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2.6 指数与指数函数
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
2.6 指数与指数函数..............................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：根式.............................................................3
考点2：分数指数幂.......................................................3
考点3：指数幂的运算性质.................................................3
考点4：指数函数及其性质.................................................3
【常用结论归纳】.........................................................4
二、分类题型................................................................6
题型一 指数幂的运算......................................................6
题型二 指数函数的图象及应用..............................................8
题型三 指数函数的性质及应用.............................................12
命题点1 比较指数式的大小...........................................12
命题点2 解简单的指数方程或不等式...................................14
命题点3 指数函数性质的综合应用.....................................16
三、课堂总结：知识图谱.....................................................19
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................20
1
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一、主干知识
考点1：根式
(1)如果xn＝a，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n 为奇数时，＝a，
当n 为偶数时，＝|a|＝
考点2：分数指数幂
正数的正分数指数幂，
＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，
＝
＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义．
考点3：指数幂的运算性质
aras＝a r ＋ s ；(ar)s＝a rs ；(ab)r＝a r b r (a>0，b>0，r，s∈R)．
2
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考点4：指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R，a 是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0
，＋
∞
)
性质
过定点(0,1)，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时，y >1
；
当x<0 时，
0<
y <1
当x<0 时，y >1
；
当x>0 时，
0<
y <1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函
数
【常用结论归纳】
1、指数函数单调性的讨论：一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a
＞1，0＜a＜1 的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判
断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X 的增大，Y 值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X 的增大，内层函数的Y 值就在不断的减
小，而内层函数的Y 值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X 的增大时，内层函数
的Y 值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X 不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复
合函数的Y 值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则
若随着内层函数自变量X 的增大，内层函数的Y 值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X 不断增大，
又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y 值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
3
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4
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二、分类题型
题型一 指数幂的运算
【例题精析1】
（2023·全国·模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【解答】
．故选：A．
【例题精析2】
已知
，则
的值是（ ）
A．15
B．12
C．16
D．25
【解答】因为
，所以
，
又由立方差公式，
，故选：A．
【例题精析3】
化简
____________.
【解答】原式＝
＋2－3－2＋1＝214.故答案为：214.
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注
意：
5
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①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
（2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【对点精练1】
化简
的结果是______．
【解答】由题意得
.故答案为：
.
【对点精练2】
用分数指数幂表示下列各式：
(1)
＝____; (2)
＝____；(3)
＝____; (4)
＝____；(5)
＝____.
【解答】（1）
；（2）
=
；（3）
=
；（4）
；（5）
故答案为：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
.
【对点精练3】
计算：
的值．
【解答】
.
6
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题型二 指数函数的图象及应用
【例题精析4】
（2020·山东·统考高考真题）已知函数
是偶函数，当
时，
，
则该函数在
上的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】当
时，
，所以
在
上递减，
是偶函数，所以
在
上递增.注意到
，所以B 选项符合.故选：B
7
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【例题精析5】
（2023·广西南宁·统考二模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．.
【解答】
，函数定义域为
，
，函数为奇函数，排除BD；
，
，故
，排除A.
故选：C
（1）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、
伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
（2）有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
【对点精练4】
指数函数
与
的图象如图所示，则（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为函数
的图象是下降的，所以
；
又因为函数
的图象是上升的，所以
.故选：C.
【对点精练5】
已知函数
，若
的值域是
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数
和
的图象如下图所示：
由图可知，当
或
时，两图象相交，
若
的值域是
，以实数
为分界点，可进行如下分类讨论：
当
时，显然两图象之间不连续，即值域不为
；
同理当
,值域也不是
；
当
时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是
；
综上可知，实数
的取值范围是
.
故选：B
【对点精练6】
已知函数
（其中
）的图象如图所示，则函数
的图象大
致是（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
【解答】
的函数图象与
轴的交点的横坐标为
的两个根，
由
可得两根为a，b，
观察
的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间
与
上，
又∵
，∴
，
，
由可知，
当
时，
为增函数，
又由
得
的图象与y 轴的交点在x 轴上方，
分析选项可得C 符合这两点．
故选：C．
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题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
【例题精析6】
（2022·全国·统考高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】［方法一］：（指对数函数性质）
由
可得
，而
，所以
，
即
，所以
.
