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第 05 讲 函数的图象
目录
第一部分：题型篇....................................................2
题型一：重点考查根据图象变换规律画函数图象.......................2
题型二：重点考查根据解析式选择图象..............................10
题型三：重点考查根据函数图象选择解析式..........................15
题型四：重点考查利用动点研究函数图象............................22
题型五：重点考查函数图象与零点（方程的根）......................30
题型六：重点考查函数图象与不等式................................37
第二部分：方法篇...................................................44
方法一：函数图象识别中的特殊值法、单调性法、奇偶性法............44
方法二：函数图象识别中的零点法、极值点法........................49
方法三：函数图象识别中的极限法..................................55
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：题型篇
题型一：重点考查根据图象变换规律画函数图象
典型例题
例题1．（2023春·安徽·高一淮北一中校联考开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，作出 的草图，并写出 的单调区间；
(2)当 时，解不等式 ；
【答案】(1)作图见解析，单调递减区间为 ，单调递增区间为 、
(2)
【详解】（1）解：当 时， ，
作出函数 的图象如下图所示：由图可知，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 、 .
（2）解：当 时， ，
则连续函数 在 、 上均为增函数，故函数 在 上为增函数，
因为 ，所以， ，
由 可得 ，
所以， ，可得 ，解得 ，
因此，原不等式的解集为 .
例题2．（2023·高一课时练习）根据函数 的图像，画出下列函数的图像．
（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】见解析
【详解】（1）函数 的图像与 的图像关于 轴对称
（2）函数 的图像与 的图像关于直线 对称
（3）将 的图像位于 轴左侧的图像去掉，
再将 轴右侧的图像对称过来，例题3．（2023·高一课时练习）画出函数 的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．
【答案】作图见解析；函数 的单增区间为 ，单减区间为 ，值域是 ．
【详解】解：函数 是由函数 向右平移一个单位得到的，显然， 是偶函数，先
画出 的图像，再作出其关于 轴对称的图象，即可得到 的图像，再向右平移一个
单位即得到 的图像，如下图所示：
由图象可知，函数 的单增区间为 ，单减区间为 ，值域是 ．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）分别画出下列函数的图象：
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【详解】(1)首先作出y＝lgx的图象C ，然后将C 向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C ，再把C
1 1 2 2
在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C ：y＝|lg(x－1)|,如图1所示(实线部分).
3(2) 的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得 的图象，再向下平移一个单位得到，
如图2所示.
(3) 第一步作y＝lgx的图像．
第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像．
第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像
第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，
得 的图像，如图3．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于 的方程 有四个
根，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【详解】由 ，得
令 ，画出图像由图可知，当 时，方程 有四解，
即方程 有四个根.
故答案为:
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）作出下列函数的图象：
(1) ；
(2)
(3) ；
(4)y＝x2－2|x|－1.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）见解析
【详解】(1)先作出 的图象，保留 图象中x≥0的部分，再作出 的图象中 部分，
即得 的图象，如图①实线部分．(2)将函数 的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数
的图象，如图②.
(3)∵ ，
故函数图象可由 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.(4)∵ ，且函数为偶函数，
先作出[0，＋∞)上的函数图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的函数图象，如图④.
2．（2023·高一课时练习）（1）函数 与 的图象之间有什么关系？
（2）已知函数 的图象如图所示，画出下列函数的图象：
① ； ② ；
③ ； ④ .【答案】（1）函数 与 的图象关于y轴对称.
（2）答案见解析.
【详解】函数 与 的图象关于y轴对称.
理由如下：在 上任取一点 ，所以 ，可得点 在 的图象上，点
和点 关于y轴对称，所以函数 与 的图象关于y轴对称.
（2）① ，如图1
② ，如图2
③ ，如图3④ ，如图4
3．（2023·全国·高三专题练习）方程 有不同的四个解，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】∵方程 有不同的四个解，
∴函数 与 有四个交点，
作出函数 与 的图象，由图可得 ，
∴实数 的取值范围是 .
故答案为： .
题型二：重点考查根据解析式选择图象
典型例题
例题1．（2023·天津·统考二模）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：函数 的定义域为 ,又 ，故函数 为奇函数，排除A,B.
又 ，故排除D，选C.
故选：C.
例题2．（2023·河南开封·统考三模）函数 在 上的图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以 为奇函数，故排除C；
当 时，令 ，则 或 或 ，
由图可知，A符合，D不符合；
又 ，故排除B；
故选：A.
