文档文本内容
第 01 讲 平面向量的概念、线性运算及坐标运算
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
向量垂直的坐标表示
2023年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示
利用向量垂直求参数
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 数量积及向量夹角的坐标表示
数量积的坐标表示
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分 坐标计算向量的模 逆用和、差角的余弦公式化简、求
值二倍角的余弦公式
向量加法的法则
2020年新Ⅱ卷，第3题,5分 无
向量减法的法则
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4理解向量的线性运算性质及其几何意义
5会向量间的坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习知识讲解
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算 结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b的和的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，
λa与a的方向相同；当 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a
求实数λ与向量a的
数乘 λ<0 时，λa 与 a 的方向 ＝λa＋μa；
积的运算
相反；当λ＝0时，λa＝ λ(a＋b)＝λa＋λb
0
1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应
抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，
用向量共线定理求解则更加简洁．
（1）若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（2）P为线段AB的中点⇔OP＝(OA＋OB)．
4.向量的坐标运算
（1）两点间的向量坐标公式：
， ， 终点坐标 始点坐标
（2）向量的加减法
， ，
（3）向量的数乘运算
，则：
（4）向量的模
，则 的模
（5）相反向量
已知 ，则 ；已知
（6）单位向量
（7）向量的平行关系
， ，
考点一、 平面向量基本概念的综合考查
1．（辽宁·高考真题）已知点 则与 同方向的单位向量为A． B． C． D．
2．（福建·高考真题）对于向量 和实数 ，下列命题中真命题是( )
A．若 ，则 或 B．若 ，则 或
C．若 ，则 或 D．若 ，则
1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量 ，必有
D．若 满足 且 与 同向，则
2．（2023·北京大兴·校考三模）设 ， 是非零向量，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 二 、 平面向量线性运算的综合考查
1．（2020·新高考全国2卷·高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．（安徽·高考真题）若 ， , 则 （ ）
A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）
3．（北京·高考真题）已知 是 所在平面内一点， 为 边中点，且 ，那么（
）
A． B．
C． D．
4．（上海·高考真题）在平行四边形 中，下列结论错误的是（ ）
A． B．C． D．
5．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，
则 等于
A． B． C． D．
6．（四川·高考真题）如图，正六边形 中， （ ）
A． B． C． D．
1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体 中，化简 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·统考二模）设 是平行四边形 的对角线的交点，则
（ ）
A． B． C． D．
考点 三 、 平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合
考查
1．（宁夏·高考真题）平面向量 ， 共线的充要条件是
A． ， 方向相同B． ， 两向量中至少有一个为零向量
C． ，
D．存在不全为零的实数 ， ，
2．（山东·高考真题）已知向量 、 满足 ， ， ，则一定共线的三
点是
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
3．（海南·高考真题）平面向量 ， 共线的充要条件是（ ）
A． ， 方向相同 B． ， 两向量中至少有一个为零向量
C． ， D．存在不全为零的实数 ， ，
4．（广东·高考真题）已知平面向量 ， ，且 ，则 等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
5．（福建·高考真题）已知向量 ， ，且 ，则 ．
6．（全国·高考真题）已知向量 ， ， ．若 ，则 ．
1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量 ，若 ，则实数
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2023·江苏盐城·统考三模）已知 是平面四边形，设 ： ， ： 是梯形，则 是
的条件（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量 ， ，
，若A，B，C三点共线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知向量 ， ， ．
若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设向量 不平行，向量 与 平行，则实数 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山西临汾·统考一模）已知 ， 为不共线的非零向量， ， ，
，则（ ）
A． ， ， 三点共线 B． ， ， 三点共线
C． ， ， 三点共线 D． ， ， 三点共线
7．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则 D． 恒成立
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·河北·高三学业考试）化简 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三对口高考）如图正六边形 中， （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北·高三学业考试）如图，正六边形 中， （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：①若 ，则 ；
②若 ，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；
③若 ，则 ；
④若 ， ，则 ；
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段 ，则向量
B．若向量 ，则线段
C．若向量 与 共线，则线段
D．若向量 与 反向共线，则
三、填空题
6．（2023·河南·统考二模）已知 不共线，向量 ， ，且 ，则 ．
7．（2023·海南·校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，若点 ， ，
三点共线，则实数 ．
8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测） ， 是两个不共线的向量，已知 ，
， 且 三点共线，则实数 .
9．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 是两个不共线的非零向量，若向量 与 的方向相反，
则 .
10．（2023·全国·高三对口高考）已知 ，则与向量 平行的单位向量的坐标为 ．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 三点共线，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点， ，若 、 ，则与 共线的
单位向量为（ ）
A． B． 或C． 或 D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若 都为非零向量，则“ ”是“ 与 共线”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知 为单位向量，则“ ”是
“存在 ，使得 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 与 的方向相同或者相反
B．若 ， 为非零向量，且 ，则 与 共线
C．若 ，则存在唯一的实数 使得
D．若 ， 是两个单位向量，且 ．则
6．（2023·河北·校联考三模）对于平面内 个起点相同的单位向量 ，若每个向
量与其相邻向量的夹角均为 ，则 与 的位置关系为（ ）
A．垂直 B．反向平行 C．同向平行 D．无法确定
二、填空题
7．（2023春·安徽滁州·高三校考开学考试）已知向量 ， ，且 ，则
.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，若向量 ，且 与 的夹角为钝
角，写出一个满足条件的 的坐标为 ．
9．（2023·广西玉林·统考三模）记数列 的前n项和为 ，已知向量 ， ，若 ，
且 ，则 通项为 ．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ．若 ，则 = ．