又
，所以
，即
，
所以
.综上，
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
11
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由
，可得
．根据
的形式构造函数
，则
，
令
，解得
，由
知
.
在
上单调递增，所以
，即
， 又因为
，所以
.故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
【例题精析7】
函数
（其中
，
）的图象恒过的定点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】令
，即
，得
，
函数
（其中
，
）的图象恒过的定点是
.故选：B.
【对点精练7】
（2023·江西南昌·统考二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】因为
，
，
，
所以
.
故选：C.
【对点精练8】
（2020·全国·统考高考真题）若
，则（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
【解答】由
得：
，
令
，
为
上的增函数，
为
上的减函数，
为
上的增函数，
，
，
，
，则A 正确，B 错误；
与的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到
的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
【例题精析8】
（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】对于A，
，当且仅当
时取等号，所以其最小值为，A 不符合
题意；
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对于B，因为
，
，当且仅当
时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为
，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为
，而
，
，当且仅当
，即
时取
等号，所以其最小值为
，C 符合题意；
对于D，
，函数定义域为
，而
且
，如当
，
，D 不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
【例题精析9】
已知函数
，则函数
零点的个数是__________．
【解答】解：令
，即
，解得
或
，
作出函数
的图象如图，
由图可知，方程
有个实数解，
有个实数解，且均互不相同，
所以，
的实数解有个，
所以，函数
零点的个数是个.
故答案为：
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【例题精析10】
（2023·山东青岛·统考模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】不等式
等价于
，
由
可推出
，
由
不一定能推出
，例如
时，
，但
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
【对点精练9】
（2023·全国·高三专题练习）设函数
则满足
的x 的取值范围
是______．
【解答】函数
的图象如图所示，
满足
可得
或
.
解得
.
15
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故答案为：
.
【对点精练10】
“
”是“
的一个（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】因为
在
上为增函数，故
，所以“
”是“
的充分必要条件.
故选：C
命题点3 指数函数性质的综合应用
【例题精析11】
写出一个同时具有下列性质①②的函数
______．
①
；②
在R 上为增函数．
【解答】指数函数满足
，且
，
时，函数单调递增，
所以满足条件的一个函数
.
故答案为：
（答案不唯一）
【例题精析12】
已知函数
是增函数，则实数
的取值范围是_____________．
【解答】由于
在
上递增，
所以
，即
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
【例题精析13】
已知不等式
对于
恒成立，则实数
的取值范围是__．
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【解答】设
，因为
，则
，
不等式
对于
恒成立，
等价于
，即
在
恒成立，
设
，
，令
，
（负舍），
则根据对勾函数的性质可知：
在
上为单调减函数，则
，
所以
，故实数
的取值范围是
，
故答案为：
.
【例题精析14】
若函数f (x)＝
有最大值3，则a＝________.
【解答】令
，则
.
因为
有最大值，所以
应有最小值
.
由此
，解得
故答案为：
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还
可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最
值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
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【对点精练11】
已知函数
，则函数
的值域为___．
【解答】设
，则
，此时
，
当
时，即
，函数取得最小值，此时最小值为
；
当
时，即
，函数取得最大值，此时最大值为
．
故答案为：
.
【对点精练12】
已知函数
(其中是常数)．若当
时，恒有
成立，则实数的
取值范围为_______．
【解答】
，令
，由于
，根据指数函数性质，
，
于是问题转化为：
时，
恒成立，下只需求
时
的最大值.
根据二次函数性质可知，当
时递减，
上递增，而端点
和
相比距离对称轴
更
远，
故
，于是
.