例题3．（2023·河南·校联考模拟预测）函数 的图像大致是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】由 ，又 ，可知 为偶
函数，排除B；
因为 ，可排除D，
又由 ，可排除C.
故选:A
例题4．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数 的定义域为 ， 又 ，
故 为偶函数，函数图象关于 轴对称，故排除B、D；
又当 时 ，则 ，
所以当 时 ，函数单调递减，当 时 ，函数单调递增，
且 ， ，故排除C；
故选：A
精练核心考点1．（2023·四川遂宁·统考三模）函数 的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】 ，则 的定义域为R，
又 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
当 时， ，故排除A.
故选：B.
2．（2023·全国·模拟预测）函数 的部分图象为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，令 ，解得 或 ，
所以 的定义域为 ，
又 ，所以 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；
当 时， ，或当 ，即 时， ，故排除D.
故选：A.
3．（2023·全国·模拟预测）函数 的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 的定义域为 ，
，故 为奇函数，
其图象关于原点对称，排除B，D；
又 时， ， ， ，故 ，排除A．故选：C．
4．（2023秋·云南·高一校联考期末）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】若函数有意义，则 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ；
因为 ，所以 ；
所以 为定义域上的偶函数，图像关于 轴对称，可排除选项A，C；
当 时, ,排除选项B．
故选：D．
题型三：重点考查根据函数图象选择解析式
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）已知函数 的图像如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【详解】对于B和D，因为 为偶函数，所以 和 都是偶函数，它们的图象
都关于 轴对称，故B和D都不正确；
对于C，由于 在 上为增函数，且 ，所以 在 上为减函数，由图可知，C
不正确；
故只有A可能正确.
故选：A
例题2．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，则 的解
析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于A， 的定义域为 ，所以 ，所以
为奇函数；
.
对于B， 的定义域为 ，所以 ，所以 为偶函数；
对于C， 的定义域为 ，所以 ，所以 为奇函数；
对于D， 的定义域为 ，所以 ，所
以 为偶函数；
由图可知， 的图象关于原点对称，排除B，D，当 时， .
故选：A.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时
难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数
解析式的特征．已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由函数图象可知 ，而 ，故排除C；
而D中 ，故排除D；
其对应的函数的图象关于原点对称，所以 为奇函数，
对于B， ， ，所以 为偶函数，故B错误；
对于A， ， ，且 ，
故A正确；
故选：A.
例题4．（多选）（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）如图所示为函数 的图像，则其解析式可
能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】由题图可得函数的定义域为 ，且为偶函数，选项 中的函数为奇函数，故 选项
错误；
对于 选项，定义域为 ，且 ，是偶函数，当 时，
，令 得 函数 在 上只有一个零点，又
，与图像不符，故 选项错误；
对于B选项，定义域为 ，且 ，是偶函数，
当 时， ，令 得 函数 在 上只有一个零点，当 1
时， ，满足图象，故 选项正确；
对于 选项，定义域为 ，且 ，是偶函数，
当 时， ，满足图象，故 选项正确.
故选:BC.
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】对于A， ，
又 的定义域为 ，
为 上的奇函数，图象关于原点对称，与已知图象相符；
当 时， 为增函数， 为增函数，又 在 上单调递增，
由复合函数单调性可知： 在 上单调递增，
又 ，
在 上单调递减，与已知图象不符，A错误；
对于B，由 得： ， 的定义域为 ，与已知图象不符，B错误；
对于D， ，
不是奇函数，图象不关于原点对称，与已知图象不符，D错误.
故选：C.
2．（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的
大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A：设 ，由 得 ，
则 ，结合图形，不符合题意，故A错误；
B：设 ，则 ，结合图形，不符合题意，故B错误；
C：设 ，当 时， ， ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，结合图形，不符合题意，故C错误；
D：设 ，则 ，
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，且 ，
故存在 ，使得 ，
所以当 时 ，即 ，当 时 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，结合图形，符合题意，故D正确.
故选：D.
3．（2023·浙江温州·统考二模）某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】4个选项函数定义域均为R，对于A, ，故 为
奇函数，且
对于B, 故 为奇函数， ，
对于C, ,故 为偶函数，
对于D， 故 为奇函数， ，
由图知为奇函数，故排除C；由 ，排除A,由 ，排除D,故选：B．
4．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）若某函数在区间 上的大致图像如图所示，则该函数的解析
式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A选项，设 ，则当 时， ，
则 ，不符合图像，排除A；
C选项，设 ，当 时， ，且 ， ，
，所以 ．
所以 ，不符合图像，排除C；
D选项，设 ，令 ，解得 或 ，与图像不符，排除D.
