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2.5 二次函数与幂函数
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
2.5 二次函数与幂函数............................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：幂函数的定义.....................................................2
考点2：二次函数.........................................................2
二、分类题型................................................................4
题型一 幂函数的图象与性质................................................4
题型二 二次函数的解析式..................................................7
题型三 二次函数的图象与性质.............................................10
命题点1 二次函数的图象.............................................10
命题点2 二次函数的单调性与最值.....................................11
三、课堂总结：知识图谱.....................................................13
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................14
1
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、
一
主干知识
考点1：幂函数的定义
1.定义：一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．
（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；
（4）形式都是y＝xa，其中a 是常数．
2.常见的幂函数图像及性质：
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x﹣1
定义域
R
R
R
[0，+∞）
{x|x≠0}
值域
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，+∞）
时，增
x∈（﹣∞，0]
时，减
增
增
x∈（0，+∞）
时，减
x∈（﹣∞，
0）时，减
公共点
（1，1）
（0，0）
（1，1）（0，
0）
（1，1）（0，
0）
（1，1）
（0，0）
（1，1）
考点2：二次函数
1.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：
；
（2）顶点式：
；其中，
为抛物线顶点坐标，
为对称轴方程.
（3）零点式：
，其中，
是抛物线与
轴交点的横坐标.
2
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2.二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0 时是偶函数，当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
3
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二、分类题型
题型一幂函数的图象与性质
【例题精析1】
（2023·宁夏银川·校考二模）已知函数
是幂函数，且为偶函数，则
实数
______．
【解答】由函数
是幂函数，则
，得
或
，
当
时，函数
，其定义域为
，
，则
是偶函数，
满足条件；当
时，函数
是奇函数，不合题意.故答案为：2.
【例题精析2】
（2022·全国·高一专题练习）幂函数
在第一象限的图像如图所示，
则
的大小关系是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】根据幂函数的性质，在第一象限内，
的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：
，故选：D
4
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【例题精析3】
（2023·广东广州·统考二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由
，
，
，
则
，
，又
，
，
则
，即
，所以
．故选：D．
（1）对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝
1，y＝1，y＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由
奇偶性决定．
（2）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【对点精练1】
（2022·海南·模拟预测）已知函数
，
，
的图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由图象可知：
，
.
5
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故选：C.
【对点精练2】
（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】
，又因为通过计算知
，所以
，即
，
又
，所以
，所以
.
故选：B
【对点精练3】
（2023·全国·高三专题练习）三个数
，
，
的大小顺序是（ ）
A．
>
>
B．
>
>
C．
>
>
D．
>
>
【解答】由函数
在
上单调递增，则
又由于
在
上单调递减，则
，
故
故选：C
【对点精练4】
（2022·全国·高三专题练习）函数
，其中
，
，
为奇数，其图象大致为
（ ）
A．
B．
6
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C．
D．
【解答】对任意
，
，由于
，
为奇数，当
时，
，此时
，
当
时，
，此时
，排除AC 选项；当
时，任取
、
且
，则
，
，所以
，所以，函数
在
上为增函数，排除D 选项.故选：
B.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
二
题型
二次函数的解析式
【例题精析4】
已知二次函数
，
，且
.
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在区间
上的值域．
【解答】（1）解：因为
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
7
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所以
，所以
，
即
．
（2）解：因为
，所以
是开口向上，对称轴为
的抛物线．
因为
在
递减，在
递增，所以
，
因为
，
，
所以
，
所以
在
上的值域为
．
【例题精析5】
已知
是二次函数，满足
且
.
(1)求
的解析式；
(2)当
时，使不等式
成立，求实数
的范围.
【解答】（1）设函数
，
因为
，可得
，所以
，
又
，得
，整理得
，
因为对于任意的
成立，则有
解得
，
所以
.
（2）当
时，
成立，即
成立，
8
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令
，则
因为
开口方向向上，对称轴为
，
所以
在
单调递减，故
，
故
，即实数
的取值范围是
.
求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对
称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
【对点精练5】
（2022·全国·高三专题练习）已知
为二次函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解出这三个未知数的值，即可得出函数
的解析式.
【解答】设
，则
，
由
可得
，
所以，
，解得
，因此，
.
故选：B.
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【对点精练6】
已知二次函数
的最小值为3，且
.
（1）求
的解析式；
（2）若
的图像恒在直线
的上方，求实数
的取值范围.
【解答】解：（1）因为二次函数
中
，所以对称轴为
又二次函数
的最小值为3，故可设
所以
所以
（2）
的图像恒在直线
的上方
等价于
即
恒成立
因为
所以
，即实数
的取值范围
.