故答案为：
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三、课堂总结：知识图谱
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四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•沭阳县校级模拟）设
，那么
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
且
在
上是减函数．
指数函数
在
上是减函数
幂函数
在
上是增函数
故选：
．
2．（2022 秋•甘肃期末）下列等式一定成立的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，同底幂相乘，指数相加，故
错．
、同底幂相乘，指数相加，故
错．
、因为
，
，故
错．
、同底幂相除，指数相减．故
对，
故选：
．
20
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3．（2022•甲卷）已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
，
，
构造函数
，
，
，
，
，
在
单调递增，
（8），又因为
，
故
，
故选：
．
4．（2021•山东模拟）已知函数
的图象恒过定点
，则点
的坐标是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：依题意知，当
，即
时，函数
的图象恒过定点
，即
．
故定点
的坐标是
．
故选：
．
5．（2021•山东模拟）函数
的图象一定经过的点是
21
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：令
，求得
，且
，
故函数
且
恒过定点
，
故选：
．
6．（2021•未央区校级模拟）设
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，且
，因此
，排除
、
两项
又
函数
是
上的增函数
，可得
故选：
．
7．（2020•新课标Ⅲ）
模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据
建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
的单位：天）的
模型：
，其中
为
最大确诊病例数．当
时，标志着已初步遏制疫情，则
约为
A．60
B．63
C．66
D．69
【解答】解：由已知可得
，解得
，
两边取对数有
，
解得
，
故选：
．
22
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8．（2020•新课标Ⅰ）若
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
；
因为
，
所以
，
令
，由指对数函数的单调性可得
在
内单调递增；
且
（a）
；
故选：
．
9．（2020•九江二模）已知
，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于选项
：由指数函数
为减函数，且
，所以
，故选项
错误；
对于选项
：由幂函数
在
上为增函数，且
，所以
，故选项
正确；
对于选项
：由指数函数
为减函数，且
，所以
，故选项
错误；
对于选项
：由幂函数
在
上为增函数，且
，所以
，故选项
错误；
故选：
．
10．（2020 秋•徐汇区校级期中）若
，则
等于
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
23
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故选：
．
11．（2018 春•上杭县校级月考）已知向量
满足
．
【解答】解：根据条件：
；
．
故答案为：
．
1．（2022 秋•甘肃期末）下列等式一定成立的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，同底幂相乘，指数相加，故
错．
、同底幂相乘，指数相加，故
错．
、因为
，
，故
错．
、同底幂相除，指数相减．故
对，
故选：
．
2．（2021•南昌模拟）定义在
上的函数
为偶函数，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：定义在
上的函数
为偶函数，
则
，即
；
24
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所以
，
所以
，且在
，
上是单调减函数；
又
，
；
所以
（1）
，
即
．
故选：
．
3．（2021•未央区校级模拟）已知函数
，
，
的图象如图所示，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据函数的图象知，
函数
是指数函数，且
时，
；
函数
是幂函数，且
时，
，
；
函数
是对数函数，且
时，
，
；
综上，
、
、
的大小是
．
故选：
．
4．（2020 秋•玉林期中）已知
，
则化简的结果是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
25
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．
故选：
．
5．（2019 春•玉林期末）若函数
，满足
（1）
，则
的单调递减区间是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：由
（1）
，得
，于是
，因此
．
因为
在
，
上单调递增，
所以
的单调递减区间是
，
．
故选：
．
6．（2017•徐汇区校级模拟）已知函数
，在同一坐标系中，
与
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，在
轴上的截距为1，排除
；又因为
，排除
；
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、
中由直线可知
，
，当
时变为
，在
，
上为增函数，
故选：
．
1．（2017•徐汇区校级模拟）已知函数
，在同一坐标系中，
与
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，在
轴上的截距为1，排除
；又因为
，排除
；
、
中由直线可知
，
，当
时变为
，在
，
上为增函数，
故选：
．
2．（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象
称为衰变．假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中，其含量
（单位：太贝克）与时间（单位：年）
满足函数关系：
，其中
为
时铯137 的含量．已知
时，铯137 含量的变化率是
（太贝克年），则
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A．5 太贝克
B．
太贝克
C．
太贝克
D．150 太贝克
【解答】解：
，
，
．
．
故选：
．
3．（2021 秋•宛城区校级期中）已知
且
，
，当
时均有
，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：由题意可知，
在
上恒成立，令
，
，
由图象知：
时
，即
；
当
时，
，可得
．
或
．
故选：
．
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