故选：B．
题型四：重点考查利用动点研究函数图象
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，点
沿着边 ， 与 运动，记 .将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则
的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由已知得,当点P在BC边上运动时,即 时, ；
当点P在CD边上运动时,即 时, ,当 时,
；
当点P在AD边上运动时,即 时, .
从点P的运动过程可以看出,轨边关于直线 对称,且 ,且轨迹非线型，对照四个选项，排
除A、C、D，只有B符合.
故选：B.
例题2．（2023·高一课时练习）一只蚂蚁从正方形的一个顶点 出发，沿着正方形的边逆时针运动一周
后回到 点，假设蚂蚁运动过程中的速度大小不变，则蚂蚁与点 的距离 随时间 变化的大致图象为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】设蚂蚁的速度为 ，正方形的边长为 ，则 ，
当蚂蚁位于线段 上，即 时， ，其图象为线段；
当蚂蚁位于线段 上，即 时， ，其图象为曲线；
当蚂蚁位于线段 上，即 时， ，其图象为曲线；
当蚂蚁位于线段 上，即 时， ，其图象为线段；
结合选项可知：选项A符合题意，
故选：A.
例题3．（2023·北京·统考模拟预测）《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．
斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角
面 截正方体可得两个壍堵，再沿平面 截壍堵可得一个阳马（四棱锥 ），一个鳖
臑（三个棱锥 ），若 为线段 上一动点，平面 过点 ， 平面 ，设正方体棱长为 ，
， 与图中鳖臑截面面积为 ，则点 从点 移动到点 的过程中， 关于 的函数图象大致是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设 、 分别为截面与 、 的交点， ， ，平面 ， 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以， ，同理可得 ， ，
所以， ，
所以， ，易知 ，
因此， .
故选：B.
例题4．（2023·上海青浦·统考二模）已知函数 的图像绕着原点按逆时针方向旋
转 弧度，若得到的图像仍是函数图像，则 可取值的集合为________.
【答案】
【详解】画出函数 的图象，如图1所示：
圆弧所在的圆方程为 ， ， ，在图象绕原点旋转的过程中，当 从图1的位置旋转到 点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：
此时绕着原点旋转弧度为 ；
若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点 在 轴上方，点 在 轴下方时，根据函数的定义知，
所得图形不是函数的图象，如图3所示：
此时转过的角度为 ，不满足题意；
若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在 轴下方时，根据函数的定义知，所得图形
是函数的图象，如图4所示：
此时转过的角度为 ；
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体 的棱长为 ， 为棱 上的动点（端点 、 除
外），过点 作平面 垂直于 ， 与正四面体的表面相交．记 ，将交线围成的图形面积 表示
为 的函数 ，则 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】取线段 的中点 ，连接 、 ，
因为 、 为等边三角形， 为 的中点，则 ， ，
， 、 平面 ， 平面 ，
因为 平面 ，所以，平面 与平面 平行或重合，
且 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
且 ，故 .
①当 时，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ， ，同理可知， ， ，
所以， ，故 ，
如下图所示：
则 ，则 ；
②当 时， ；③当 时，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ， ，同理可知， ， ，
所以， ，故 ，
如下图所示：
则 ，则 .
综上所述， ，故函数 的图象如C选项中的图象.
故选：C.
2．（2023秋·高一单元测试）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A
－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】根据题意可得，当 时（如图1所示），S APM＝ = x；
△
当 时（如图2所示），S APM＝S ABCM－S ABP－S PCM
梯形
△ △ △
＝ ；
当 时（如图3所示），S APM＝ ，
△
∴
根据函数解析式，结合图形，可知选项A符合，
故选A．
3．（2023秋·河北石家庄·高一统考期末）数学中常用记号 表示p，q两者中较大的一个，用
表示p，q两者中较小的一个，若函数 的图象关于 对称，则t的值为
（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【详解】对于 ，易得其图像关于 轴对称；
对于 ，易得其图像关于 对称；
如图，在同一个坐标系中做出两个函数 与 的图象，则函数 的图象为两个图象中较低的一个，
结合图像可知 的图象关于直线 对称，
所以要使函数 的图象关于直线 对称，
则 ，故 ．
故选：D.
