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2.7 对数与对数函数
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
2.7 对数与对数函数..............................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：对数.............................................................2
考点2：对数函数.........................................................2
【常用结论归纳】.........................................................3
二、分类题型................................................................5
题型一 对数式的运算......................................................5
题型二 对数函数的图像及应用..............................................6
题型三 对数函数的性质及应用..............................................8
命题点1 比较指数式、对数式的大小....................................8
命题点2 解对数方程不等式............................................8
命题点3 对数性质的应用..............................................8
三、课堂总结：知识图谱.....................................................10
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................11
1
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一、主干知识
考点1：对数
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝
log
aN，其中a 叫做对数的
底数，N 叫做真数．
以10 为底的对数叫做常用对数，记作lg
N .
以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln
N .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，
＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；
log
②
a＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
考点2：对数函数
3．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1 时，y＝0
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，
y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，
y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0 且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0 且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．
2
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【常用结论归纳】
1．logab·logba＝1，
＝logab.
2．如图给出4 个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0 且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
4.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）
（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝
；（换底法）
（5）Alog
x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax 或t＝ax）（换元法）
5.指数函数与对数函数的联系与区别：
3
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4
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二、分类题型
题型一 对数式的运算
【例题精析1】
（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知
，且
，则
（ ）.
A．3
B．6
C．12
D．18
【例题精析2】
（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知
，且
，则
（ ）.
A．3
B．6
C．12
D．18
【例题精析3】
（2021 秋·高一课时练习）计算:
(1)
；(2)
.
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变
形应用．
【对点精练1】
（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知实数a，b 满足
，则
的最小
值是__________.
5
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【对点精练2】
（2023·天津和平·统考二模）设
，
，
，若
，
，则
的最大值为__________．
【对点精练3】
已知
，则
的值为_________．
【对点精练4】
已知
，则
______.
【对点精练5】
计算：
(1)
；(2)
题型二 对数函数的图像及应用
【例题精析1】
已知函数
（a，b 为常数，其中
且
）的图象如图所示，则下列结论正
确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例题精析2】
若函数
的值域为
，则函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
6
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C．
D．
【例题精析3】
函数
零点的个数（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【对点精练1】
已知函数
（
为常数，其中
）的图象如图所示，则下列结论成立
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练2】
已知
，且
，则函数
与
的图象只可能是（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
【对点精练3】
在同一平面直角坐标系中，函数
，
且
的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练4】
函数
的图象恒过定点A，且点A 在幂函数
的图象上，则
＝
________.
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式、对数式的大小
【例题精析1】
（2021•新高考Ⅱ）已知
，
，
，则下列判断正确的是
A．
B．
C．
D．
【例题精析2】
（2020•新课标Ⅲ）已知
，
．设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
命题点2 解对数方程不等式
【例题精析3】
不等式
的解集是
8
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A．
B．
C．
D．
，
，
【例题精析4】
方程
的解
．
命题点3 对数性质的应用
【例题精析5】
（2023•宝鸡二模）已知函数
，则
A．
在
单调递减，在
单调递增
B．
在
单调递减
C．
的图像关于直线
对称
D．
有最小值，但无最大值
【例题精析6】
（2023•五河县模拟）已知函数
，则下列说法中正确的是
A．函数
的图象关于原点对称
B．函数
的图象关于
轴对称
C．函数
在
，
上是减函数
D．函数
的值域为
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；
二是底数与1 的大小关系；三是复合函数的构成．
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【对点精练1】
（2021•天津）若
，则
A．
B．
C．1
D．
【对点精练2】
（2021•全国）已知
，则以下四个数中最大的是
A．
B．
C．
D．
【对点精练3】
（福建高考真题）若函数
且
的值域是
，
，则实数
的取值范围是 ．
【对点精练4】
（2022 秋•锦州期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星
等与亮度满足关系式
，其中星等为
的星的亮度为
．已知牛郎星的星
等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为
A．
B．
C．
D．
【对点精练5】
（2022 秋•南山区校级期末）函数
的定义域是
．
【对点精练6】
（2021 秋•连云港期末）方程
的解是 ．
【对点精练7】
（2020 秋•湘西州期末）函数
的定义域是 ．
【对点精练8】
（2023 春•滁州期中）函数
的值域为 ．
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三、课堂总结：知识图谱
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四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•辽阳二模）若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
2．（2022•天津）已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
3．（2022•新高考Ⅰ）设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
4．（2020•新课标Ⅲ）设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
5．（2021•天津）设
，
，
，则三者大小关系为
A．
B．
C．
D．
6．（2020•天津）设
，
，
，则
，
，
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
7．（2019•新课标Ⅰ）已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
8．（2019•天津）已知
，
，
，则
，
，
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
9．（2019•天津）已知
，
，
，则
，
，
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
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10．（2018•天津）已知
，
，
，则
，
，
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
11．（2018•天津）已知
，
，
，则
，
，
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
12．（2022•浙江）已知
，
，则
A．25
B．5
C．
D．
1．（2023•河南模拟）已知
，
，
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
2．（2022 秋•天河区期末）已知实数
，
．
满足
，
，
，则
，
，
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
3．（2022 秋•鼓楼区校级期末）已知
，
，则下列不等式正确的是
A．
B．
C．
D．
4．（2022 秋•东城区期末）记地球与太阳的平均距离为
，地球公转周期为
，万有引力常量为
，根据
万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量
．已知
，
，
，
由上面的数据可以计算出太阳的质量约为
A．
B．
C．
D．
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5．（2022•江西模拟）设
，
，
，则
，
，
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
6．（2021 秋•云南期末）已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
7．（2021 秋•赣州期末）若
，且
，则实数
的值为 ．
8．（2022 春•天心区校级期末）若函数
在区间
，
上是增函数，则
的取值
范围是 ．
9．（2021 秋•平罗县校级期末）已知
，则实数
的取值范围是 ．
1．已知两条直线
和
，
与函数
的图象从左到右相交于
、
，
与函数
的图象从左到右相交于
、
，记线段
和
在
轴上的投影长度分别为
，
，当
变化时，
的最小值为
A．
B．
C．
D．
2．如图，已知过原点
的直线与函数
的图象交于
，
两点，分别过
，
作
轴的平行线与
函数
图象交于
，
两点，若
轴，则四边形
的面积为 ．
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3．函数
满足
，且
，
均大于，
，则
的最小值为 ．
4．设
，则
的定义域为 ．
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