一模）已知复数满足
，复数的共轭复数为
，则
在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（2024·甘肃·一模）若复数
在复平面内对应的点位于第二象限，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·全国·一模）若
，则在复平面内复数z 对应的点不可能在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
考点四 复数的模长
【例4-1】（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数
，则
（ ）
5
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A．
B．
C．2
D．
【例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知
，则z 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·天津南开·一模）i 是虚数单位，复数
，则的虚部为
2．（2023·山西·高三校联考阶段练习）复数z 满足
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．（2024 东北师大附中校联考模拟预测）已知复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·广东梅州·统考二模）已知复数
，
，且
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
考点五 复数与方程
【例5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知
是关于
的实系数一元二次方程
的一个根，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【例5-2】（2024·安徽芜湖·二模）已知复数
且
有实数根b，则
=
（ ）
A．
B．12
C．
D．20
【一隅三反】
1.（2023·福建·统考模拟预测）已知z 是方程x2-2x+2=0 的一个根，则|
|=（ ）
A．1
B．
C．
D．2
2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数z 是方程
的一个根，且复数z 在复平面内对应的点位于
6
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第三象限，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·云南·模拟预测）若
是一元二次方程
的根，则该方程的两根之和为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
4．（2024·全国·模拟预测）设
为实数，且
，虚数
为方程
的一个根，则
的值为
.
考点六 复数模长相关轨迹
【例6-1】（2024 湖南·阶段练习）设复数z 满足
，z 在复平面内对应的点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-2】．（2023·全国·模拟预测）已知复数满足
（为虚数单位），则
的最小值为
（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【例6-3】（2024 浙江·期末）已知复数满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 江苏无锡·期中）是虚数单位，若复数满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·安徽安庆·一模）设复数z 满足条件|z|＝1，那么
取最大值时的复数z 为（ ）
A．
+
i
B．
+
i
C．
i
D．
i
3．（2024 江苏泰州）若复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
7
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A．
B．
C．1
D．
4．（2023·江苏扬州·模拟预测）复数
（
为虚数单位）在复平面内对应点
，则下列为
真命题的是（ ）．
A．若
，则点
在圆上
B．若
，则点
在椭圆上
C．若
，则点
在双曲线上
D．若
，则点
在抛物线上
考点七 复数运算及性质
【例7-1】（2024·广东江门·一模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．
，
B．
C．若
，
，则
的最小值为1
D．若
是关于x 的方程
的根，则
【例7-2】（2024·广东韶关·二模）（多选）已知复数
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
是非零复数，且
，则
D．若
是非零复数，则
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模）（多选）已知复数
是的共轭复数，则（ ）
A．
B．的虚部是
C．在复平面内对应的点位于第二象限
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D．复数
是方程
的一个根
2．（2024·云南·一模）（多选）已知
、
都是复数，下列正确的是（ ）
A．若
，则
B．
C．若
，则
D．
3．（2024·吉林白山·二模）（多选）已知
为复数，则（ ）
A．若
，则
为实数
B．
C．若
，则
D．若
，则复数
在复平面内所对应的点位于坐标轴上
一．单选题
1．（2024·河南信阳·一模）若
，则z 的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2024·宁夏银川·一模）已知复数
表示纯虚数，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．2
3．（2024·全国·模拟预测）复数满足
，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．的实部为
D．的虚部为
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4．（2024·内蒙古包头·一模）设复数满足
，
，复数所对应的点位于第四象限,则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足
（为虚数单位），则对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．（2024·四川南充·二模）若复数
，且z 和
在复平面内所对应的点分别为P，Q，O 为坐标原点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设
，
为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
且
C．若
，则
D．若
，且
，则在复平面对应的点在一条直线上
二．多选题
9．（2024·辽宁·一模）已知满足
，则（ ）
A．
B．复平面内
对应的点在第一象限
C．
D．的实部与虚部之积为
10．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数
满足：
(其中为虚数单位)，则下列说法正确
10
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的有( )
A．
B．
C．
的最小值为
D．
的最大值为
11．（2024·江苏·一模）已知复数
，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
或
D．若
，则
三．填空题
12．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数
，则的虚部为 .
13．（2023·全国·高三专题练习）
____________
14．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数
，
满足
，
，则
的最大值为
.
四．解答题
15．（2024 河南商丘）已知复数z 满足
，
的虚部是2，z 对应的点A 在第一象限，
(1)求z 的值；
(2)若
在复平面上对应点分别为A，B，C，求cos∠ABC.
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16（2024 湖北）已知复数满足
，且复数在复平面内的对应点为
．
(1)确定点
的集合构成图形的形状；
(2)求
的最大值和最小值．
17．（2024·上海嘉定）设复数
，其中xnyn∈R，n∈N*，i 为虚数单位，
，z1=3+4i，复
数zn 在复平面上对应的点为Zn.
（1）求复数z2，z3，z4的值；
（2）是否存在正整数n 使得
？若存在，求出所有满足条件的
；若不存在，请说明理由；
（3）求数列
的前
项之和.
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18．（2024 山西）已知复数
，
，为虚数单位，
.
（1）若
为实数，求
的值；
（2）若复数
、
对应的向量分别是
、
，存在
使等式
成立，求实数
的取值范围.
19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列
，我们称
（规定
）为无穷数列
的指数型母函数．无穷数列1，
1，…，1，…的指数型母函数记为
，它具有性质
．
(1)证明：
；
(2)记
．证明：
（其中i 为虚数单位）；
(3)以函数
为指数型母函数生成数列
，
．其中
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称为伯努利数．证明：
．且
．
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