题型五：重点考查函数图象与零点（方程的根）
典型例题
例题1．（多选）（2023春·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知函数 且方程
的6个解分别为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】 ，整理得到 ，
故 或 ，
画出 的图象，如下：显然 有三个根，分别为 ，
有三个根，分别为 ， ， ， ，
A选项，数形结合得到 ，A错误；
B选项，由于 ， ，故 ，故B错误；
C选项，由 得 ，由 ，得到 ，故 ，C正确；
D选项，因为 ， ，故 ，D正确.
故选：CD
例题2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数 ，若关于 的方程
有三个互不相等的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】作出函数 的图象如下图所示，直线 恒过点 ，
当 过点 时，解得 ，此时直线 与 有两个交点，故关于 的方程
有两个互不相等的实根；
将 代入 得 ，当 时，直线与抛物线只有一个交点，则
，解得 或 ，
当 时，解得 ，不满足 ，则应舍去，即 ，所以实数k的取值范围是 .
故选： .
例题3．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知 ，则关于 的方
程 有6个互不相等的实数解的充要条件为___．
【答案】 且
【详解】因为 ，
定义域为 ，所以 为偶函数.
当 时， ，
画出 在 上的图象，
利用偶函数的对称性，易得f（x）在其定义域上的图象（如图所示）.
由图象可知，当 时， 有两个解；当 时， 有四个解.
设 ，则原方程变为 ，
所以原方程有6个不同的实数解的充要条件是
方程 的两根 满足 且 .
又 时， ，且 ，
而 ，则问题等价于 ，
所以 且 ．
故答案为： 且 ．
例题4．（2023·天津·校联考一模）已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时，
，若关于 的方程 有且仅有6个不同的实数根，
则实数 的取值范围是________．
【答案】
【详解】关于 的方程 有且仅有6个不同的实数根，设 ，
则当 ，方程 有 个根，
当 ，方程 有 个根，
当 或 ，方程 有2个根，
当 ，方程 有4个根，
当 ，方程 有0个根；
则 必有两个根 、 ，有两种情况符合题意：
① ，且 ，
此时 ，
则 ；
② ， ，
此时 ，
综上可得 的范围是 ，故答案为： ．
精练核心考点
1．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）已知 是定义在R上的奇函数，当 时，
，若函数 是偶函数，则下列结论不正确的为（ ）
A． B． 的最小正周期
C． 有4个零点 D．
【答案】D
【详解】对于A：由题意可得： ，解得 ，故A正确；
对于B：∵ 是偶函数，则 ，则 ，
又∵ 为奇函数，则 ，可得 ，
∴ ，则 的最小正周期 ，故B正确；
对C：令 ，则 ，
注意到此时 ，分别作出 的图象，
由图象可知： 有4个交点，故 有4个零点，
故C正确；
对D：∵ ，
则 ，
可得 ，故D不正确.
故选：D.2．（2023春·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）设函数 ，若
关于 的方程 且 在区间 内恰有 个不同的根，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 在区间 内恰有 个不同的根等价于 与 在 内有且
仅有 个不同的交点，
当 时，作出 与 大致图象如下图所示，
若 与 在 内有且仅有 个不同的交点，则 ，
又 ， ， ，解得： ；
当 时， 在 上恒成立， 在 上恒成立，
与 在 上有且仅有 一个交点，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故选：A.
3．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知函数 ， 在 ，且
上有 个交点 则 （ ）
A．0 B． C．2m D．2017
【答案】C
【详解】因为 ，关于点 对称，函数 ，关于点 对称，
作出函数 与 大致图象，由图可知交点成对出现，因为两个函数都关于 对称，
所以每对交点关于点 对称，每对交点横坐标和为 ，纵坐标和为 ，
所以 .
故选：C.
4．（2023春·浙江杭州·高一校考阶段练习）已知函数 .
(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数 的图象，并写出单调增区间；
(2)方程 有四个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见详解；
(2) .
【详解】（1）当 时， ；当 时， ，
所以， .
作出函数 的图象如下图由图像可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调
递增.
（2）
如图2，作出函数 与直线 的图象.
由图2知，当 时，直线 与 有4个交点，即方程 有四个不相等的实数根，
所以， .
题型六：重点考查函数图象与不等式
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若不等式 有3个整数解，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数 的定义域为 ．由 ，得 ，则不等式 有3个整数解．
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
易知 的图象恒过点 ，
在同一直角坐标系中，分别作出 与函数 的图象，如图所示．
由图象可知 ，
要使不等式 有3个整数解，
则 ，解得 ，
故选：A．
例题2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）函数 的定义域为 ，满足 ，且当
时， .若对任意 ，都有 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因 ，又当 时， ，
当 ， ，时， ，
则 ，
，
当 ， ，时， ，
则 ，，
作出函数 的大致图象，
对任意 ，都有 ，
设 的最大值为 ，
则 ，且
所以 ，解得
所以m的最大值为 .
