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10.3 平面向量的应用（精讲）
考点一 夹角
【例1-1】（2023·江苏）若向量
，
与
的夹角为钝角，则实数λ 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
与
共线时，此时
，当
时，
，此时
与
方向相反，
当
与
的夹角为钝角时，则需
且
与
不反向，所以
且
，解得
，
1
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故选：A
【例1-2】．（2023 秋·福建莆田）已知O 为
的外心，且
．若向量
在向量
上的投影向量为
，其中
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
又因为O 为
的外心，所以
为直角三角形且
，O 为斜边BC 的中点，
过
作
的垂线
，垂足为
，
因为
在
上的投影向量为
，
所以
在
上的投影向量为
，
又因为
，所以
，
因为
，所以
，即
的取值范围为
．
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023 春·福建厦门）如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等
分点，AF 与DE 交于M，则
.
2
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【答案】
【解析】设
，
，则
，
，又
，
，
所以
.
故答案为：
2．（2023 春·湖南怀化）在
中，已知
，
，
，
和
边上的两条中线
，
相交于点
，则
的余弦值为
【答案】
/
【解析】
由已知得
即为向量
与
的夹角.
因为M、N 分别是
，
边上的中点，
3
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所以
，
.
又因为
，
所以
，
,
,
所以
.
故答案为：
3．（2023 秋·山东枣庄）如图，在
中，已知
，
，
，
是
的中点，
，设
与
相交于点
，则
．
【答案】
【解析】因为
是
的中点，所以
，
4
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，
因为
，
，
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
考点二 最值
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形
中，
为等边
三角形，当点
在对角线
上运动时，
的最小值为（ ）
A．
B．-1
5
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C．
D．2
【答案】A
【解析】由题意，
，
，
，所以
，
所以
，即
平分
，
由
可得
，
所以当
时，
有最小值为
.
故选：A
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，
，
若P 为边BC 上的一个动点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为三角形
中，
，
所以
是边长为2 的等边三角形，则
以
为
轴，
的中垂线为
轴，建立直角坐标系如图，
则
，设
，则
，
6
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故
，
显然当
时，
取得最小值
，
故选：B.
2．（2022 春·辽宁大连·）设平面向量
满足
与
的夹角为
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意建立如图所示平面直角坐标系，
不妨令
，因为
与
的夹角为
所以
，所以
，
设
，则
，
，
由
，所以
，
即
，即
，
即
点表示以
为圆心，
为半径的圆，又
7
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所以
；
故选：A
3．（2023 秋·河北保定）已知边长为2 的菱形
中，点
为
上一动点，点
满足
，
，则
的最大值为（ ）
A．0
B．
C．
D．3
【答案】D
【解析】由
，可得
，
设
，
可得
，所以
，
因为
，所以
，
以
与
交点
为原点，以
所在的直线分别为
轴和
轴建立平面直角坐标系，如图所示，则
，
，
，
设
，且
，则
，
，
，
当
时，
.
故选：D.
8
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考点三 平面向量与四心
【例3-1】（2023 春·四川成都）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中
一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内
容是：已知M 是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
，
，
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取BC 的中点D，连接MD，AM，
由
，则
，
所以
，
所以A，M，D 三点共线，且
，
设E，F 分别为AB，AC 的中点，同理可得
，
，
所以
为
的重心，故A 正确；
9
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对于B，由
为
的内心，则可设内切圆半径为，
则有
，
，
，
所以
，
即
，故B 正确；
对于C，由
为
的外心，则可设
的外接圆半径为
，
又
，
，
则有
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，故C 错误；
10
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对于D，如图，延长AM 交BC 于点D，延长BM 交AC 于点F，延长CM 交AB 于点E，
由
为
的垂心，
，则
，
又
，则
，
，
设
，
，则
，
，
所以
，即
，
所以
，所以
，故D 正确；
故选：ABD．
【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）点O 在△
所在的平面内，则以下说法正确的是
（ ）
A．已知平面向量
满足
，且
，则△
是等边三角形
B．若
，则点O 为△
的重心
C．若
，则点O 为△
的外心；
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D．若
，则点O 为△
的垂心
【答案】ACD
【解析】A：由
知：
是△
的外心，若
是
的中点，则
，又
，即
，故
共线且
，易知
是△
的内心，综上△
的
内外心重合，即△
是等边三角形，正确.