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
【对点精练7】
（2023·上海·高三专题练习）已知函数
在区间
，
上的最大值为
5，最小值为1．
（1）求
，
的值及
的解析式；
（2）设
，若不等式
在
，
上有解，求实数的取值范围．
10
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【解答】解：（1）由
及条件，可得
，
解得
，
．故
（2）由（1）可得
，
于是题设条件得
在
，
上有解，
即
在
，
上有解，
令
，
，
，
，
则
在
，
上有解
当
，
时，
，
，于是
，
因此，实数的取值范围为
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，考查换元思想，属于中档题．
三
题型
二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的图象
【例题精析6】
已知函数
，如果
且
，则它的图象可能是（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【解答】由题意，函数
，
因为
，令
，可得
，即函数图象过点
，
又由
，可得
，所以抛物线的开口向上，可排除D 项，
令
，可得
，可排除B、C 项；
故选：A.
命题点2 二次函数的单调性与最值
【例题精析7】
（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数
的值域为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】若
，则函数
的值域为
，不合乎题意，
因为二次函数
的值域为
，则
，
且
，所以，
，可得
，则
，
12
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所以，
，当且仅当
时，等号成立，
因此，
的最小值为.
故选：B.
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论
哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间
的位置关系进行分类讨论．
【对点精练8】
（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数
的两个零点都在区间
内，则
a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】二次函数
，对称轴为
，开口向上，
在
上单调递减，在
上单调递增，
要使二次函数
的两个零点都在区间
内，
需
，解得
故实数a 的取值范围是
故选：C
【对点精练9】
（2021 秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）已知函数
在定义域
上的值域
为
，则实数
的取值范围为____.
【解答】函数f（x）＝x2﹣2x 的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，
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当x≥1 时，函数为增函数，且
∴要使函数f（x）＝x2﹣2x 在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]
三、
总
课堂
结：
图
知识
谱
14
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、分
四
层训练：课堂知识巩固
1．（2023•黄浦区模拟）设
，若幂函数
定义域为
，且其图像关于
轴成轴对称，则
的值可以为
A．1
B．4
C．7
D．10
【解答】解：由于幂函数
定义域为
，且图像关于
轴对称，故幂函数是偶函数，
且
为正的偶数，
则
的值可以为7．
故选：
．
2．（2023•黄浦区校级模拟）如图所示是函数
，
均为正整数且
，
互质）的图象，则
15
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A．
，
是奇数且
B．
是偶数，
是奇数，且
C．
是偶数，
是奇数，且
D．
，
是奇数，且
【解答】解：由幂函数性质可知：
与
恒过点
，即在第一象限的交点为
，
当
时，
，则
，
又
图象关于
轴对称，
为偶函数，
，
又
，
互质，
为偶数，
为奇数．
故选：
．
3．（2022•衡水模拟）若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
又
幂函数
在
上为增函数，
，
，
故选：
．
16
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4．（2022•贵州模拟）已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
，
，
，
函数
在
上是增函数，
．
故选：
．
5．（2021•日照模拟）已知幂函数
的图象经过点
，则
A．
B．9
C．3
D．
【解答】解：因为幂函数
的图象过点
，
所以
，
，
，
所以
．
故选：
．
6．（2021•济南模拟）已知
，若
，则下列各式中正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，
则有
．
故选：
．
17
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7．（2020•武昌区模拟）已知点
在幂函数
的图象上，设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由幂函数的定义可知，
，
，
点
在幂函数
上，
，
，
幂函数解析式为
，在
上单调递增，
，
，
，
，
，
故选：
．
8．（2023•长宁区二模）当
，
时，幂函数
的图像总在
的图像上方，则
的取值范围
为
．
【解答】解：由
得，
，解得
，
当
时，幂函数
的图像总在
的图像上方，此时
，
，
，
的取值范围为：
．
故答案为：
．
9．（2023•黄浦区二模）若函数
的图像经过点
与
，则
的值为
81
．
【解答】解：
函数
的图像经过点
与
，
18
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，解得
，
即
的值为81．
故答案为：81．
10．（2022•黄浦区二模）已知
，
，
，
，1，2，
，若幂函数
在区间
上
单调递增，且其图像不过坐标原点，则
．
【解答】解：
．
若幂函数
在区间
上单调递增，且其图像不过坐标原点，
则
．
故答案为：
．
11．（2022•青浦区校级模拟）已知幂函数过点
，则函数的解析式是
．
【解答】解：设幂函数的解析式为
为常数），
过点
，
，
，
，
故答案为：
．
12．（2021•重庆模拟）已知幂函数
在
上单调递减，则
．
【解答】解：
幂函数
在
上单调递减，
，且
，
求得
，
故答案为：
．
19
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1．（2023•秀英区校级三模）设
，则
，
，
的大小顺序是
A．
B．
C．
D．
2．（2019•天津二模）已知点
在幂函数
的图象上，设
，
则
，
，
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
3．（2017•山西模拟）若幂函数
为
上的增函数，则实数
的值等于 ．
20
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