故选：A.
例题3．（2023春·湖南·高一校联考期中）定义在 上的函数 满足 ，且当
时， ；当 时， ；当 时， .若对
，都有 ，则 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由当 时， ，可得 的图象在该区间内关于直线 对称；
由当 时， ，可得 的图象在该区间内关于点 对称.
结合已知条件，作出函数 的部分图象如下图由图象可设 ，且 时，都有 ，且 .
设 ，则 ， .
因为，当 时， ，所以 ， .
当 时， ，所以 .
又函数 满足 ，
所以， ，
所以， .
令 ，解得 ，即 .
所以， .
故答案为：
例题4．（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）用 表示 ， 两个数中的最大值，设函数
，若 恒成立，则m的最大值是_________．
【答案】 /
【详解】因为 ，所以 ，
根据函数单调性的性质可知当 时，函数单调递减，
而当 时，函数单调递减，故当 时，函数有最小值，最小值为 ，
该函数图象如下图所示：
所以要想 恒成立，只需 ，
因此m的最大值是 ，
故答案为：
精练核心考点
1．（2023·江西·高三统考期中）已知函数 ， ，则不等式 的解
集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题知 在同一坐标系下画出 ，
图象如下所示：由图可知 的解集为 .
故选：A.
2．（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）已知函数 ，则
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据题意当 时, ，
当 时, ,
作出函数 的图象如图，
在同一坐标系中作出函数 的图象，由图象可得不等式 解集为 ，
故选：C
3．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）设函数 的定义域为 ，满足 ，
且当 时， ，若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是________.
【答案】
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 时， ，
当 ， 时， ，
；
观察图象可得，当 ， 时，不存在 ， ，
当 时， ，
观察图象可得，不存在 ，满足 ，
所以 ， 时，
，
；
当 时，即 时， ，
令 ，可得 或 ，
观察图象可得，若对任意 ，都有 ，则 ．
所以m的取值范围是
故答案为 ．4．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知 为奇函数，且当 时， ，则①当
时， __________；②不等式组 的解集为__________.
【答案】
【详解】 为奇函数，当 时， ，
则当 时， ， ，
不等式组 即 ，
函数 和 的图像在 时相交于点 和 ，如图所示，
当 时，有 ，即不等式组 的解集为 .
故答案为： ；第二部分：方法篇
方法一：函数图象识别中的特殊值法、单调性法、奇偶性法
典型例题
例题1．（2023·天津和平·统考二模）函数 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由 ，易知 为奇函数，故排除C，D；
当 时， ，故只有A满足，排除B.
故选：A.
例题2．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数 部分图象如图所示，则函数 的解析式可能
为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由图像知 有三个零点经验证只有AD满足，排除BC选项，
A中函数满足 为偶函数，
D中函数满足 为奇函数，
而图像关于原点对称，函数为奇函数，排除A，选D．
故选：D．
例题3．（2023·重庆·统考模拟预测）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 ，可得 ，则 定义域为 ，
则 ，
，
则 为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项CD；又 ，则排除选项B，正确选项为A.
故选：A
例题4．（2023春·四川广安·高二广安二中校考期中）函数 的图象大数为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，函数 的定义域为 .
又 ，
所以，函数 为奇函数.
当 时， ，
则 .
设 ，则 在 上恒成立，
所以， 在 上单调递增.
又 ， ，
所以，根据零点存在定理可得， ，有 ，且当 时，有 ，显然 ，
所以 在 上单调递增；
当 时，有 ，显然 ，
所以 在 上单调递减.
因为 ，所以C项满足题意.
故选：C.