B：由
且
、
是在
、
上的单位向量，即有
，故
是
的平分线，同理
是
的平分线，所以O 为△
的内心，错误；
C：若
分别为
的中点，则
，又
，即
，故
，
同理
，又
，即
，故
，所以
为△
的外心，正
确；
D：由
，知：
，而
，易知
，同理可证
、
12
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，即O 为△
的垂心，正确.
故选：ACD
【一隅三反】
1．（2023 春·黑龙江哈尔滨）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对
应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是
内的一点，
，
，
的面积分别为
、
、
，则有
，设O 是
锐角
内的一点，
，
，
分别是
的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若
，则O 为
的重心
B．若
，则
C．若O 为
（不为直角三角形）的垂心，则
D．若
，
，
，则
【答案】ABC
【解析】对于A，设
的中点为D，则
，
即
三点共线，则
，
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设
为
的中点，同理可得
，
故O 为
的重心，A 正确；
对于B，若
，结合
，
可知
，B 正确；
对于C，
，
，
，
又O 为
（不为直角三角形）的垂心，设
延长后交
与G，则
,
同理
，则
，
即
，
同理
，
故
，同理
，
又
，
，
又O 为
（不为直角三角形）的垂心，
则
，
故
，即
，
同理
，
则
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，
同理
，
故
，
又
，可得
，C 正确；
对于D，
中，
，
，则
，
又
，故
，
则
，
故
，D 错误，
故选：ABC
2．（2023 春·湖北武汉）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．已知
，
，且
与
的夹角为锐角，则实数
的取值范围是
B．已知点
在
所在平面内，满足
，则
是
的重心
C．已知点
在
所在平面内，满足
，则点
的轨迹一定经过
的内心
D．若平面向量
，
共线，且
，满足
，则
为5 或1
【答案】ACD
【解析】对于A，∵
，
，
与
的夹角为锐角，∴
，
且
（当
时
与
的夹角为
），所以
且
，故A 项正确；
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对于B，由
知
，
故
即
，即
所以点
在
边上的高所在直线上，
同理可知，
在
、
边的高所在直线上，则
为垂心,故B 项错误；
对于C，因为点
满足
，所以点
在
的内角平分线上，故C 项正确；
对于D，由
知
，
，又平面向量
，
共线，
故分两种情形，一是夹角为
时，求得
的值为5，
另一种情形夹角为
时求得
的值为1．故D 项正确．
故选：ACD．
3．（2023 春·广东佛山）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知
是
内一点，
、
、
的面积分别为
、
、
，则
.设
是锐角
内的一点，
、
、
分别是
的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
B．
，
，
，则
C．若
为
的内心，
，则
D．若
为
的重心，则
【答案】ACD
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【解析】对于A 选项，因为
，由“奔驰定理”可知
，A 对；
对于B 选项，由
，
，可知
，
又
，所以
，
由
可得，
，
，
所以
，B 错；
对于C 选项，若
为
的内心，
，则
，
又
（为
内切圆半径），
所以，
，故
，C 对；
对于D 选项，如下图所示，
因为
为
的重心，延长
交
于点
，则
为
的中点，
所以，
，
，且
，
，
所以，
，由“奔驰定理”可得
，D 对.
故选：ACD.
考点四 平面向量与三角函数
【例4-1】（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）在
中，
，
，
，则
的取值范围是 ．
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【答案】
【解析】根据正弦定理得
，即
，
，
，
，
，所以
，
，
即
的取值范围
．
故答案为：
．
【例4-2】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，
.
(1)求角
的值；
(2)若
，边
上的中点为
，求
的长度.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
，
，
，
18
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，
，
.
（2）
是
边上的中线，
，
，
.
