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10.3 平面向量的应用（精讲）
考点一 夹角
【例1-1】（2023·江苏）若向量
，
与
的夹角为钝角，则实数λ 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】．（2023 秋·福建莆田）已知O 为
的外心，且
．若向量
在向量
1
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上的投影向量为
，其中
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 春·福建厦门）如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等
分点，AF 与DE 交于M，则
.
2．（2023 春·湖南怀化）在
中，已知
，
，
，
和
边上的两条中线
，
相交于点
，则
的余弦值为
3．（2023 秋·山东枣庄）如图，在
中，已知
，
，
，
是
的中点，
，设
与
相交于点
，则
．
考点二 最值
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形
中，
为等边
三角形，当点
在对角线
上运动时，
的最小值为（ ）
2
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A．
B．-1
C．
D．2
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，
，
若P 为边BC 上的一个动点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022 春·辽宁大连·）设平面向量
满足
与
的夹角为
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 秋·河北保定）已知边长为2 的菱形
中，点
为
上一动点，点
满足
，
，则
的最大值为（ ）
A．0
B．
C．
D．3
考点三 平面向量与四心
【例3-1】（2023 春·四川成都）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中
一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内
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容是：已知M 是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
，
，
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
，则
【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）点O 在△
所在的平面内，则以下说法正确的是
（ ）
A．已知平面向量
满足
，且
，则△
是等边三角形
B．若
，则点O 为△
的重心
C．若
，则点O 为△
的外心；
D．若
，则点O 为△
的垂心
【一隅三反】
1．（2023 春·黑龙江哈尔滨）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对
应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是
内的一点，
，
，
的面积分别为
、
、
，则有
，设O 是
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锐角
内的一点，
，
，
分别是
的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若
，则O 为
的重心
B．若
，则
C．若O 为
（不为直角三角形）的垂心，则
D．若
，
，
，则
2．（2023 春·湖北武汉）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．已知
，
，且
与
的夹角为锐角，则实数
的取值范围是
B．已知点
在
所在平面内，满足
，则
是
的重心
C．已知点
在
所在平面内，满足
，则点
的轨迹一定经过
的内心
D．若平面向量
，
共线，且
，满足
，则
为5 或1
3．（2023 春·广东佛山）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知
是
内一点，
、
、
的面积分别为
、
、
，则
.设
是锐角
内的一点，
、
、
分别是
的三个内角，以下命题正确的有（ ）
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A．若
，则
B．
，
，
，则
C．若
为
的内心，
，则
D．若
为
的重心，则
考点四 平面向量与三角函数
【例4-1】（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）在
中，
，
，
，则
的取值范围是 ．
【例4-2】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，
.
(1)求角
的值；
(2)若
，边
上的中点为
，求
的长度.
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【一隅三反】
1．（2023 春·湖北）如图，在
中，
，
，
，点
，
分别在边
，
上，且
，
，
与
交于点
．
(1)设
，
，试用
，
表示
；
(2)求
的长．
2．（2023 春·吉林长春）
的内角
的对边分别为
，且
．
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(1)求A；
(2)若
，三角形面积
，求
边上的中线
的长．
3．（2023 春·北京）在
中，D 为边AC 上一点，满足
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 平面向量证明线段垂直
【例5】（2023·云南）在平面直角坐标系中，
的三个顶点坐标分别为
，
，
(且
)，D 为AB 的中点，E 为
的重心，F 为
的外心．
(1)求重心E 的坐标；
(2)用向量法证明：
．
【一隅三反】
1．（2023 春·陕西西安）已知在
中，点
是
边上靠近点
的四等分点，点
为
中点，设
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与
相交于点
.
(1)请用
、
表示向量
；
(2)设
和
的夹角为
，若
，且
，求证：
.
2．（2023 春·上海浦东新）已知在
中，点
是
边上靠近点
的四等分点，点
在
边上，且
，设
与
相交于点
．记
，
．
(1)请用
，
表示向量
；
(2)若
，设
，
的夹角为
，若
，求证：
．
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3．（2022 秋·云南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系
中，已知点
，直线
，点
到直线的距离为
，若点
满足
，记
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)过点
且斜率不为零的直线
与
交于
两点，设
，证明：
.
考点六 向量在物理上的应用
【例6】（2023 春·广东清远）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东
km/h.一
艘小货船准备从河的这一边的码头A 处出发，航行到位于河对岸B(AB 与河的方向垂直)的正西方向并且与
B 相距
m 的码头C 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船
的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A．
km/h
B．
km/h
C．
km/h
D．
km/h
【一隅三反】
1（2022·全国·高三专题练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运
动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为
，每只胳膊的拉力大小均为
，则该学生
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的体重（单位：
）约为（参考数据：取重力加速度大小为
）（ ）
A．
B．61
C．75
D．60
2．（2022·全国·高三专题练习）物体受到一个水平向右的力
及与它成60°角的另一个力
的作用.已知
的大小为2N，它们的合力F 与水平方向成30°角，则
的大小为（ ）
A．3N
B．
C．2N
D．
3．（2023 广东）（多选）在水流速度为
的河水中，一艘船以
的实际航行速度垂直于对
岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
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