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第 01 讲 平面向量的概念及其线性运算(分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河南郑州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D．单位向量都相等
2．（2023春·江苏淮安·高一校考阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、
B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量 外，与
向量 共线的向量共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
3．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设 是非零向量， 分别是 的单位向
量，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． 或
C． D．
4．（贵州省贵阳市三新改革联盟校2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题）
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）如图，在正六边形 中， （ ）A． B． C． D．
6．（2023春·山东潍坊·高一校考阶段练习）对于任意两个向量 和 ，下列命题中正确的是（ ）
A．若 满足 ，且 与 同向，则
B．
C．若 ，则存在唯一的实数 ，使
D．
7．（2023·全国·高一专题练习）设 是两个非零向量（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则存在实数 ，使得
D．若存在实数 ，使得 ，则
8．（2023·山东聊城·统考一模） 是 内的一点，若 ， ，则
（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
9．（2022秋·辽宁·高一辽阳市第一高级中学校联考期末）设 ， 是两个非零向量，则下列描述错误的有
（ ）
A．若 ，则存在实数 ，使得 .
B．若 ，则 .
C．若 ，则 ， 反向.
D．若 ，则 ， 一定同向
10．（2023春·河北石家庄·高一校联考阶段练习）在 中，M，N分别是线段 ， 上的点，
与 交于P点，若 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题11．（2022春·湖北·高一校联考期中）给出下列命题：①若 ， 同向，则有 ；②若 ， 不
共线，则有 ；③ 恒成立；④对任意两个向量 、 ，总有 ；其中正
确的命题是__________（填序号）．
12．（2023·全国·高一专题练习）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示
的正五角星中， ， ， ， ， 是正五边形的五个顶点，且 ，若 ，则
__________（用 表示）.
四、解答题
13．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）已知向量 不共线，且 ， ，
．
(1)用 表示 ；
(2)若 ，求 的值，
14．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知平面向量 不共线，由平面向
量基本定理知，对于该平面内的任意向量 ，都存在唯一的有序实数对 ，使得 .
(1)证明： 三点共线的充要条件是 ；
(2)如图， 的重心 是三条中线 的交点，证明：重心为中线的三等分点.B能力提升
1．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期高考适应性测试数学试题）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇
天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，
由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口 ，下
列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量为
2．（2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中）如图， 中， ，CD与BE交于
F，设 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·浙江宁波·高一校联考期中）在 中， 在射线 上，且满足
，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）如图矩形ABCD， ， ，AC与EF交于点
N．(1)若 ，求 的值；
(2)设 ， ，试用 ， 表示 ．
5．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）（1）已知向量 ， 不共线，向量 ，
， ，若A， ， 三点共线，求实数 的值；
（2）已知 ， ， ，求 ．
