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第 01 讲 平面向量的概念及其线性运算(精讲）
目录
第01讲 平面向量的概念及其线性运算(精讲）...........................1
第一部分：知识点必背................................................2
1、向量的有关概念................................................2
2、向量的线性运算................................................2
2.1向量的加法.................................................2
2.2向量的减法.................................................2
2.3向量的数乘.................................................3
第二部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：平面向量的概念.......................................4
角度1：平面向量的概念与表示...................................4
角度2：模.....................................................6
角度3：零向量与单位向量......................................10
角度4：相等向量..............................................12
高频考点二：向量的线性运算......................................16
角度1：平面向量的加法与减法..................................16
角度2：平面向量的数乘........................................18
高频考点三：共线向量定理的应用..................................22
第三部分：数学文化题...............................................29
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1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量 或 ；模 或 .
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作 .
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用 表示.
特别的：非零向量 的单位向量是 .
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量， 与 共线可记为 ；
特别的： 与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作 .
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作 .
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量
，我们规定 .
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量 , ,在平面内任取一点 ,作 , ,则向量 叫做 与 的和,记作 ,即
.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量 , ,作 , ,以 , 为邻边作 ,则以 为起点的向量 (
是 的对角线)就是向量 与 的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法
则.
2.2向量的减法①定义：向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 .
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量 , ,在平面内任取一点 ,作 , ,则向量 .如图所示
如果把两个向量 , 的起点放在一起,则 可以表示为从向量 的终点指向向量
的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数 与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 .它的长度与方向规
定如下：
①
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，
.
3、共线向量定理
①定义：向量 与非零向量 共线，则存在唯一一个实数 ， .
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意 ；特别地，若 ，实数 仍存
在，但不唯一．
4、常用结论
4.1向量三角不等式
①已知非零向量 ， ，则 （当 与 反向共线时左边等号成立；当 与 同
向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量 ， ，则 （当 与 同向共线时左边等号成立；当 与 反
向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如
中， 中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：
中 中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成
立；
4.2中点公式的向量形式：
若 为线段 的中点， 为平面内任意一点，则 .
4.3三点共线等价形式：
（ ， 为实数），若 ， ， 三点共线第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量的概念
角度1：平面向量的概念与表示
典型例题
例题1．（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）关于向量 ， ，下列命题中，正确
的是（ ）．
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ，则
例题2．（2023春·陕西西安·高一西安市第六中学校联考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
①有向线段三要素是始点、方向、长度；
②向量两要素是大小和方向；
③同向且等长的有向线段表示同一向量；
④在平行四边形 中， ．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
例题3．（多选）（2023春·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（
）
A．单位向量都相等 B．对于任意向量 ， ，必有
C．平行向量不一定是共线向量 D．若 ， 满足 且 与 同向，则
练透核心考点
1．（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若 与 是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
2．（2023·全国·高一专题练习）给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．（2023春·浙江杭州·高一杭州市西湖高级中学校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相
等的非零向量，其终点必相同；②若 ，则 与 的方向相同或相反；③若 ，且 ，则 ；④
若 ，则 ．其中，正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
角度2：模
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）正方形 的边长为1，则 为（ ）
A．1 B． C．3 D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）对于非零向量 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例题3．（2023·高一课时练习）如图，在长方体 中， ， ， ，以长方
体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；
（2）模为 的向量有______；
（3）与 相等的向量有______；
（4） 的相反向量有______．
例题4．（2023·全国·高一专题练习）已知等腰 的直角边长为1， 为斜边 上一动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
练透核心考点
1．（2023春·北京朝阳·高一校考阶段练习）已知 ， ， ，则 （ ）．
A．1 B．2 C．3 D．2或者6
2．（2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，
， ，则 ______．3．（2023·全国·高一专题练习）已知 为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）
① ；② ；③ ；④ .
4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点
（包括边界），O，A在格点上，则 的最小值是____________；最大值是____________.