精练核心考点
1．（江西省上饶市2023届高三二模数学（文）试题）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，则 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ，
令 ，则 ，即 为偶函数，
又 为奇函数，所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除D，
又 ，故排除B、C；
故选：A2．（2023·广东汕头·统考二模）已知函数 ，则 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 ，
令 ，所以 在 和 上单调递增，
故选：C
3．（2023·四川·校联考模拟预测）函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 定义域为 ，则函数 为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项C；
又 ，排除选项AB；
故选：D
4．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）已知函数 为
的导函数，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 可知 ，
则 ，即 为奇函数，故A，D错误；
又 ，故C错误，B正确，
故选：B
方法二：函数图象识别中的零点法、极值点法
典型例题
例题1．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）函数 的图像大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 得， 或 ，选项A，C不满足，即可排除A，C
由 求导得 ，
当 或 时， ，
当 时， ，
于是得 在 和 上都单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取极大值，在 处取极小值，D不满足，B满足．
故选：B
例题2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数 ，函数 的图象大
致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，令 得 或 ，
故函数 有两个零点0，2，故A、C错误；
又因为 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，故函数
在 处取得极大值，在 处取得极小值，故D错.故选：B．
例题3．（2023春·全国·高一阶段练习）函数 的图像可能是为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令 ，可得 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 ，或 ，或 ，
取 可得 ，或 ，或 ，
选项A，C的图象对应的函数在区间 上都有 个零点，矛盾
排除选项A，C，
又 时， ，
因为 ，所以当 时， ，排除D，
选项B符合以上特征，
故选：B.
例题4．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）函数 的图像
大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】根据题意， ，令 ，
可得 的正零点依次为 ， ， ，
当 时， ，则 ，排除B，D，
当 时， ，则 ，排除C，
所以只有A项符合，
故选：A．
精练核心考点
1．（2023春·四川成都·高二成都七中校考期中）函数 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数 中， ，当 时, ,看图像知B选项错误；
函数 中， ，当 时, , 看图像知D选项错误；解得 ，故 为函数的极值点，故C选项不符合，.D选项正确.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数 的定义域为 ，
又 可化为 ，
所以 ，
所以函数 为奇函数，
所以函数 的图象关于原点对称，C，D错误；
令 ，可得 ，解得 或 （舍去），
所以函数 的零点为 ， ，
取 可得 ，B错误，
故选：A.
3．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数 ，则函数 的图像为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】 ，
当 时， ．
令 ，
由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ．
所以 有极大值为 ．
又 ，所以 的最大值小于0．
所以函数 在 上为减函数，这样可以排除A、B、C，
故选：D.
4．（2023·广西柳州·统考三模）函数 的部分图像大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】因为 定义域为 ，关于原点对称，
，
所以 是偶函数，图像关于 轴对称，故排除选项B、D；
当 时，令 可得 或 ，
所以 时，两个相邻的零点为 和 ，
当 时， ， ， ，
故排除选项A，
故选：C.
方法三：函数图象识别中的极限法
典型例题
例题1．（2023秋·山西·高三校联考期末）已知函数 ，则其图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数的定义域为 ，
因为 ，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除AC，
当 时，当 时， ， ，所以 ，所以排除D，
故选：B
例题2．（2023春·江苏徐州·高三新沂市第三中学校考阶段练习）函数 的部分图象大致
是( ).
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 定义域为R，f(－x)＝－f(x)，故为奇函数，图像关于原点对称，据此排除B、D选
项；
易知x ＋时， ， ， ， ，
→
∵指数函数y＝ 比幂函数 增长的速率要快，故 ，
即f(x)在x ＋时，图像往x轴无限靠近且在x轴上方，故A选项符合.
故选：A.
→
例题3．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数 ，
，则部分图像为如图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为 定义域为 ， ，所以 为奇函
数， 定义域为R，且 ，所以 为偶函数，则
与 是非奇非偶函数， 和 为奇函数，当 从正数趋
向于0时， ，C选项错误；当 从正数趋向于0时，
，符合题意.
故选：D
精练核心考点
1．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数 的图象如图1所示，则图2对应的函数有可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于 ，当 时， ，所以 ，故选项 错误；
对于 ，当 时， ，所以 ，故选项 错误；
对于 ，当 时， ，所以 ，且 时， ， ；当 时，
，所以 ，且 时， ， ，故选项 正确；
对于 ，当 时， ，则 ，所以 ，故选项 错误，
故选： .
2．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数 的图象如图所示，则函数 图象可能为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 得函数 与 的零点相同，所以可排除C选项，
因为当 趋近于正无穷时， 趋近于负无穷， 趋近于正无穷，
所以当 趋近于正无穷时， 趋近于负无穷，排除选项B和D，
故选：A．
3．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 ，故D错误，当 时， ，A，B错误．
故选：C.
4．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第一中学校考阶段练习）函数 的部分图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 得： ，则 定义域为 ；
，
为奇函数，图象关于原点对称，可排除AD；
当 从正方向无限接近 时， ， ， ，则 ，可排除C.
故选：B.