【一隅三反】
1．（2023 春·湖北）如图，在
中，
，
，
，点
，
分别在边
，
上，且
，
，
与
交于点
．
(1)设
，
，试用
，
表示
；
(2)求
的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在
中，由余弦定理有：
，
即
，
即
，解得
（负值舍去）．
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．
则在
中，
，
所以
，
．
即
．
，
．即
．
（2）由（1）知
，
，在
中，由余弦定理有：
，
所以
．
则在
中，
．
2．（2023 春·吉林长春）
的内角
的对边分别为
，且
．
(1)求A；
(2)若
，三角形面积
，求
边上的中线
的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理得
，
又
，则
，
化简得
．
20
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又
，所以
，则
．
因为
，所以
．
（2）由
得
，
法一：由
得
边上的中线
的长为
．
法二：由余弦定理得：
，
由
，得
，
解得，
，即
边上的中线
的长为
．
3．（2023 春·北京）在
中，D 为边AC 上一点，满足
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在
中，由
及正弦定理，
得
，
所以
，
而
，所以
，
21
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由
，得
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：C
考点五 平面向量证明线段垂直
【例5】（2023·云南）在平面直角坐标系中，
的三个顶点坐标分别为
，
，
(且
)，D 为AB 的中点，E 为
的重心，F 为
的外心．
(1)求重心E 的坐标；
(2)用向量法证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）如图，
∵
，
，
，
∴
，则由重心坐标公式，得
；
（2）
．
易知
的外心F 在y 轴上，可设为
．
22
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由
，得
，
∴
，即
．
∴
．
∴
，
∴
，即
．
【一隅三反】
1．（2023 春·陕西西安）已知在
中，点
是
边上靠近点
的四等分点，点
为
中点，设
与
相交于点
.
(1)请用
、
表示向量
；
(2)设
和
的夹角为
，若
，且
，求证：
.
【答案】(1)
.
(2)证明见解析.
【解析】（1）
.
（2）
，
，
.
23
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2．（2023 春·上海浦东新）已知在
中，点
是
边上靠近点
的四等分点，点
在
边上，且
，设
与
相交于点
．记
，
．
(1)请用
，
表示向量
；
(2)若
，设
，
的夹角为
，若
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
，由题意得
，
所以
．
（2）由题意，
．
∵
，
，∴
．
∴
，
∴
．
3．（2022 秋·云南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系
中，已知点
，直线
，点
到直线的距离为
，若点
满足
，记
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)过点
且斜率不为零的直线
与
交于
两点，设
，证明：
.
24
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【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设点
，则
，
由
得：
，两边平方整理得
，
则所求曲线
的方程为
.
（2）设直线
的方程为
，
联立方程
，消去
并整理得
，
因为直线
与
交于两点，故
，此时
，
所以
，而
.
又
，
所以
所以
考点六 向量在物理上的应用
【例6】（2023 春·广东清远）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东
km/h.一
艘小货船准备从河的这一边的码头A 处出发，航行到位于河对岸B(AB 与河的方向垂直)的正西方向并且与
B 相距
m 的码头C 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船
的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
25
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A．
km/h
B．
km/h
C．
km/h
D．
km/h
【答案】B
【解析】如图所示：
，
，
，
设合速度为，小货船航行速度为
，水流的速度为
，
则有
所以有
，
故选：B.
【一隅三反】
1（2022·全国·高三专题练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运
动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为
，每只胳膊的拉力大小均为
，则该学生
的体重（单位：
）约为（参考数据：取重力加速度大小为
）（ ）
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A．
B．61
C．75
D．60
【答案】D
【解析】如图，
，
，
作平行四边形
，则
是菱形，
，
，
所以
，
因此该学生体重为
（kg）.
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）物体受到一个水平向右的力
及与它成60°角的另一个力
的作用.已知
27
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的大小为2N，它们的合力F 与水平方向成30°角，则
的大小为（ ）
A．3N
B．
C．2N
D．
【答案】C
【解析】
由题得
,
所以
,所以
,
所以
,
所以
和
大小相等，都为2
.
故选：C
3．（2023 广东）（多选）在水流速度为
的河水中，一艘船以
的实际航行速度垂直于对
岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
【答案】BD
【解析】设船的实际航行速度为
，水流速度为
，船的航行速度为
，
根据向量的平行四边形法则可知：
28
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，
设船的航行方向和水流方向的夹角为
，
所以
，所以
，
故选：BD.
29