角度3：零向量与单位向量
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例题2．（2023春·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）如果 ， 是两个单位向量，则下列
结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（2023春·山东潍坊·高一山东省潍坊第四中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（
）
A．若 ，则
B．若 与 共线，则 或
C．若 为单位向量，则
D． 是与非零向量 共线的单位向量练透核心考点
1．（2023春·贵州贵阳·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．在正方形 中,
B．已知向量 ,则A,B,C,D四点必在同一条直线上
C．零向量可以与任一向量共线
D．零向量可以与任一向量垂直
2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）下列说法中不正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为1的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等
3．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量 与向量 的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的大小为0，没有方向
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
4．（2023·全国·高一专题练习）给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量
的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
角度4：相等向量
典型例题
例题1．（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考阶段练习）对于向量 、 ，“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题2．（多选）（2023春·广东揭阳·高二校考阶段练习）如图，在四边形 中，若 ，
则图中相等的向量是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
例题3．（2023·高一课时练习） 是正方形 对角线的交点，四边形 ， 都是正方形，在如图所示的向量中：
（1）分别找出与 ， 相等的向量；
（2）找出与 共线的向量；
（3）找出与 模相等的向量；
（4）向量 与 是否相等？
例题4．（2023·高一课时练习）窗，古时亦称为船牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中
是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD
是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形 ，且 、 、 、 分别是 、 、 、
的中点，则与 相等的向量为________， 的负向量为________．
练透核心考点
1．（2023春·天津滨海新·高一天津经济技术开发区第一中学校考阶段练习）下列叙述中正确的个数是：（
）
①若 ，则 ；②若 ，则 或 ；③若 ，则 ④若 ，则
⑤若 ，则
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且 ， ， ．在
以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与 相等的向量有哪些？（2） 的相反向量有哪些？
（3）与 共线的向量有哪些？
3．（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与 共线的向量；
（2）写出与 的模大小相等的向量；
（3）写出与 相等的向量.
高频考点二：向量的线性运算
角度1：平面向量的加法与减法
典型例题
例题1．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）设 为 对角线的交点， 为
任意一点，则 （ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·浙江金华·高一校考阶段练习）设点 ， ， 分别是 的三边 ， ，
的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）下列四式可以化简为 的是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）如图， ， ， ， 分别是梯形 的边 ，
， ， 的中点， ， ， ， ，用 ， 表示下列各式．(1) ；
(2) ．
练透核心考点
1．（2023春·福建南平·高一校考阶段练习） （ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）下列各式中不能化简为 的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）化简 所得的结果是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）化简下列各式：
(1) ；
(2) ．
角度2：平面向量的数乘
典型例题
例题1．（2023·江苏南通·二模）在平行四边形 中， ， ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）若 在线段 上，且 ，则（ ）
A． B．C． D．
例题3．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知等腰直角三角形 中， ， ，
分别是边 ， 的中点，若 ，其中 ， 为实数，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
例题4．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦
图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼
成的一个大正方形，如图所示.在赵爽弦图”中若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
练透核心考点
1．（2023·北京西城·统考一模）已知 为 所在平面内一点， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）在 中 ，点D满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）如图，在直角梯形 中， ， 与 交
于点 ， ，则（ ）A． B．
C． D．
4．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在 中， ，若
，则 __________．
高频考点三：共线向量定理的应用
典型例题
例题1．（2023春·湖北十堰·高一校考阶段练习）如图所示，在 中，点 是 的中点，过点
的直线分别交直线 、 于不同的两点 、 ，若 ， ，则 的最小值
为（ ）
A．2 B．3 C． D．5例题2．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）在 中， ，
， 与 相交于点 ，设 ，
(1)用 ， 表示 ；
(2)过 点作直线 分别与线段 ， 交于点 ， ，设 ， ，求 的最小
值.
例题3．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考阶段练习）如图所示，在 中， ， 分别是
， 的中点， ．
(1)用 表示 ；
(2)求证： ， ， 三点共线．例题4．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图，在 中， ，
，直线 与直线 交于点 .
(1)若点 满足 ，证明 ， ， 三点共线；
(2)设 ， ，以 为基底表示 .
练透核心考点
1．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直
线分别交射线 于不同的两点 .设 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）已知点G在 内部，且 ，
(1)求证：G为 的重心；
(2)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设 ，求 的最小值.3．（2023春·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）设两个非零向量 ， 不共线．
(1)若 ， ， ，求证： ， ， 三点共线；
(2)若 与 共线，求 的值．
4．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）如图，在长方形 中，E为边DC的中点，F为
边BC上一点，且． ，设 ， ．
(1)试用基底 ， ，表示 ， ， ；
(2)若G为长方形 内部一点，且 ，求证：E，G，F三点共线．第三部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三校联考阶段练习）黄金分割〔 〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具
有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取 ，就像圆周率在应用时取
一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主
题，大多在画面的 处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的 处，能使琴声更加柔和甜美.黄金
矩形 的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边 倍.黄金分割率和黄金
矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是
一个很好的例子，达 芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩
形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯
首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于
另一部分对于该部分之比，黄金分割比为 其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古
希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形 中， ， 相交于点 ， ，
， ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个
非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以 为顶点的
多边形为正五边形，且 ，则（ ）A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀
算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为 （勾）和 （股）时，径隅（弦）则
为 ”，故勾股定理也称为商高定理.现有 的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾 的长为 ，点
在弦 上的射影为点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高二校联考开学考试）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为
《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的
正方形）.类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形
拼成的一个大等边三角形，且 ，点M为 的中点，点P是 内（含边界）一点，且
，则 的最大值为__________.
